理论力学(盛冬发)课后习题答案ch12解读

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1、第12章动能定理 151 第12章动能定理、是非题（正确的在括号内打“，”、错误的打“x”）1 .圆轮纯滚动时，与地面接触点的法向约束力和滑动摩擦力均不做功。（V ）2 .理想约束的约束反力做功之和恒等于零。（V ）3 .由于质点系中的内力成对出现，所以内力的功的代数和恒等于零。（X ）4 .弹簧从原长压缩10cm和拉长10cm,弹簧力做功相等。（V ）5 .质点系动能的变化与作用在质点系上的外力有关，与内力无关。（X ）6 .三个质量相同的质点，从距地相同的高度上，以相同的初速度，一个向上抛出，一个水平抛出，一个向下抛出，则三质点落地时的速度相等。（V ）7 .动能定理的方程是矢量式。（X

2、）8 .弹簧由其自然位置拉长10cm,再拉长10cm,在这两个过程中弹力做功相等。（x ）、填空题1 .当质点在铅垂平面内恰好转过一周时，其重力所做的功为 0 o2 .在理想约束的 条件下.约束反力所做的功的代数和为零。3 .如图12.19所示，质量为m 1的均质杆OA , 一端较接在质量为 m2的均质圆轮的轮 心，另一端放在水平面上，圆轮在地面上做纯滚动， 若轮心的速度为vo ,则系统的动能T = 1232m1v0 m2Vo。h时，系统的总功W = Ph _1 kh2。2图 12.20图 12.1924 4.圆轮的一端连接弹簧，其刚度系数为k,另一端连接一重量为 P的重物，如图12.20 所

3、示。初始时弹簧为自然长，当重物下降为5.如图12.21所示的曲柄连杆机构，滑块 A与滑道BC之间的摩擦力是系统的内力，设已知摩擦力为F且等于常数，则曲柄转一周摩擦力的功为YFr。6,平行四边形机构如图 12.22所示，O1A = O2B=r, O1A/O2B,曲柄0小以角速度0转动。设各杆都是均质杆，质量均为m,则系统的动能T =-5mr202o - 143 T44 理论力学7.均质杆AB,长为1,质量为m, A端靠在墙上，B端以等速率V沿地面运动，如图2212.23所不。在图不瞬时，杆的动能为-mv2。9图 12.21图 12.228.在图12.24中，均质摆杆 OA,质量为m1 =5kg

4、,长1 =1.2m ；物块B的质量为 m2 =15kg ,由杆 OA通过套筒带动在水平面内运动。设图示瞬时，杆OA的角速度0=1rad/s , h =0.9m ,则杆OA的动能为 1.2J ,滑块B的动能为6.075J。么A60会.图 12.23三、选择题1 .若质点的动能保持不变，则(A)其动量必守恒(C)质点必做匀速运动2 .汽车靠发动机的内力做功，(A)汽车肯定向前运动(C)汽车动能肯定不变3 .如图12.25所示，半径为 R 质里为明的重物，则重物上升图度h(A) M R(B) magh4 .均质圆盘质量为 m,半径为 则此时圆盘的动能是B 。1232(A) -mvo(B) -mvo5

5、 .如图12.26所示，三棱柱Bi - 144 巴图 12.24C 。(B)质点必做直线运动(D)质点必做变速运动D 。(B)汽车肯定不能向前运动(D)汽车动能肯定变【、质量为的均质滑轮上，作用一常力矩 M ,吊升一 h的过程中，力矩M的功W= A 。h(C) M m2gh(D) 0RR,在水平面上作纯滚动，设某瞬时其质心速度为v。，322(C) 2mivo(D) mvo存三棱柱A的斜面运动，三棱柱A沿光滑水平面向左运第12章动能定理 151 动。已知A的质量为蚀，B的质量为m2；某瞬时A的速度为M, B沿斜面的速度为v?。则此时三棱柱B的动能T = D1 一 2(A)m2V22，人、1,22

6、、(C) 一 m2(v1 -v2 )21 ，、2(B) m2(v1 v2)21 22.2.(D)m2( v1v2 cosfv2 sin2图 12.266.如图12.27所示，两均质轮质量为 设某瞬时两轮的角速度分别为和62 ,m,半径均为R,用绕在两轮上的绳系在一起。 则系统的动能T= D 。(A)(B)(C)(D)1 1,2mR2 212-m R 2122m R 21122121122mR 1-m R:.-.1 R:.-.2mR、22 222 2图 12.27四、计算题12-1摆锤质量为 m,摆长为。，如图12.28所示。求摆锤由点 A至最低位置点B,以 及由A点经过最低位置点 B到点C的过

7、程中摆锤重力所做的功。解：根据重力做功的公式，摆锤由点A至最低位置点B,摆锤重力所做的功为Wab =mg(%cos%)=mg%(1 cos )摆锤由A点经过最低位置点 B到点C的过程中摆锤重力所做的功为WAC = mg(r0 cos : - r0 sin 力=mgr0(cos : - sin 二)12-2重量为2000N的刚体在已知力 F =500N的作用下沿水平面滑动，力 F与水平面 夹角0 =30。如接触面间的动摩擦系数 f =0.2 ,求刚体滑动距离s=30m时，作用于刚 体各力所做的功及合力所做的总功。解：计算滑动摩擦力Fd 二fFN =f (mg -F sin ;)=0.2 (200

8、0 -500sin 30o) =350N 刚体滑动距离s=30m时，滑动摩擦力所做的功为WFd - -Fds - T50 30 - -10500(J)主动力F所做的功为- 145 第12章动能定理- 147 oWF =Fscos30其它力不做功。合力所做的总功为W合12-3弹簧原长为I。，刚度系数为=Wf WFd =2490.4(J)k=1960N /m , 一端固定，另一端与质点M相连,如图12.29所示。试分别计算下列各种情况时弹簧力所做的功。点由M2至M3 ; (3)质点由M3至M1。质点由Mi至M2； (2)质.CA图 12.282cm 2cm 3cmM3 M1 M2 Ox图 12.2

9、9解：根据弹力做功的公式，计算下列各种情况时弹簧力所做的功。(1)质点由(2)质点由(3)质点由M1至M2,弹簧力所做的功为122196022叫2 = -k(,1 2)= (0.02 -0.05 ) - -2.06(J) 22M 2至M 3 ,弹簧力所做的功为122196022W23 =-k(、2 -、3)= 0.05 -(-0.02) =2.06(J) 22M3至M1 ,弹簧力所做的功为W31 =1 k( 3 - 1)-21960(-0.02) -0.02 = 0o= 500 30cos30 =12990.4(J)- 149 12-4lC(b)(a)(d)(c)计算图示各物体的动能。已知物体

10、均为均质，其质量为m,几何尺寸如图12.30所示。图 12.30解:(a)杆子作定轴转动，它的动能为汽m|欠2T =一Jo 12 2=_ ml 632 2=_ mR 4(b)圆盘绕O点作定轴转动，它的动能为12132 2T =_ JO = _ mR 22 212 2=一 mR ，4(c)圆盘绕。点作定轴转动，它的动能为-1,2112 2T =Jo = mR -22 2(d)圆盘在水平面上作纯滚动，它的动能为1212T =-mvcJc，3 2=mvC412 1 12 .VC .2=mvc , mR ()22 2 R12-5如图12.31所示，与弹簧相连的滑块 M ,可沿固定的光滑圆环滑动，圆环和

11、弹簧 都在同一铅直平面内。已知滑块的重量W=100N ,弹簧原长为l =15cm ,弹簧刚度系数k=400N/m。求滑块M从位置A运动到位置B过程中，其上各力所做的功及合力的总功。解：根据重力做功的公式，滑块 M从位置A运动到位置B过程中，重力所做的功为W重=Wh =100 0.1 =10(J)根据弹力做功的公式，滑块M从位置A运动到位置B过程中，弹力所做的功为-k( A 一,旧)而坛=V0.32 +0.12 0.15=0.1662m, % =0.2 0.15 =0.05m ,代入上式，可得12240022W弹=ak(、A-、b)(0.1662 -0.05 )=5.03(J)合力的总功为W合

12、WNn W弹=15.03(J)12-6长为l、质量为m的均质杆OA以球镀链O固定，并以等角速度 绕铅直线转动,如图12.32所示。若杆OA与铅直线的夹角为日，试求杆的动能。图 12.31图 12.32解：将杆分成许多微段，先计算微段的动能 22 . 2 t1 m 2 m2 mx sin dT =dxv = dx(x sin ) =dx2 l 2l2l整个杆子的动能为1TI - 1-O Io-dx02nsi2o2IX m02nsi2212-7摩擦阻力等于正压力与滑动摩擦系数的乘积。为测定动摩擦系数，把料车置于斜 坡顶A处，让其无初速度地下滑，料车最后停止在C处，如图12.33所示。已知h、s2,

13、试求料车运行时白动摩擦系数f。解：料车在坡顶 A处无初速度地下滑最后停止在C处，在该过程中重力和摩擦力均要做功，由动能定理，可知它们做功的和等于零。料车在坡顶A处下滑到C处，重力所做的功为W重二 Wh式中W为料车的重力。而料车在坡顶A处下滑到C处，摩擦力所做的功为W摩=-fW cos /s2 h2fW&而cosu、S|2 +h2 =s1 ,即摩擦力所做的功为W摩=-fWs1 - fWs2由动能定理可知，合力的功为零，即W合=Wa W摩:Wh -fW(s! s2)=0解得12-8如图12.34所示，一不变力偶矩 M 量为例。绕在鼓轮上绳索的另一端系一质量为 设初始系统静止，斜面与重物间的摩擦系数

14、为作用在绞车的均质鼓轮上，轮的半径为r ,质m2的重物，此重物沿倾角为 a的斜面上升。图 12.33f。试求绞车转过中后的角速度。图 12.34解：选系统为研究对象，受力分析和运动分析如图所示。绞车转过中，重物向上滑动s=r邛的距离。在此过程中，作用在鼓轮上的力偶矩M所做的功为Wm =M邛，滑动摩擦力所做的功为 WFd =-Fds =-fm2gr甲cosa ,重物重力所做的功为 WM =-fm2gr中since ,而其它的 力均不做功。故绞车转过邛后，系统所受的全部力做功的和为“ W =M - m2gr ：( f cos: sin.：)初始系统静止，系统的动能Ti =0。设绞车转过 平后的角速

15、度为0 ,则重物沿斜面上升 的速度为rco ,此时系统的动能为1 12 2 12 2 12 2T2 = m1r - -m2r - =(m1 , 2m2)r 2 224由动能定理t2 -T1 = w ,有19 9(m1 - 2m2) r2 =M，： -m2gr (f cos二 sin4解得绞车转过 中后的角速度为2 M=； ：-m2gr (f cos： ；sin ):)CO =-I,r (m1 2m2)第12章动能定理 151 12-9两均质杆AC和BC各重为P ,长为l ,在点C由钱链相连，放在光滑的水平面上， 如图12.35所示。由于A和B端的滑动，杆系在铅垂平面内落下。 设点C初始时的高度

16、为h , 开始时杆系静止，试求较链 C落地时的速度大小。图 12.35解：选系统为研究对象，受力分析如图所示。设点C由高度h下落到地面时的速度为 V, 而此时A和B两点的速度均为零。即C落到地面时，杆AC和BC的速度瞬心分别为 A和B 两点。杆AC和BC的角速度为v AC = BC = l 由于开始时杆系是静止的，即系统初始时的动能T1 =0 ,较链C落到地面时，系统的动能T 1 I 21 1 2 P 2T2 一二 JA AC - JB BC 一丁 V223g点C由高度h下落到地面时，系统所受的全部力做功为、-h“ Wi =2 P Ph2由动能定理T2 -T1 = Wi，有v2 =Ph3g解得

17、钱链C落地时的速度v = 3gh12-10两均质杆AB和BO用钱链B相连，杆的A端放在光滑的水平面上， 杆的。端为 固定较支座，如图12.36所示。已知两杆的质量均为 m,长均为l ,在杆AB上作用一不变 的力偶矩M ,杆系从图示位置由静止开始运动。 试求当杆的A端碰到较支座。时，杆A端 的速度。- 153 F NABPF OyAmgmg/ M MA / vaO FOxO图 12.36OB绕定轴转动，杆 AB解：选系统为研究对象，受力分析如图所示。运动过程中，杆 作平面运动。由点 A、B的速度方向，可知杆 AB的速度瞬心如图所示。点 B的速度为Vb = abPB = obOB由于PB=OB=1

18、 ,所以0AB =8OB =0。当杆的A端碰到较支座 O时，P、B、A三点共 线。点A的速度为初始时杆系是静止的, 能为杆的A端碰到较支座Va = AB PA =21，即系统初始时的动能T1=0。杆的A端碰到较支座O时，系统的动1 .212T2 二 - J p.AB - - Jo OB1 r 1. 2. 3 . . 221.1.2.24.22二 ml -m( l) ( ml )= ml-2 122233O时，系统所受的全部力做功为 Wi = M 1-2mg(- cos：1) =M 1-mgl(1 - cos 可2 2由动能定理T2 -T1 = Wi，有42 2ml = M 1-mgl (1 -

19、cos 1)解得两杆转动的角速度为13M 1 - mgl (1-cos 明0 = i21 ,解得杆的A端碰到较支座O时，杆A端的速度3 M-mgl(1 - cos 叫m12-11如图12.37所示曲柄连杆机构位于水平面内。曲柄重为W1,长为 J连杆重为W2,长为l,滑块重为 W3,曲柄及连杆均可视为均质细长杆。今在曲柄上作用一不变转矩M,当/ AOB = 90 口时，A点的速度为v,求当曲柄转至水平向右位置时A点的速度。AB图 12.37解：选整个系统为研究对象，受力及运动分析如图所示。在运动的初始时刻，曲柄作 定轴转动，连杆作瞬时平动，滑块作平动。当曲柄转至水平向右位置时，由vA及vB方向，

20、根据速度投影定理可知 vB =0,即B点为连杆的速度瞬心。通过上面分析，我们可以先计 算两位置系统的动能：1 , ,V、21 W2 21 W3 2 W1 3W2 3W3 2T1 = JO(-)vv =v2 r 2 g 2 g6g1 -VA 2 . 1 -VA 2 W W2 V2I2 = Jo(-)J B (-) =Va2 r2 l6g在曲柄由/ AOB = 90 位置转至水平向右位置的过程中，各力做功之和为-n工 Wi .M 2由动能定理T2 -T1 = Wi，有叫+W2 V2 W1 +3W2+3W3 V2 _M 冗6g “A6g v 2解得A点的速度为23M 二g (W1 3W2 3W3)v

21、7 A =W W212-12带式输送机如图12.38所示，物体 A重量为 W1,带轮B、C的重量均为 W,半 径为R,视为均质圆盘，轮 B由电动机驱动，其上受不变转矩M作用。系统由静止开始运动，不计传送带的质量，求重物A沿斜面上升距离为s时的速度和加速度。解：选系统为研究对象, 时，带轮B、C转过的角为图 12.38A沿斜面上升距离为s受力分析和运动分析如图所示。重物=s。此过程中，各力做功的代数和为R第12章动能定理 151 、Wi =M ： -W1ssin 二=(M -W| sin : )s初始时系统是静止的，即系统初始时的动能T1 =0。重物A沿斜面上升距离为s时,假设重物A的速度为Va

22、,则系统的动能可表示为1 W1 21 ,2 1 ,2 Wi W 2丁2 =不Va , - J B-.B - Jc ,c = Va2 g 222g由动能定理T2 -T1 = Wi，有(1)W1 W 2 M-vA =(W1sin 二)s2gR解得重物A沿斜面上升距离为s时的速度为2gs(M /R -W1 sin :)W1 W如果对(1)式两边同时对时间求导数，可得重物A沿斜面上升距离为 s时的加速度为M / R WiS i naA = gW1 W12-13如图12.39所示两个相同的均质滑轮，半径均为R,重量均为 W,用绳缠绕连接。如动滑轮由静止落下，带动定滑轮转动，求动滑轮质心C的速度vC与下落

23、距离h的关系并求点C的加速度图 12.39解：分别选整体和两滑轮为研究对象，受力和运动分析如图所示。设动滑轮由静止落 下距离h时，动滑轮质心C的速度为Vc,此时两轮的角速度分别为 。和COc,角加速度分 别为我和航。(1)对于均质滑轮 O应用定轴转动微分方程，有1 W 2Jo ；o = R O = R Fab2 g对于均质滑轮C ,根据平面运动微分方程，有,.1 W 2 .JC C - - R C - R FBA2 gW一aW - FbaCBAg选绳索为动系，对均质滑轮质心C应用点的复合运动加速度合成定理有ac = R ；o R C其中：Fab =Fba,联立求解可得ac =,g , % =

24、% =生。由于系统初始静止，两轮均由 55R静止开始且以等角加速度转动，所以在任意时刻，两轮转动的角速度相等，即有 ,O - c(2)对于整个系统，应用动能定理，有1 W2721 ,21 ,2vc.二 Jc；二C,二 JO；：O -Wh22(1)- 159 1W2d选绳索为动系，对均质滑轮质心C应用点的复合运动速度合成定理有vC = vB - vCB = R( O , C)这样，(1)式可写为221 W 221 W 22=hR2(O c)2R2C -R2O解得动滑轮质心c的速度vc为1 2gh O=R 5vc*12-14均质杆AB的质量为m=4kg ,其两端悬挂在两条平行等长的绳子上，如图12

25、.40所示。杆AB处于水平位置，设其中一绳突然断了，试求此瞬时另一绳的张力。解：选均质杆 AB为研究对象，受力及运动分析如图所不。绳断开瞬间，coAB =0 , vA =0 , A端只有切向加速度aA,法向加速度aA =NA=0。以点A为基点， ca由aOxyOy =aA +aOA作质心O的加速度合成图。杆AB作平面运动，应用平面运动微分方程，有maoy = mg -Ft图 12.40补充运动学方程，有1 , lml ab =Ft-12aOy =aOA =2 ；AB联立求解，可得另一绳的张力为1FT =- mg = 9.8(N )412-15均质杆OA可绕水平轴 由旋转，如图12.41所示。已

26、知杆O转动，另一端钱接一圆盘， 圆盘可绕较A在铅垂平内自OA长为1,质量为m1 ,圆盘的半径为 R ,质量为m2。摩4 g4 g擦不计，初始时杆 OA水平，且杆和圆盘静止。试求杆OA与水平线成日角时，杆的角速度和角加速度。解：以系统为研究对象，受力分析和运动分析如图所示。系统初始静止，其动能Ti=0。当杆OA与水平线成6角时，杆OA的角速度为切oa。因圆盘作平动，故系统的动能为12121 2 =二 JO OA _ m2VA22公12一将Jo =md , Va =1oa代入上式，仔3丁 ,11、,2 2T2 =(m1 1 一m2)l ；：;oa 62杆oa从水平位置转动到与水平线成e角的过程中，

27、系统所受的全部力做功为“ Wi = m1g sinm2gl sin 二2由动能定理T2 -T1 = Wi，有(1),11、，2 2l622( m1m2)l 0A =m1gsinm2glsin 二解得杆的角速度为二 3m1 6m2 gsini:m1 3m2 l将(1)式对时间求导数，得杆的加速度为OA =3ml .6m2 gm1，3m2 2l12-16如图12.42所示，半径为n,质量为m1的圆轮I沿水平面作纯滚动， 在此轮上绕 一不可伸长绳子，绳的一端绕过滑轮II后悬挂一质量为 m3的物体M,定滑轮II的半径为r2, 质量为m2 ,圆轮I和滑轮II可视为均质圆盘。系统开始处于静止。求重物下降

28、h高度时圆 轮I质心的速度，并求绳的拉力。m2 g图 12.41图 12.42解：分别选整体和物体 M为研究对象，受力及运动分析如图所示。系统初始静止，其动能Ti =0。重物下降h高度时设重物下降的速度为 v ,则圆轮I和滑轮II转动的角速度分另I为 1 =1 2Q。2 =,圆轮I质心的速度为vC=*。此时系统的动能为r22丁 121,21,212T2 =mivCJc 1 J2 2m3V222232 12 12二 一 m1v m2v m3v1642重物由静止开始下降 h高度的过程中，系统所受的全部力做功为W =m3gh由动能定理T2 -T1 = W，有(1)3112（ m1 m2 m3）v 二

29、 m3gh1642解得重物的速度为v =4m3gh, 3ml -4m2 -8m3圆轮I质心的速度为vc =2m3gh2 3m14m2 8m3将（1）式对时间求导数，得到重物的加速度为8m3ga - 3ml 4m2 8m3对重物M应用质点运动微分方程，有m3g - Ft 二m3a解得绳的拉力为Ftg m3a =(3m1 4m2)m3g3ml 4m2 8m312-17如图12.43所示机构中，滚轮和鼓轮均为均质体，质量分别为mm2,半径均为R,斜面倾角为a,如不计绳子的质量和滚动摩擦，滚轮C在斜面上作纯滚动。今在鼓轮上作用一力偶矩 M。试求：（1）鼓轮的角加速度；（2）轴承O的约束反力。解：不妨设

30、系统初始是静止的，这样初始系统的动能 T1 =0。在鼓轮上作用一力偶矩 M后，设鼓轮转过中角后其转动角速度为 何，滚轮质心C的向上运动速度为vC=R叱，滚轮 转动角速度 酬 4 =02 ,系统的动能为R.121，21，2,312 2T2 = m1vCJC 1JO 2 =（一m1m2）R 222244鼓轮转过中角的过程中，系统所受的全部力做功的代数和为 W = M9: -migR sin ;由动能定理T2 -T1 = Wi，有312 2（mi m2） R 2 = M - m1gR sin 工上式两边同时对时间求导数，可得2（M -m1gRsin rQ2 二 772-（3m1 m2）R对鼓轮应用刚

31、体定轴转动微分方程，有Jc ；2 =M -FtR 第12章动能定理 151 解得绳子拉力为3mlM m1m2 gRsin-FT 二-(3m1m2 )R对鼓轮应用质心运动定理，有FOx - FT COS ： =0F0y -m2g - FT sin =0解得轴承O的约束反力为m1 (6M cos：，m2gRsin 210FOx - FT cos、工-T7T-2(3m1 m2)Rm1(3M m2gRsin：).F0y ; m2 g -2sin 二(3m1 m2)R12-18如图12.44所示的系统中，物块及两均质轮的质量为m,轮半径为R。轮C上缘缠绕一刚度系数为 k的无重弹簧，轮C在地面上作无滑动地

32、滚动。初始时，弹簧无伸长， 此时在轮O上挂一重物，试求当重物由静止下落为h时的速度和加速度，以及轮 C与地面间的摩擦力。- # 图 12.43图 12.44解：分别选整体和轮 C为研究对象，受力及运动分析如图所示。系统初始静止，其动能Ti =0。重物下降h高度时设重物下降的速度为v ,则圆轮I和滑轮II转动的角速度分别为* =02 = v，轮C质心的速度为vC =切内=丫。此时系统的动能为 R121,21,21232T2 = mvCJC；：；1 , -JO; - mv =mv22222重物由静止开始下降 h高度的过程中，系统所受的全部力做功为122Wi = mgh - k(2h) =gh -2kh由动能定理T2 T1 = Wi，有(1)322mv = mgh -2kh解得重物的速度为2(mgh -2kh2)v一3m将(1)式对时间求导数，得到重物的加速度为mg -4kh3m对轮C应用刚体平面运动微分方程，有Jc 4 =FsR-FR解得14kh mgFs =ma F =236