江苏省靖江市2013届高三数学上学期期中调研试题苏教版

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1、靖江市 2013 届第一学期期中调研试卷高三数学一填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分，把答案填在答题卡的相应位置121.已知 i 是虚数单位，复数iz，则 z 虚部为 1i2.若 A x (x 1)22x4 , 则 A Z 的元素个数为 _ _3.设命题 p： ，命题 q： sin cos ，则 p 是 q 的_ _条件44.已知112 ，则 alog 3 alog 2 a5.已知 xR， f ( x) 为 sin x 与 cos x 中的较小者，设 mf ( x) n ，则 m n =_ _.26.设函数f(x) 3x 1 (x0)，若f() ，则实数a的值是 _ _1a

2、 a(x0)xxa37.设 a R，函数 f( x) e ex是偶函数，若曲线yf( x) 的一条切线的斜率是2，则切点的横坐标为 _8.已知为第四象限的角，且sin(2)4 ,则 tan=_ _5129. 已知 a ( m, n 1) ，b (1 , 1)( m、 n 为正数 ) ，若 a b，则 的最小值是 _ m n10.已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn a1 n2a,某三角形三边之比为 a2 : a3 : a4 ，则该三角形最大角为 _ .2111.已知函数 f (x) ax bx4与直线 y x 相切于点A(1,1) ，若对任意 x 1,9，不等式f (xt) x恒成立，则所

3、有满足条件的实数t 组成的集合为 _ _用心爱心专心112. 已知等差数列 an 和等比数列 bn 满足： a1 b13， a2 b27， a3 b3 15， a4 b4 35，则 a5 b5 _ _13. 如图，平面内有三个向量 OA, OB, OC ，其中 OA 与 OB 的夹角为 120， OA 与 OC 的夹角为150，且 OAOB 1， OC 2 3 若 OCOAOB( ，R ) ，则的值为y3B23A0.5O1x3C14. 定义在 R 上的函数 yf ( x) 是减函数， 且函数 y f ( x1) 的图象关于 (1, 0) 成中心对称，若 s， t 满足不等式 f (s22 s)

4、 f (2t t 2 ) ，则当 1 s 4 时， t 的取值范围是 .s二解答题：本大题共6 小题，共90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本题满分 14分）已知函数 f(x)=2x-x,kR.+k2（1）若函数 f(x)为奇函数，求实数 k 的值；（2）若对任意的 x 0,都有 f(x)2 -x 成立，求实数k 的取值范围 .16. （本题满分 14 分）已知向量 m(3 sin x ,1)， n (cos x ,cos 2 x) ， f ( x) m n444(1)若 f ( x)1，求 cos( x) 的值；3(2)在 ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别是a、b

5、、 c ，且满足 a cosC1 c b ，求函数2f ( B) 的取值范围 .用心爱心专心217. （本题满分 15 分）已知数列an 中, a11, 前 n 项和 Snn 2 an .3(1) 求 a2 , a3 ;(2) 求 an 的通项公式 .18. （本题满分 15 分）两县城 A 和 B 相距 20 km，现计划在两城外以AB为直径的半圆弧AB 上选择一点 C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城和城B的总影响度为城AA与城 B 的影响度之和，记C点到城 A 的距离为 x km，建在 C处的垃圾处理厂对城A和城 B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂

6、对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城 B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为 k ，当垃圾处理厂建在AB 的中点时，对城A 和城 B 的总影响度为0.065.按下列要求建立函数关系式：设 CAB= (rad) ，将 表示成 y 的函数；并写出函数的定义域.设 AC=x(km)，将 x 表示成 y 的函数；并写出函数的定义域.请你选用（ 1）中的一个函数关系确定垃圾处理厂的位置，使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？用心爱心专心319. （本题满分 16 分）已知函数f ( x)| x | (xa) ， a 为实数 .（ 1）

7、当 a 1 时，判断函数 f ( x) 的奇偶性，并说明理由；（ 2）当 a 0 时，求函数 f ( x) 的单调区间；（3）是否存在实数a ( a0) ，使得 f ( x) 在闭区间 1, 1 上的最大值为2. 若存在，求出a2的值；若不存在，请说明理由.20. （本题满分 16 分）数列2an的前n项和为Sn，存在常数A B CanSnAn Bn C对任意正整数， ， ，使得n 都成立 .若数列 an 为等差数列，求证：3A B C；若 A131,设 bnan n, 数列 nbn 的前项和为 Tn ，求 Tn ；, B, C22若 C=0， an 是首项为2012111 的等差数列， 设

8、P1，求不超过 P 的最大整数i 1a2a21ii的值 .用心爱心专心4高三数学参考参案一填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分，把答案填在答题卡的相应位置121.已知 i 是虚数单位，复数i -1z，则 z 虚部为1i2.若 Ax (x1)22x4 , 则 A Z 的元素个数为 _ _ 03.设命题 p： 4，命题 q： sin cos ，则 p 是 q 的 _ _条件充分不必要4. 已知112，则 a 6log 2 alog 3 a5.已知 xR， f ( x) 为 sin x 与 cos x 中的较小者，设mf ( x) n ，则 m n =_ _.2122 1 (0)6

9、. 设函数f() 3xxf() ，则实数a的值是 _ _ 1，若x1x0)a a(x7. 设 a R，函数 f( x) ex ax是偶函数，若曲线yf( x) 的一条切线的斜率是3，则切点e2的横坐标为 _ _ ln28. 已知为第四象限的角，且sin()4 ,则 tan=_ _3254129. 已知 a ( m, n 1) ，b (1 , 1)( m、 n 为正数 ) ，若 a b，则 的最小值是 _ m n3 2210.已知等差数列an的前 n 项和为 Sna1 n2a,某三角形三边之比为a2 : a3 : a4 ，则该三角形最大角为 _ .分析与解答 : 因为数列an是等差数列 ,a0,

10、Snn2， a2 3, a35, a4 7 ，设三角形最大角为，由余弦定理，得cos12.，322111.已知函数 f (x) ax bx4与直线 y x 相切于点A(1,1)，若对任意 x 1,9 ，不等式f (xt) x恒成立，则所有满足条件的实数t组成的集合为 _ _ 412. 已知等差数列 an 和等比数列 bn 满足： a1 b1 3，a2 b2 7，a3 b315，a4 b4 35，则 a5 b5 _ _9113. 如图，平面内有三个向量OA, OB, OC ，其中 OA 与 OB 的夹角为 120， OA 与 OC 的夹用心爱心专心5角为 150，且 OA OB1， OC 2 3

11、 若 OCOAOB( ，R ) ，则的值为（改编自07 高考陕西卷，第 15 题）分析：本题的目的是考查向量的坐标运算和向量的基本定y理，在解决向量问题中的坐标系和坐标的意识. 如下图所示：B32( 1 ,3 ) ，3建立平面直角坐标系，则OA (1,0) ， OBA220.5O1 xOC( 3,3) ，代入 OCOAOB( ，R ) 可得：3C132，可解得4,2 ，故633214. 定义在 R 上的函数 yf ( x) 是减函数， 且函数 yf ( x 1) 的图象关于 (1, 0) 成中心对称，若 s， t 满足不等式 f (s22 s) f (2t t 2 ) ，则当 1 s 4时，

12、t的取值范围是 .s【解析】由f ( x 1) 的图象关于 (1,0) 成中心对称，知f ( x) 的图象关于 (0,0)成中心对称，故 f (x)22s) f (t2222s ， 化 简 得为 奇 函 数 ， 得 f (s2t)， 从 而 t2t s(ts) (ts2 ) ，又 1 s 4 ，故 2 s t s ，从而 21 t 1，等号可以取到，而ss211 , 1，故 t1 , 1 s2s2二解答题：本大题共6 小题，共90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本题满分 14分） 已知函数 f(x)=2x-x+k2 , kR.（1）若函数 f(x)为奇函数，求实数k 的值；（

13、2）若对任意的x 0,都有 f(x)2- x 成立，求实数k 的取值范围 .用心爱心专心616.（本 分14 分） 已知向量 m (3 sin x ,1) ， n(cos x ,cos 2x ) ， f (x) m n444(1)若 f ( x) 1，求 cos( x) 的 ；31 c b ，求函数(2)在 ABC 中，角 A、 B、 C 的 分 是a、b、 c ，且 足 a cosC2f ( B) 的取 范 .本 主要考 向量的数量 、二倍角的正弦、 余弦公式、 两角和与的正弦公式、以及余弦定理的基本运算 . 属于基 知 、基本运算的考 .解：（ 1）fxmn3sinxcos xcos2x3

14、sinx1cosx1sinx61, 4分4442222222而 fx1,x1.sin622cosxcos2x61 2sin 2x61. 7分3222（2）a cosC1cb,aa2b2c21cb,即 b2c2a 2bc,cos A1. 10分22ab22又A0,A3 12分又0B2,B,36262fB3 14分1, .217.15 分） 已知数列an中 , a11 , 前 n 和 Snn2（本 分an .3(1) 求 a2 , a3 ;(2) 求 an 的通 公式 .本 主要考 了数列的通 公式与数列求和相 合的 合运用.用心爱心专心7解:(1)由 a11与 Snn2an 可得322S2a1a

15、2a23a13 ,3分3a2S32 aaaa2 aaa4a66分33312333123故所求 a2 , a3 的 分 3,6.(2) 当 n2 时 , Snn2 an Sn 1n 1 an1 33- 可得 SnSnn2n1 8分1an3an 13即 ann 2 ann1 an 1n1 ann1 an 1ann1 10分3an 1333n1因 1211a12故有 ananan 1a2a1n 1 n3n2nan 1an 2a1n 1 n 2121所以 a的通 公式 ann2n15分n218. （本 分15 分）两 城 A 和 B 相距 20 km， 划在两城外以AB 直径的半 弧 AB上 一点 C

16、 建造垃圾 理厂，其 城市的影响度与所 地点到城市的距离有关， 城A和城 B 的 影响度 城A 与城 B的影响度之和， C点到城 A 的距离 x km ，建在 C 的垃圾 理厂 城 A和城 B的 影响度 y， 表明：垃圾 理厂 城A的影响度与所 地点到城 A的距离的平方成反比，比例系数 4； 城 B的影响度与所 地点到城B的距离的平方成反比，比例系数 k ，当垃圾 理厂建在AB 的中点 ， 城A 和城 B 的 影响度 0.065.按下列要求建立函数关系式： CAB= (rad)，将 表示成 y的函数；并写出函数的定 域 . 设AC=x(km) ， 将x表 示 成 y 的 函 数 ； 并 写 出

17、 函 数 的 定 义域. 你 用（ 1）中的一个函数关系确定垃圾 理厂的位置，使建在此 的垃圾 理厂 城 A 和城 B 的 影响度最小？解 : （ 1）在 RT ABC中 ,AC=20cos ,BC=20sin ,4k,(0) 2分则y=400sin 2400cos22其中当 AC=102 ， y=0.065 ，用心爱心专心8所以 k=9 4分所以 y表示成 x的函数 y=49,(0) 5分400sin 22400cos2224k0x20 7分由 意知 AC BC，BC=400-x， yx2400x2其中当 x=102 ， y=0.065 ，所以 k=9 9分490x 20 10分所以 y表示

18、成 x的函数 y400x2x2（2） y =4sin9cos4sin 49cos4 13分200cos 3200sin 3=cos3200sin 3令y =0,6tan 02当0 时, y 0, 函数 减函数 ;当 2 时 , y 0, 函数 增函数00所以当 = 0时 ,y 有最小 当 tan 0610 时,即当 C点到城 A的距离 410 ，在此 的垃圾 理厂 城即 AC=42A和城 B的 影响度最小 . 15分 y818 x10x46400 x21280000,0x20 13分x3400 x22x3 (400x2 )2令 y=0 得 x= 4 10当 0 x 4 10 ， y 0, 所以

19、函数 减函数，当 4 10 x 20 ， y 0所以函数 增函数所以当 x= 410 ，即当 C点到城 A的距离 4 10 ，在此 的垃圾 理厂 城A和城 B的 影响度最小 . 15分（注： 可用基本不等式求最小 ）19.（本 分16 分） 已知函数f ( x)| x | (xa) ， a 数 .（ 1）当（ 2）当a 1 ，判断函数 f ( x) 的奇偶性，并 明理由；a0 ，求函数f ( x) 的 区 ；（3）是否存在 数 a ( a0) ，使得 f ( x) 在 区 1,1 上的最大 2. 若存在，求出 a2用心爱心专心9的 ；若不存在， 明理由.（1） f ( x)| x | ( x1

20、)f (1)0, f (1)2f (1)f (1),f (1)f (1)f (x) 既不是奇函数，又不是偶函数 .4 分（2）（画 ） a0 ， f ( x)| x | x ， 增区 ( , ) 6 分a 0 ， f (x)x2ax, x0,x2ax, x，0 增区 (, a ), (0,) ， 减区 ( a ,0) 10 分22（3） a 0f ( 1)1 a 2a 3f (1 )1 ( 1a)722224由（ 2）知， f (x)在 (0,) 上 增f (x) 必在区 1,0 上取最大 212 分当 a1，即 a2 ，2则 f (1)2， a3 ，成立14 分当 a1，即 0a2 ，2则

21、f ( a )2 ， a22 （舍）2 上， a3 16分20. （本 分 16 分） 数列 an 的前 n 和 Sn ，存在常数 A， B，C，使得an SnAn 2Bn C 任意正整数n 都成立 .若数列 an 等差数列，求 ：3A B C；若 A1 , B3 , C1,设 bnan n, 数列 nbn 的前 和 Tn ，求 Tn ；22若 C=0， an 是首 2012111 的等差数列， 设 P1，求不超 P 的最大整数i 1ai2ai21用心爱心专心10的 .因 an 等差数列， 公差 d ，由 anSnAn2BnC ，得 a (n1)dna1 n(n1)dAn2BnC，112即 (

22、 1 dA)n2(a1dB)n(a1dC )0 任意正整数 n 都成立2分221 dA0,2所以 a11 dB0, 所以 3 ABC04 分2a1dC0, 因 an Sn1n23n1 ，所以 a11，222当 n 2 ， an 1Sn 11 ( n 1)23 (n 1) 1，22所以2anan1n 1，即 2(ann)an 1n 1，所以 bn1 bn 1 ( n 2) ，而 b1a111 ，22所以数列bn是首 1，公比 1 的等比数列，所以bn(1) n 7 分222于是 nbnn123+n112+34 +n2n 所以Tn+2 +3n， Tn22 +3n1+，22222222由，11 1 11n1 1( 1) n n1 nn2 + n得222Tn2 + 22 + 23 + 2n2n +112n +11 ( 2)2n+112n+1 12所以 Tn22 + n10 分2n 因 an 是首 1的等差数列，由知，公差d 1，所以 ann而 111n2 ( n 1)2(n 1)2n2n2( n 1)2n2 (n 1)2n( n1) 1111)111，14 分n(n1)n( nnn1所以 P11(111(11111)20131，(1)2)3)(11234201220132013所以，不超 P 的最大整数 2012 16 分用心爱心专心11用心爱心专心12