缩放圆法巧解磁场中粒子运动的临界问题

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1、高中物理缩放圆法巧解磁场中粒子运动的临界问题编稿老师刘汝发一校杨雪二校黄楠审核王红仙一、考点突破：知识点考纲要求题型说明缩放圆法巧解磁场中粒子运动的临界问题1. 进一步熟悉粒子在磁场中做圆周运动的圆心、半径，及轨迹的确定方法；2. 理解缩放圆法确定临界的技巧；3. 理解移动圆法确定临界的技巧。选择题、计算题本知识点属于高考重点难点，缩放圆和旋转圆是确定临界非常有效的方法，在考查同学们想象能力的同时，也考查了数学运算能力，因此高考命题者对这种方法情有独钟。二、重难点提示：重点：1. 粒子在磁场中做圆周运动的圆心、半径及轨迹的确定方法； 2. 缩放圆法和移动圆法确定临界的技巧。难点：缩放圆法和移动

2、圆法确定临界的技巧。一、带电粒子在有界磁场中的运动这类问题综合性较强，解答时既要用到物理中的洛伦兹力、圆周运动的知识，又要用到数学中的平面几何中圆及解析几何知识。1. 一个基本思路：定圆心、找半径、画轨迹、求时间（1）圆心的确定：因为洛伦兹力F指向圆心，根据Fv画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点）的F的方向，沿两个洛伦兹力F画其延长线，两延长线的交点即为圆心；或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置。（2）半径的确定和计算：qvBm，R或是利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角）。（3）粒子在磁场中运动时间的确定：由公式，或。可求出粒子在磁场中的运动时间

3、。2. 两个重要结论（1）如下图，带电粒子以速度v指向圆形磁场的圆心入射，出磁场时速度方向的反向延长线肯定经过圆形磁场的圆心。（2）粒子从圆形磁场边界上某一点射入磁场区域，若粒子轨道半径和磁场半径相同，则粒子飞出磁场时速度方向相同；反之若从圆形磁场边界平行射出，则粒子的轨道半径和圆形磁场半径相同二、解决带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的两种方法1. 轨迹圆的缩放当入射粒子的入射方向不变而速度大小可变时，粒子做圆周运动的圆心一定在入射点所受洛伦兹力所表示的射线上，但位置（半径R）不确定，用圆规作出一系列大小不同的轨迹图，从圆的动态变化中即可发现“临界点”。如下图：2. 轨迹圆的旋转当粒子的入射

4、速度大小确定而方向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋转中，也容易发现“临界点”。如下图： 例题1 如图所示，正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O点是cd边的中点。一个带正电的粒子（重力忽略不计）若从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30角的方向（如图中虚线所示），以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是（ ）A. 该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场B. 若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0C.

5、 若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是D. 若该带电粒子从cd边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是思路分析：随粒子速度逐渐增大，轨迹由依次渐变，由图可知粒子从四个边射出时，射出范围分别为OG、FE、DC、BA之间，不可能从四个顶点射出，故A正确；当粒子从O点沿纸面垂直于cd边射入正方形内，轨迹恰好为半个圆周，即时间t0刚好为半周期，从ab边射出的粒子所用时间小于半周期（t0），从bc边射出的粒子所用时间小于周期（t0），所有从cd边射出的粒子圆心角都是，所用时间为（即t0），故B、C错误，D正确。答案：AD例题2 电子质量为m，电荷量为e，从坐标原点O处沿xOy平面射入第

6、一象限，射入时速度方向不同，速度大小均为v0，如图所示。现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上，荧光屏与y轴平行，求：（1）荧光屏上光斑的长度；（2）所加磁场范围的最小面积。思路分析：本题可先作出这些射入第一象限的电子做圆周运动的轨道圆心的集合，必在弧O1O2上（如下图所示），然后设想以该弧上的各点（如图中的O2等四点）为圆心作出粒子运动的轨迹，最终垂直射到MN上的PQ间，所以荧光屏上光斑的长度即为PQRmv0/eB；所加磁场范围即为图中由弧OO4O3O所围的区域，其中弧O3O4可看成是由弧O1O2向上平移R得到的。（

7、1）如图所示，求光斑长度，关键是找到两个边界点，初速度方向沿x轴正方向的电子，沿弧OB运动到P；初速度方向沿y轴正方向的电子，沿弧OC运动到Q，电子在磁场中的半径由图可知 （2）沿任一方向射入第一象限的电子经电场偏转后都能垂直打到荧光屏MN上，所加最小面积的磁场的边界是以O（0，R）为圆心，R为半径的圆的一部分，如图中实线所示，所以磁场范围的最小面积为。答案：（1） （2）【易错警示】静摩擦力和洛伦兹力参与情况下的临界问题要点1. 能否相对滑动的依据是两物体间摩擦力是否达到最大值。2. 洛伦兹力通常会影响最大静摩擦力，但不一定影响静摩擦力。3. 常见的几种临界：（1）恰好滑动；（2）恰好匀速；

8、（3）恰好无摩擦力。满分训练：如图所示，一根不光滑的长竖直绝缘杆，套有一个质量为m，带正电q的小球，匀强电场E与匀强磁场B互相垂直，E和B都与杆垂直，当小球由静止开始下落后（ ）A. 小球加速度不断减小，最后为零B. 小球加速度先增加后减小，最后为零C. 小球速度先增加后减小，最后为零D. 小球动能不断增大，直到达到某一最大值思路分析：小球下滑过程中，受到重力、摩擦力（可能有）、弹力（可能有）、向右的洛伦兹力、向右的电场力，开始阶段，摩擦力小于重力时，小球向下做加速运动时，速度增大，洛伦兹力增大，小球所受的杆的弹力向左，大小为N=qE+qvB，N随着v的增大而增大，滑动摩擦力f=N也增大，小球

9、所受的合力F合=mg-f，f增大，F合减小，加速度a减小；当合力等于重力时，加速度最小为零；此时小球速度达到最大，以后小球将做匀速运动，故选项AD正确，BC错误。答案：AD（答题时间：30分钟）1. 如图所示，O点处有一粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，它们的速度大小相等、速度方向均在xOy平面内，在直线xa与x2a之间存在垂直于xOy平面向外的磁感应强度为B的匀强磁场，与y轴正方向成60角发射的粒子恰好垂直于磁场右边界射出，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力. 关于这些粒子的运动，下列说法正确的是（ ）A. 粒子的速度大小为B. 粒子的速度大小为C. 与y轴正方向成

10、120角射出的粒子在磁场中运动的时间最长D. 与y轴正方向成90角射出的粒子在磁场中运动的时间最长2. 如图所示，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度的大小为B1，P为磁场边界上的一点，相同的带正电荷粒子，以相同的速率从P 点射入磁场区域，速度方向沿位于纸面内的各个方向，这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的。若将磁感应强度的大小变为B2，结果相应的弧长变为圆周长的，不计粒子的重力和粒子间的相互影响，则等于（ ）A. B. C. D. 3. 如图所示，在一个边长为l的菱形区域内，有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，菱形的一个锐角为60。在菱形中心

11、有一粒子源S，向纸面内各个方向发射速度大小相同的同种带电粒子，这些粒子电量为q、质量为m。如果要求菱形内的所有区域都能够有粒子到达，则下列粒子速度能够满足要求的有（ ）A. B. C. D. 4. 如图所示，以直角三角形AOC为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，A=60，AO=L，在O点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电粒子。已知粒子的比荷为，发射速度大小都为。设粒子发射方向与OC边的夹角为，不计粒子间相互作用及重力。对于粒子进入磁场后的运动，下列说法正确的是（ ）A. 当=45时，粒子将从AC边射出B. 所有从OA边射出的粒子在磁场中运动时间相等C. 随着角的增大，粒子在磁场

12、中运动的时间先变大后变小D. 在AC边界上只有一半区域有粒子射出5. 如图所示，在x0、y0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy 平面向里，大小为B，现有一质量为m、电量为q的带正电粒子，从在x轴上的某点P沿着与x轴成30角的方向射入磁场。不计重力影响，则下列说法中正确的是（ ）A. 粒子在磁场中运动所经历的时间可能为B. 粒子在磁场中运动所经历的时间可能为C. 粒子在磁场中运动所经历的时间可能为D. 粒子一定不能通过坐标原点6. 如图所示，在竖直放置的金属板M上放一个放射源C，可向纸面内各个方向射出速率均为v的粒子，P是与金属板M 平行的足够大的荧光屏，到M的距离为d，现在

13、P与金属板M间加上垂直纸面的匀强磁场，调整磁感应强度的大小，恰使沿M板向上射出的粒子刚好垂直打在荧光屏上。若粒子的质量为m，电荷量为2e。则（ ）A. 磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度B的大小为B. 磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度B的大小为C. 在荧光屏上能观察到的亮斑区的长度为2dD. 在荧光屏上能观察到的亮斑区的长度为3d7. 如图所示，圆形区域内有垂直纸面向内的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，其运动轨迹如图，若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法错误的是（ ）A. 三个粒子都带正电荷B. c粒子速率最小C. c粒子在磁场

14、中运动时间最短D. 它们做圆周运动的周期Ta =Tb =Tc8. 如图所示，半径为的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向（均平行于纸面）且速度大小相等的带正电的粒子（重力不计），已知粒子的比荷为，速度大小为。则粒子在磁场中运动的最长时间为（ ）A. B. C. D. 9. 如图甲，真空中竖直放置两块相距为d的平行金属板P、Q，两板间加上如图乙所示，最大值为U0的周期性变化的电压，在Q板右侧某个区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的有界匀强磁场，在紧靠P板处有一粒子源A，自t=0开始连续释放初速不计的粒子，经一

15、段时间从Q板小孔O射入磁场，然后射出磁场，射出时所有粒子的速度方向均竖直向上，已知电场变化周期T=，粒子质量为m，电荷量为+q，不计粒子重力及相互间的作用力。求：（1）t=0时刻释放的粒子在P、Q间运动的时间；（2）粒子射入磁场时的最大速率和最小速率；（3）有界磁场区域的最小面积。 1. AC 解析：粒子在磁场中受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，由题意：与y轴正方向成60角发射的粒子恰好垂直于磁场右边界射出，说明该方向上的粒子匀速圆周运动的圆心正好在2a点处，由几何关系可得：Rcos60=a；所以匀速圆周运动的半径R=2a，所以粒子的速度，故A正确，B错误；而粒子在磁场中运动的时间由圆心角决定，

16、根据圆的对称性可知，粒子与y轴正方向成120角射出时在磁场中运动对应的圆心角最大，故运动时间越长，故C正确，D错误，故选AC。2. C 解析：设磁场所在圆的半径为r，则磁感应强度为B1时，从P点射入的粒子与磁场边界的最远交点为M，最远的点是轨迹上直径与磁场边界圆的交点，即打到圆弧上的粒子在PM之间，则POM=120，如图所示： 所以粒子做圆周运动的半径R为：同理，磁感应强度为B2时，从P点射入的粒子与磁场边界的最远交点为N，最远的点是轨迹上直径与磁场边界圆的交点，PON=90，如图所示；所以粒子做圆周运动的半径R为：，由带电粒子做圆周运动满足，则得：；故选C。3. AD 解析：粒子在磁场中做匀

17、速圆周运动，根据牛顿第二定律，有：，解得：；则速度越大，轨道半径越大；临界轨迹是轨迹经过菱形的上顶点（或下顶点）且与边相切，如图所示：临界轨迹对应的圆心角为60，故轨道半径为：；要想菱形内的所有区域都能够有粒子到达，则rR；联立解得：；故AD正确，BC错误；故选AD。4. AD 解析：粒子在磁场中运动的半径为，当=45时，由几何关系可知，粒子将从AC边射出，选项A正确；所有从OA边射出的粒子在磁场中运动时所对应的弧长不相等，故时间不相等，选项B错误；当=0飞入的粒子在磁场中，粒子恰好从AC中点飞出，在磁场中运动时间也恰好是；当=60飞入的粒子在磁场中运动时间恰好也是，是在磁场中运动时间最长，故

18、从0到60，粒子在磁场中运动时间先减小后增大，当从60增大到90过程中，粒子从OA边射出，此时在磁场中运动的时间逐渐减小，故C错误；当=0飞入的粒子在磁场中，粒子恰好从AC中点飞出，因此在AC边界上只有一半区域有粒子射出，故D正确；故选AD。5. ACD 解析：粒子在磁场中运动的周期为；由于P点的位置不定，所以粒子在磁场中的运动圆弧对应的圆心角也不同，当粒子从P点射入，并能从x轴上射出时，轨迹对应的圆心角最大，此时的圆心角为300，则运动的时间为；而最小的圆心角为P点从坐标原点出发，圆心角为120，所以运动时间，故粒子在磁场中运动所经历的时间为，选项AC正确，B错误；粒子由P点成30角入射，则

19、圆心在过P点与速度方向垂直的方向上，粒子在磁场中要想到达O点，转过的圆心角肯定大于180，而因磁场为有界，故粒子不可能通过坐标原点，故D正确。6. BC 解析：因为沿M板向上射出的粒子刚好垂直打在荧光屏上，由左手定则可判断磁场方向垂直纸面向外，粒子的运动半径为R=d，根据，解得：，选项A错误，B正确；沿M板向上射出的粒子，打到屏上时最远距离为d，同样沿M板向下射出的粒子，打到屏上时最远距离也为d，所以在荧光屏上能观察到的亮斑区的长度为2d，选项C正确，D错误；故选BC。7. B 解析：从图中可得三个粒子都向上偏转，受到向上的洛伦兹力，所以根据左手定则可得三个粒子都带正电，A正确；因为三个粒子的

20、电荷量、质量都相同，又是在同一个匀强磁场中运动，所以根据公式可得半径越大，速度越大，故c粒子的速度最大，B错误；根据公式可得三个粒子在磁场中的周期相同，故所对圆心角越大，运动时间越长，所以a粒子运动时间最长，c粒子运动时间最短，C、D正确。8. C 解析：粒子在磁场中运动的半径为：；当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹对应的圆心角最大，此时弦长最大，其最大值为磁场圆的直径2r，故，故选C。9. 解：（1）设t=0时刻释放的粒子在0.5T时间内一直做匀加速运动，加速度 位移可见该粒子经0.5T正好运动到O处，假设与实际相符合该粒子在P、Q间运动时间；（2）t=0时刻释放的粒子一直在电场中加速，对应进入磁场时的速率最大由运动学公式有 t1=0时刻释放的粒子先做加速运动（所用时间为t），后做匀速运动，设T时刻恰好由小孔O射入磁场，则代入数据得：所以最小速度：；（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则：得：最大半径：最小半径：粒子水平向右进入磁场，然后射出时所有粒子的速度方向均竖直向上，偏转角都是90，所以轨迹经过的区域为磁场的最小面积，如图：图中绿色阴影部分即为最小的磁场区域，所以。第13页 版权所有 不得复制