232平面向量的正交分解及坐标表示233平面向量的坐标运算

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1、2.3.2 平 面 向 量 的 正 交 分 解 及 坐 标 表 示2.3.3 平 面 向 量 的 坐 标 运 算 1.掌 握 平 面 向 量 的 坐 标 表 示 ， 会 进 行 平 面 向 量 的 正 交 分 解 ;2.了 解 平 面 内 的 任 何 一 个 向 量 都 可 以 用 两 个 不 共 线 的 向 量 来表 示 ， 初 步 掌 握 应 用 向 量 解 决 实 际 问 题 的 重 要 思 想 方 法 ；3.能 够 在 具 体 问 题 中 适 当 地 选 取 基 底 ， 使 其 他 向 量 都 能 够 用基 底 来 表 达 . 4.会 用 坐 标 表 示 平 面 向 量 的 加 、 减

2、 及 数 乘 运 算 . 1.思 考 平 面 向 量 基 本 定 理 的 内 容 . 如 果 是 同 一 平 面 内 的 两 个 不 共 线 的 向 量 ， 那么 对 于 这 一 平 面 内 的 任 一 向 量 有 且 只 有 一 对 实 数 1, 2 使 得 不 共 线 的 两 向 量 叫 做 这 一 平 面 内 所 有 向 量 的一 组 基 底 .2.什 么 叫 平 面 的 一 组 基 底 ?3.平 面 的 基 底 有 多 少 组 ?无 数 组 1 2e ,e a1 1 2 2a e e . 1 2e ,e 思 考 ： 1.平 面 内 建 立 了 直 角 坐 标 系 ,点 A可 以 用 什

3、 么 来 表 示 ?2.平 面 向 量 是 否 也 有 类 似 的 表 示 呢 ?O xy A(a,b)ab a 把 一 个 向 量 分 解 为 两 个 互 相 垂 直 的 向 量 ， 叫 作 把 向 量正 交 分 解 . 由 平 面 向 量 的 基 本 定 理 ， 对 平 面 上 任 意 向 量 ， 均 可以 分 解 为 不 共 线 的 两 个 向 量 和 ， 使 a1 1 2 2a e e . 11e 22e 如 图 ， 光 滑 斜 面 上 一 个 木 块受 到 重 力 的 作 用 ， 产 生 两 个 效果 ， 一 是 木 块 受 平 行 于 斜 面 力 的 作 用 ， 沿 斜 面 下 滑

4、 ； 一 是 木 块产 生 垂 直 于 斜 面 的 压 力 叫 做 把 重 力 分 解 .G 1F2 1 2F G F F， ， G 思 考 ： 如 图 在 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设 ， 填 空 ：,OA i OB j （ 1） | | _,| | _,| | _;i jOC （ 2） 若 用 来 表 示 ， 则 ：,i j ,OC OD _, _.OC OD 3 4i j 5 7i j 1 15 AB C Do xy ij 3 547平 面 向 量 的 坐 标 表 示 如 图 ， 是 分 别 与 x轴 、 y轴 方 向 相

5、 同的 单 位 向 量 ， 若 以 为 基 底 ， 则,i j ,i j + aa i jx yx y 对 于 该 平 面 内 的 任 一 向 量 ，有 且 只 有 一 对 实 数 、 ， 可 使 A BC Do xy ij a（ 3） 向 量 能 否 由 表 示 出 来 ？可 以 的 话 ， 如 何 表 示 ？CD ,i j 2 3CD i j AB C Do xy ij 3 547 ( , )a x y 其 中 ， x叫 做 在 x轴 上 的 坐 标 ， y叫 做 在 y轴 上 的 坐 标 ， 式 叫 做 向 量 的 坐 标 表 示 .a a A BC Do xy ij a 这 样 ， 平

6、 面 内 的 任 一 向 量 都 可由 x、 y唯 一 确 定 ， 我 们 把 有 序 数 对（ x,y） 叫 做 向 量 的 坐 标 ， 记 作a a显 然 ， i ,0 ,j 0, ,0 0,0 .1 1 O xy Aij axy +a xi yj +OA xi yj 在 直 角 坐 标 平 面 中 ， 以 原 点 O为 起 点 作 ， 则 点A的 位 置 由 向 量 唯 一 确 定 . OA a 设 ， 则 向 量 的 坐 标 （ x,y） 就 是 终 点 A的坐 标 ； 反 过 来 ， 终 点 A的 坐 标 (x,y)也 就 是 向 量 的 坐 标 .因 此 ， 在 平 面 直 角 坐

7、 标 系 内 ， 每 一 个 平 面 向 量 都 可 以 用 一 个有 序 实 数 对 唯 一 表 示 .OA xi yj OA OAa 例 1.如 图 ， 分 别 用 基 底 ， 表 示 向 量 、 、 、 ， 并 求 出它 们 的 坐 标 . i j a b c d A A1A2解 ： 如 图 可 知1 2 2 3a AA AA i j (2,3)a 同 理 2 3 ( 2,3);2 3 ( 2, 3); 2 3 (2, 3).b i jc i jd i j b ac d 平 面 向 量 的 坐 标 运 算思 考 ： 已 知 ， 你 能 得 出 的 坐 标 吗 ？1 1 2 2( , ),

8、 ( , )a x y b x y , ,a b a b a 1 1 2 2a+b=(xi+y j)+(x i+y j),r r r r r r由 向 量 线 性 运 算 的 结 合 律 和 分 配 律 可 得 ,)()()()( 21212211 jyyixxjyixjyix 两 个 向 量 和 （ 差 ） 的 坐 标 分 别 等 于 这 两 个 向 量 相 应坐 标 的 和 （ 差 ） . 1 2 1 2( , )a b x x y y 1 1( , )a x y 实 数 与 向 量 的 积 的 坐 标 等 于 用 这 个 实 数 乘 原 来 向 量 的 坐 标 .1 2 1 2( , )

9、a b x x y y 即同 理 可 得 例 2.如 图 ， 已 知 ， 求 的 坐 标 .1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y AB xyO BA解 ： AB OB OA 2 2 1 1( , ) ( , )x y x y 2 1 2 1( , )x x y y 一 个 向 量 的 坐 标 等 于 表 示 此 向 量 的 有 向 线 段 的 终 点的 坐 标 减 去 起 点 的 坐 标 . 1. ,a OA xi yj x y （ ）22 yxOAa 且O XY Ayx 2 1 2 1( , )AB x x y y 2 22 1 2 1| | ( ) ( )AB x

10、x y y 2. 若 A ， B ， 则1 1( , )x y 2 2( , )x y 小 结 ： 平 面 向 量 的 坐 标 运 算 例 3.已 知 ， 求 的 坐 标 .(2,1), ( 3,4)a b , ,3 4a b a b a b );5,1()4,3()1,2( ba解 ： ).19,6( )16,12()3,6( )4,3(4)1,2(343 ba );3,5()4,3()1,2( ba 例 4.如 图 ， 已 知 ABCD的 三 个 顶 点 A、 B、 C的 坐 标 分 别 是（ -2， 1） 、 （ -1， 3） 、 （ 3， 4） ， 试 求 顶 点 D的 坐 标 。A

11、B CD xyO解 法 ： 设 点 D的 坐 标 为 （ x,y）( 1,3) ( 2,1) (1,2)(3,4) ( , ) (3 ,4 ) ABDC x y x yAB DC 且(1,2) (3 ,4 )x y 1 32 4 xy 解 得 x=2,y=2所 以 顶 点 D的 坐 标 为 （ 2， 2） A B CD xyO解 法 2： 由 平 行 四 边 形 法 则 可 得( 2 ( 1),1 3) (3 ( 1),4 3)(3, 1) BD BA BC 而 ( 1,3) (3, 1)(2,2) OD OB BD 所 以 顶 点 D的 坐 标 为 （ 2， 2） 则 点 B的 坐 标 为

12、_.1.下 列 说 法 正 确 的 有 （ ） 个（ 1） 向 量 的 坐 标 即 此 向 量 终 点 的 坐 标（ 2） 位 置 不 同 的 向 量 其 坐 标 可 能 相 同（ 3） 一 个 向 量 的 坐 标 等 于 它 的 始 点 坐 标 减 去 它 的 终 点 坐 标（ 4） 相 等 的 向 量 坐 标 一 定 相 同A 1 B 2 C 3 D 4 B2. A (-1 -5) a= AB=3a 已 知 ， 和 向 量 （ ， ） ， 若（ 5， 4） 3.已 知 ： 点 A(2， 3)、 B(5， 4)、 C(7， 10)若 ， 试 求 为 何 值 时 ,（ 1） 点 P在 一 、

13、三 象 限 角 平 分 线 上 ?（ 2） 点 P在 第 三 象 限 内 ?( )AP AB AC R (5 2,4 3) (7,10) (2,3)AB AC ( , )( , ) (2,3) ( 2, 3)x yAP x y x y 设 点 P的 坐 标解 为 ，则 ： ，( 2, 3) (3 5 ,1 7 )AP AB AC x y ， ，(3 5 ,1 7 ) ， 713 532yx ， 74 55yx ，.(5 5 ,4 7 )P ， （ 1） 若 点 P在 一 、 三 象 限 角 平 分 线 上 ,则 5+5 =4+7 ， （ 2） 若 点 P在 第 三 象 限 内 ， -1,即 只 要 -1,点 P就 在 第 三 象 限 内 .12 ； 074 055 则 ， 741 ， 一 、 知 识 技 能 ( , )a xi yj x y 2.平 面 向 量 的 坐 标 运 算二 、 思 想 方 法 a x y （ ， ）数 形 结 合 思 想 、 分 类 讨 论 思 想 、 方 程 思 想 .1 2 1 2)a b x x y y （ ， 1 2 1 2)a b x x y y （ ，1.平 面 向 量 的 坐 标 表 示