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1、精品资源第三十四讲 分式方程（组）本讲我们将介绍分式方程（组）的解法及其应用.【知识拓展】分母里含有未知数的方程叫做分式方程.解分式方程组的基本思想是：化为整式方程.通常有两种做法：一是去分母；二是换元.解分式方程一定要验根.解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分.常见的思路有：取倒数法方程迭加法,换元法等.列分式方程解应用题，关键是找到相等关系列出方程.如果方程中含有字母表示的已知数，需根据题竞变换条件，实现转化.设未知数而不求解是常见的技巧之一.例题求解一、分式方程（组）的解法举例1 .拆项重组解分式方程x /j-.r x x 41T匚工口 x -5 x -2 x -3 x -4【例1】
2、解万程 +=+.x -7 x -4 x -5 x -6解析 直接去分母太繁琐，左右两边分别通分仍有很复杂的分子.考虑将每一项分拆：如七0 =1十二,这样可降低计算难度.经检验x=为原方程的解.x -7x -72注 本题中用到两个技巧：一是将分式拆成整式加另一个分式；二是交换了项，避免通分后分子出现x.这样大大降低了运算量.本讲趣题引路中的问题也属于这种思路.2.用换元法解分式方程【例2】解方程 1 十1 十1 =0 .x2 11x -8 x2 2x -8 x2 -13x -8解析 若考虑去分母，运算量过大；分拆也不行，但各分母都是二次三项式，试一试 换元法.111解 令 x+2x 8=y,原万
3、程可化为 一-+=0y 9x y y - 15x解这个关于y的分式方程得y=9x或y= - 5x.故当 y=9x 时，x2+2x 8=9x,解得 x1=8, 地= 1 .当 y=-5x 时，x2+2x 8= 5x ,解得 x3=8, x4=1 .经检验，上述四解均为原方程的解.注 当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时，可通过换元将之简化.113.形如x 1 =a 1结构的分式方程的解法xa形如x+l =a +的分式方程的解是：x1 = a , x2=1 .x aa【例3】解方程5 +与工.x 1 x2 53解析 方程左边两项的乘积为 1,可考虑化为上述类型的问题求解.x1 =1 , x2
4、 =2均为原方程的解.4.运用整体代换解分式方程组二 x4x2【例4】解方程组1 +4x2 上 1 +4y2 4x2J +4x2解析 若用常规思路设法消元，难度极大.注意到每一方程左边分子均为单项式，为 什么不试一试倒过来考虑呢 ？解 显然x=y=z=0是该方程组的一组解.1右x、v、z均不为0,取倒数相加得 x=y=z=-故原方程组的解为 x=y=z=0和x=y=z= 1 .、含字母系数分式方程根的讨论【例5】解关于X的方程分2,4、a2 -2x 2(1 -a )1 -2x1-4x2解析 去分母化简为含字母系数的一次方程，须分类讨论.讨论：（1）当a21W0时1 :：a2当aw 0时，原方程
5、解为x= L_a_ ；2一 ,1 当a=0时，此时x=万是增根.（2）当a21 = 0时即a=1 ,此时方程的解为 xw1的任意数；21 Ua2综上，当aw 1且aw 0时，原方程解为x=a-;当a=0时，原万程无解，；当2,一、1，一a= 1时，原方程的解为 xw 土一的任息数.2三、列分式方程解应用题【例6】 某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男 孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯）.如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍.已知男孩走了 27级到达扶梯顶部，而女孩走了 18级到达顶部.（1）扶梯露在
6、外面的部分有多少级 ？（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两 个孩子各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离）.求男孩第一次迫上女孩时走了多少级台阶？解析 题中有两个等量关系，男孩走27级的时间等于扶梯走了 S- 27级的时间；女孩走18级的时间等于扶梯走 S18级的时间.解（1）设女孩上梯速度为 x级/分，自动扶梯的速度为y级/分，扶梯露在外面27 S27 的部分有S级，则男孩上梯的速度为 2x级/分，且有2x y 18 二 ST8x y解得 S=54.所以扶梯露在外面的部分有54级.（2）设男孩第一次追上
7、女孩时走过自动扶梯rn遍，走过楼梯n遍，则女孩走过自动扶梯（m 1）遍、走过楼梯（n 1）遍.54n54(m_1) 54(n _1)2x y x 54m由于两人所走的时间相等,所以有y，2x 由（1）中可求得y=2x,代人上面方程 化简得6n+m=16 .m、n中都一定有一个是正整无论男孩第一次追上女孩是在自动扶梯还是在下楼时，数，且 0w mnW 1.，一，一，1“ 一，试验知只有 m=3, n= 2-符合要求.61.所以男孩第一次追上女孩时走的级数为3X27+21 X54=198（级）.6注 本题求解时设的未知数x、y,只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题.
8、【例7】（江苏省初中数学竞赛 C卷）编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子 A 和B中.15号弹珠在篮子 A中，把这个弹珠从篮子 A移至篮子B中，这时篮子 A中的弹 珠号码数的平均数等于原平均数加 1 ,篮子B中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加41 .问原来在篮子 A中有多少个弹珠？4解析 本题涉及A中原有弹珠，A、B中号码数的平均数，故引入三个未知数.解 设原来篮子A中有弹珠x个，则篮子B中有弹珠（25 x）个.又记原来A中弹珠号 码数的平均数为 a, B中弹珠号码数的平均数为 b.则由题意得ax (25 -x)b =1 2 25 =325ax -151-a =x 14b(25-x)+
9、15 ,1-b =26 -x4解得x=9,即原来篮子 A中有9个弹珠.欢迎下载学力训练(A级). ,、，11111 .解分式方程-=x 2 2x 3 3x4 6x12 .若关于x的方程Y+JkF5_=R二有增根x=1 ,求k的值.x -x x x x -13.解分式方程1x 10(x 1)(x 2) (x 9)(x 10)4.-=10I x F 2y -45.丙、丁三管齐开，15分钟可注满全池；甲、丁两管齐开,20分钟注满全池.如果四管齐x -11- =1x ，1 y -23x -31开，需要多少时间可以注满全池?(B级)1,关于x的方程 x=d有唯一的解，字母已知数应具备的条件是()x -a
10、 cA. awb B. g d C. c+dw0D. bc+adw02 .某队伍长6km,以每小时5km的速度行进，通信员骑马从队头到队尾送信，到队尾后退 返回队头，共用了 0.5 h,则通信员骑马的速度为每小时 km.3 .某项工作，甲单独作完成的天数为乙、丙合作完成天数的m倍，乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的n倍，丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的k倍，则m n k+= m 1 n 1 k 14 . m为何值时，关于x、y的方程组：w(m 1)x my m 1的解，满足x ?4xy=21535 .(天津市中考题)某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；
11、乙、 丙两队合做10天完成，厂家需付乙、 丙两队共9500元；甲、丙两队合做 5天完成全部工程的2,厂家需付甲、丙两队共 5500元.3(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？(2)若工期要求不超过 15天完成全部工程，问：由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由.6 .甲、乙二人两次同时在同一粮店购买粮食(假设两次购买白单价不同 )，甲每次购买粮食100kg,乙每次购买粮食用去 100元.设甲、乙两人第一次购买粮食的单价为x元/kg,第二次单价为y元/ kg.(1)用含x、y的代数式表示甲两次购买粮食共需付款 元，乙两次共购买 kg粮 食.若甲两次购买粮食的平均单价为每千克 Qi
12、元，乙两次购粮的平均单价为每千克 Q2元则 Q1 =; Q2=.(2)若规定谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个更合算些，并说明理由.分式方程(组)分式 方程(组)】.孙=-|，巧吟应=/提示:利叫+9.房772. k=3提示;先去分母，再将才=】代人求得3. h =2,提示浙项求解工三2；4. 3提示:整体消元5. 10b提示,设分别打开甲、乙、丙，丁四个进水管，注满全池所需的时间分别为依题意,+得2（9+9）=/Lilli=JL -+ +-abed 101. C提示:原方程可化为(d + c)x-hc + ad.2. 243. 2提示：设甲、乙、
13、丙单独工作分别需工天小天、工天完成，则= ，从叫占=彳偿7次同11 一 叽 丁艮 一 1n _+_J_+_L.*n + 1 xy +yz +zz+it + I xy +jz +*m + 1 n + 1 A + 11in+1 a + 1 * + 4. 提示:消去T得(5m+l)#=3m + l,二m/时方程组有唯一解3m + * =藐，1 .112看之* 2m + ，由注a行有了卜=75, (1)甲10天:乙H5天;丙即天.111十 - =M* xyb111丁丁正1121+ = X，(2)由甲队单独做,解答如下；(1)设甲队单独做H天完成，乙队单独做r天完成,丙队单独做上天完成,则/解方程组，得* =10,7 = 15,*=和.W 设甲队做一天应付给元.乙队假一天应付给A元.丙队做一天应付给。元.刷有 小 S+b)=my=800,10(5+如)=9500,解方程组，得.匕=650门1皿= 8000(元)，153 =9730(元)，: 由甲队单独完成此工程花J(a+c) *5500.1工300.钱最少.fi提示Q蜚
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