7.2.2定理与证明

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1、第 七 章 平 行 线 的 证 明7.2 定 义 与 命 题第 2课 时 定 理 与 证 明 1 课 堂 讲 解 u定 理 与 公 理 u证 明 的 意 义u命 题 的 证 明2 课 时 流 程逐 点导 讲 练 课 堂小 结 作 业提 升 想 一 想 举 一 个 反 例 就 可 以 说 明 一 个 命 题 是 假 命 题 ， 那么 如 何 证 实 一 个 命 题 是 真 命 题 呢 ？ 1知 识 点 定 理 与 公 理 知 1 导 用 我 们 以前 学 过 的 观 察 、实 验 、 验 证 特例 等 方 法 . 这 些 方 法往 往 不 可 靠 . 能 不 能 根 据已 经 知 道 的 真 命

2、题 证 实 呢 ？ 知 1 导 那 已 经 知 道的 真 命 题 又 是 如何 证 实 的 ？哦 那 可 怎 么 办 ？ 1.其 实 ， 在 数 学 发 展 史 上 ， 数 学 家 们 也 遇 到 过 类 似 的 问 题 .公 元 前 3世 纪 ， 人 们 已 经 积 累 了 大 量 的 数 学 知 识 ， 在 此 基 础 上 ， 古 希 腊 数 学 家 欧 几 里 得 （ Euclid， 公 元 前 300年 前 后 ） 编 写 了 一 本 书 ， 书 名 叫 做 原 本 （ Elements） . 为 了 说 明 每 一 结 论 的 正 确 性 ， 他 在 编 写 这 本 书 时 进 行

3、了 大 胆 创 造 ： 挑 选 了 一 部 分 数 学 名 词 和 一 部 分 公 认 的 真 命 题 作 为 证 实 其 他 命 题 的 出 发 点 和 依 据 ， 其 中 的 数 学 名 词 称 为 原 名 ， 公 认 的 真 命 题 称 为 公 理 (axiom).除 了 公 理 外 ， 其 他 命 题 的 真 假 都 需 要 通 过 演 绎 推 理 的 方 法 进 行 判 断 . 知 1 讲 2.本 套 教 科 书 选 用 九 条 基 本 事 实 作 为 证 明 的 出 发 点 和 依 据 ， 我 们 已 经 认 识 了 其 中 的 八 条 ， 它 们 是 ： （ 1） 两 点 确 定

4、 一 条 直 线 . （ 2） 两 点 之 间 线 段 最 短 . （ 3） 同 一 平 面 内 ， 过 一 点 有 且 只 有 一 条 直 线 与 已 知 直 线 垂 直 . （ 4） 两 条 直 线 被 第 三 条 直 线 所 截 ， 如 果 同 位 角 相 等 ， 那 么 这 两 条 直 线 平 行 (简 述 为 ： 同 位 角 相 等 ， 两 直 线 平 行 ). （ 5） 过 直 线 外 一 点 有 且 只 有 一 条 直 线 与 这 条 直 线 平 行 . （ 6） 两 边 及 其 夹 角 分 别 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等 . 知 1 讲 （ 7） 两 角 及 其 夹

5、 边 分 别 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等 .（ 8） 三 边 分 别 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等 . 另 外 一 条 基 本 事 实 我 们 将 在 后 面 的 学 习 中 认 识 它 . 此 外 ， 数 与 式 的 运 算 律 和 运 算 法 则 、 等 式 的 有 关 性 质 ， 以 及 反 映 大 小 关 系 的 有 关 性 质 都 可 以 作 为 证 明 的 依 据 . 例 如 ， 如 果 a=b， b=c, 那 么 a=c,这 一 性 质 也 可 以 作 为 证 明 的 依 据 ， 称 为 “ 等 量 代 换 ” .又 如 ， 如 果 ab， bc， 那 么

6、ac,这 一 性 质 同 样 可 以 作 为 证 明 的 依 据 . 知 1 讲 例 1 下 列 命 题 不 是 公 理 的 是 ( ) A 两 点 确 定 一 条 直 线 B 两 点 之 间 线 段 最 短 C 两 条 平 行 线 被 第 三 条 直 线 所 截 ， 内 错 角 相 等 D 三 边 分 别 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等导 引 ： 公 认 的 真 命 题 称 为 公 理 ， 其 正 确 性 不 需 要 推 理 证 实 知 1 讲（ 来 自 点 拨 ）C 总 结 知 1 讲（ 来 自 点 拨 ） 两 条 平 行 线 被 第 三 条 直 线 所 截 ， 内 错 角 相 等

7、 是定 理 ， 不 是 公 理 1 “两 点 之 间 ， 线 段 最 短 ” 这 一 语 句 是 ( ) A 定 理 B 公 理 C 定 义 D 假 命 题2 下 列 叙 述 错 误 的 是 ( ) A 所 有 的 命 题 都 有 条 件 和 结 论 B 所 有 的 命 题 都 是 定 理 C 所 有 的 定 理 都 是 命 题 D 所 有 的 公 理 都 是 真 命 题 知 1 练（ 来 自 典 中 点 ）BB 2知 识 点 证 明 的 意 义 知 2 讲 演 绎 推 理 的 过 程 称 为 证 明 ， 经 过 证 明 的 真 命题 称 为 定 理 . 每 个 定 理 都 只 能 用 公 理

8、 、 定 义 和 已经 证 明 为 真 的 命 题 来 证 明 . 知 2 讲 定 义 、 命 题 、 基 本 事 实 (公 理 )、 定 理 之 间 的 区 别 与 联 系 ： (1)联 系 ： 这 四 者 都 是 命 题 (2)区 别 ： 定 义 、 基 本 事 实 、 定 理 都 是 真 命 题 ， 都 可 以 作 为 进 一 步 判 断 其 他 命 题 真 假 的 依 据 ， 只 不 过 基 本 事 实 是 最 原 始 的 依 据 ； 而 命 题 不 一 定 是 真 命 题 ， 因 而 不 能 作 为 进 一 步 判 断 其 他 命 题 真 假 的 依 据 . 知 2 讲例 2 已 知

9、 ： 如 图 ,直 线 AB与 直 线 CD相 交 于 点 O, AOC与 BOD是 对 顶 角 . 求 证 ： AOC= BOD.证 明 ： 直 线 AB与 直 线 CD相 交 于 点 O, AOB和 COD都 是 平 角 (平 角 的 定 义 ). AOC和 BOD都 是 AOD的 补 角 (补 角 的 定 义 ). AOC= BOD(同 角 的 补 角 相 等 ). 由 上 面 的 例 题 ， 我 们 可 以 得 到 定 理 ： 定 理 对 顶 角 相 等 . （ 来 自 教 材 ） 知 2 讲例 3 如 图 ， 在 直 线 AC上 取 一 点 O， 作 射 线 OB， OE和 OF，

10、使 OE和 OF分 别 平 分 AOB和 BOC， 求 证 ： OE OF.证 明 ： 因 为 OE和 OF分 别 平 分 AOB和 BOC， 所 以 EOB 又 因 为 AOB BOC 180 ， 所 以 EOB BOF 180 90 . 即 EOF 90 ， 所 以 OE OF. 12 （ 来 自 点 拨 ）1 1 .2 2AOB BOF BOC ， 1( )2 AOB BOC 总 结 知 2 讲（ 来 自 点 拨 ） 要 证 明 命 题 是 正 确 的 ， 可 以 从 条 件 出 发 ， 根 据定 义 、 公 理 和 已 学 过 的 定 理 ， 逐 步 进 行 推 理 知 2 练 （ 来

11、 自 典 中 点 ）1 下 列 说 法 错 误 的 是 ( ) A 命 题 是 判 断 一 件 事 情 的 句 子 B 基 本 事 实 的 正 确 性 必 须 得 到 证 明 C 证 明 假 命 题 举 一 个 反 例 即 可 D 推 理 的 过 程 叫 做 证 明B 知 2 练 （ 来 自 典 中 点 ） 2 在 每 一 步 推 理 后 面 的 括 号 内 填 上 理 由 证 明 ： (1)如 图 ， 因 为 AB CD， EF CD， 所 以 AB EF(_) (2)如 图 ， 因 为 AB CD， 过 点 F画 EF AB (_)， 所 以 EF CD(_) 平 行 于 同 一 条 直

12、线 的 两 直 线 平 行平 行 于 同 一 条 直 线 的 两 直 线 平 行过 直 线 外 一 点 ， 有 且 只 有 一 条 直 线 与 这 条 直 线 平 行 3知 识 点 命 题 的 证 明 知 3 讲证 明 的 一 般 步 骤 ： 审 题 ， 分 清 命 题 的 条 件 和 结 论 ； 画 图 ， 结 合 图 形 写 出 已 知 和 求 证 ； 分 析 因 果 关 系 ， 找 出 证 明 途 径 ； 有 条 理 地 写 出 证 明 过 程 几 何 的 推 理 方 法 主 要 有 两 种 ：一 种 是 综 合 法 ， 即 由 “ 因 ” 到 “ 果 ” ， 由 已 知 条 件逐 步 推 导 出 结 论 ；一 种 是 分 析 法 ， 即 执 “ 果 ” 索 “ 因 ” ， 根 据 要 推 出的 结 论 ， 分 析 必 须 找 到 什 么 样 的 条 件 ， 一 步 一 步 反推 到 条 件 1.必 做 : 完 成 教 材 P171 习 题 T1-T22.补 充 : 请 完 成 点 拨 训 练 P135对 应 习 题