《因式分解课件PPT》

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1、因 式 分 解整 式 的 乘 除 与 因 式 分 解 :整 式 的 乘 法计 算 下 列 各 式 :x(x+1)= ； (x+1)(x 1)= .x2 + xx2 1 在 小 学 我 们 知 道 ， 要 解 决 这 个 问 题 ，需 要 把 630分 解 成 质 数 乘 积 的 形 式 .7532630 2 类 似 地 ， 在 式 的 变 形 中 ， 有 时 需 要 将一 个 多 项 式 写 成 几 个 整 式 的 乘 积 的 形 式 .讨 论 630能 被 哪 些 数 整 除 ? 1)2( )1( 22x xx请 把 下 列 多 项 式 写 成 整 式 乘 积 的 形 式 .)1( xx )

2、1)(1( xx 把 一 个 多 项 式 化 成 几 个 整 式 积 的 形 式 ，这 种 变 形 叫 做 把 这 个 多 项 式 因 式 分 解 （ 或分 解 因 式 ） . 想 一 想 ： 因 式 分 解 与 整 式 乘 法 有 何 关 系 ?因 式 分 解 与 整 式 乘 法 是 互 逆 过 程 .(x+y)(x y)x2 y2 因 式 分 解整 式 乘 法 练 习 一 理 解 概 念 判 断 下 列 各 式 哪 些 是 整 式 乘 法 ?哪 些 是因 式 分 解 ? (1) x2 4y2=(x+2y)(x 2y)； (2) 2x(x 3y)=2x2 6xy (3) (5a 1)2=25

3、a2 10a+1 ； (4) x2+4x+4=(x+2)2 ； (5) (a 3)(a+3)=a2 9 (6) m2 4=(m+2)(m 2) ； (7) 2R+ 2r= 2(R+r). 因 式 分 解整 式 乘 法整 式 乘 法因 式 分 解整 式 乘 法因 式 分 解因 式 分 解 ： 多 项 式 中 各 项 都 有 的 因 式 ，叫 做 这 个 多 项 式 的 公 因 式 ； 把 多 项 式 ma+mb+mc分 解 成 m(a+b+c)的 形式 ， 其 中 m是 各 项 的 公 因 式 ， 另 一 个 因 式 (a+b+c)是 ma+mb+mc 除 以 m的 商 ， 像 这 种 分 解

4、因 式 的方 法 ， 叫 做怎 样 分 解 因 式 : .mcmbma 注 意 ： 各 项 系 数 都 是 整 数 时 ， 因 式 的系 数 应 取 各 项 系 数 的 最 大 公 约 数 ； 字 母 取各 项 的 相 同 的 字 母 ， 而 且 各 字 母 的 指 数 取次 数 最 低 的 .说 出 下 列 多 项 式 各 项 的 公 因 式 ：(1)ma + mb ；(2)4kx 8ky ；(3)5y3+20y2 ；(4)a2b 2ab2+ab .m4k5y2ab 分 析 ： 应 先 找 出 与 的公 因 式 ， 再 提 公 因 式 进 行 分 解 .例 1 分 解 因 式把 cabba

5、323 128 )(3)(2 cbcba 分 析 ： (b+c)是 这 两 个 式 子 的 公 因 式 ,可 以 直 接 提 出 . )(3)(2 cbcba 解 ： )32)( acb例 2 分 解 因 式 因 式 分 解 ：(1)24x3y 18x2y ； (2)7ma+14ma2 ；(3) 16x4+32x3 56x2 ；(4) 7ab 14abx+49aby ；(5)2a(y z) 3b(y z) ；(6)p(a2+b2) q(a2+b2). 1.20042+2004能 被 2005整 除 吗 ? .3,5)7(3)7(4.2 2 xa，xxa 其 中先 分 解 因 式 ， 再 求 值

6、 思 考 你 能 将 多 项 式 x2 16 与 多 项 式 m 2 4n2分 解因 式 吗 ?这 两 个 多 项 式 有 什 么 共 同 的 特 点 吗 ?(a+b)(a b) = a2 b2 a2 b2 =(a+b)(a b) 两 个 数 的 平 方 差 ,等 于 这 两 个 数 的 和 与这 两 个 数 的 差 的 积 .15.4.2 公 式 法 (1) 例 3 分 解 因 式 :(1) 4x2 9 ; (2) (x+p)2 (x+q)2. 分 析 ： 在 (1)中 ， 4x2 = (2x)2， 9=32， 4x2 9 = (2x )2 3 2， 即 可 用 平 方 差 公 式 分 解

7、因 式 . 在 (2)中 ， 把 (x+p)和 (x+q)各 看 成 一 个 整 体 ， 设x+p=m， x+q=n， 则 原 式 化 为 m2 n2.(1)4x2 9 = (2x)2 3 2 = (2x+3)(2x 3). (2)(x+p)2 (x+q) 2= (x+p) +(x+q) (x+p) (x+q)=(2x+p+q)(pq). 例 4 分 解 因 式 : (1)x4 y4; (2) a3b ab. 分 析 :(1)x4 y4写 成 (x2)2 (y2)2的 形 式 ，这 样 就 可 以 利 用 平 方 差 公 式 进 行 因 式 分 解 了 . (2)a3b ab有 公 因 式 a

8、b， 应 先 提 出 公 因 式 ,再 进 一 步 分 解 .解 :(1) x4 y4 = (x2+y2)(x2 y2) = (x 2+y2)(x+y)(x y). (2) a3b ab=ab(a2 1)=ab(a+1)(a 1). 分 解 因 式 必 须进 行 到 每 一 个多 项 式 都 不 能再 分 解 为 止 . 练 习 1.下 列 多 项 式 能 否 用 平 方 差 公 式 来 分解 因 式 ?为 什 么 ? (1) x2+y2 ; (2) x2 y2; (3) x2+y2; (4) x2 y2.2.分 解 因 式 :(1)a2 b2; (2)9a2 4b2;(3) x 2y 4y

9、; (4) a4 +16.251 思 维 延 伸 1. 观 察 下 列 各 式 : 32 12=8=8 1; 52 32=16=8 2; 72 52=24=8 3; 把 你 发 现 的 规 律 用 含 n的 等 式 表 示 出 来 . 2. 对 于 任 意 的 自 然 数 n， (n+7) 2 (n 5)2能 被 24整 除 吗 ? 为 什 么 ? 思 考 ： 你 能 将 多 项 式 a2+2ab+b2 与 a2 2ab+b2分 解 因式 吗 ？ 这 两 个 多 项 式 有 什 么 特 点 ？(a+b)2=a2+2ab+b2,(a b)2=a2 2ab+b2. 两 个 数 的 平 方 和 加

10、上 （ 或 减 去 ） 这 两个 数 的 积 的 倍 ， 等 于 这 两 个 数 的 和 （ 或差 ） 的 平 方 . a2+2ab+b2=(a+b)2a2 2ab+b2=(a b)215.4.2 公 式 法 (2) 例 5 分 解 因 式 ： (1) 16x2+24x+9； (2) x2+4xy4y2. 分 析 ： 在 (1)中 ， 16x2=(4x)2， 9=32， 24x=24x3， 所 以 16x2+24x+9是 一 个 完 全 平 方 式 ， 即16x2+24x+9=(4x)2+24x3+32a2 2 a b b2+ 解 ： (1)16x2+24x+9 = (4x)2+24x3+32

11、 =(4x+3)2. + 解 ： (2) x2+4xy 4y2 = (x2 4xy+4y2) = x2 2x2y+(2y)2 = (x 2y)2 . 例 5 分 解 因 式 ： (1) 16x2+24x+9； (2) x2+4xy4y2. 例 6 分 解 因 式 : (1) 3ax2+6axy+3ay2; (2) (a+b)2 12(a+b)+36. 分 析 ： 在 （ 1） 中 有 公 因 式 3a， 应 先 提 出 公因 式 ， 再 进 一 步 分 解 . 解 ： (1)3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y) 2 . (2)(a+b)2 12(a+b)

12、+36=(a+b)2 2(a+b)6+62=(a+b 6)2. 将 a+b看 作 一 个整 体 ， 设 a+b=m,则 原 式 化 为 完 全平 方 式 m212m+36. 练 习1.下 列 多 项 式 是 不 是 完 全 平 方 式 ？ 为 什 么 ？ (1) a2 4a+4; (2)1+4a2; (3) 4b2+4b 1 ; (4)a2+ab+b2.2.分 解 因 式 ： (1) x2+12x+36; (2) 2xy x2 y2; (3) a2+2a+1; (4) 4x2 4x+1; (5) ax 2+2a2x+a3; (6) 3x2+6xy 3y2. 应 用 提 高 、 拓 展 创 新 1.把 下 列 多 项 式 分 解 因 式 ， 从 中 你 能发 现 因 式 分 解 的 一 般 步 骤 吗 ？ （ 1） ； （ 2） ；（ 3） ； （ 4）（ 5） . 44 yx 33 abba 22 363 ayaxyax 22 )()( qxpx 36)(12)( 2 baba归 纳 ：（ 1） 先 提 公 因 式 （ 有 的 话 ） ；（ 2） 利 用 公 式 （ 可 以 的 话 ） ；（ 3） 分 解 因 式 时 要 分 解 到 不 能 分 解 为 止 . 2.证 明 ： 连 续 两 个 奇 数 的 平 方 差 可以 被 8整 除 .