卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法要点

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1、黑龙江工程学院本科生毕业论文第1章绪论1.1 研究的目的自从1960年卡尔曼滤波提出以来，它已成为控制，信号处理与通信等领域最基本最重要的计 算方法和工具之一，并已成功的应用到航空，航天，工业过程及社会经济等不同领域，比如，在 雷达中，人们感兴趣的是跟踪目标，但目标的位置、速度、加速度的测量值往往在任何时候都有 噪声。卡尔曼滤波利用目标的动态信息，设法去掉噪声的影响，得到一个关于目标位置的好的估计。这个估计可以是对当前目标位置的估计（滤波），也可以是对于将来位置估计（预测），也可以是对过去位置的估计（差值或平滑）。但随着微型计算机的普及应用，对卡尔曼滤波的数值稳定性、计算效率、实用性和有效性的

2、要求越来越高，随着微型计算机时代的来临显著地提高了科学计算 的能力，滤波大量复杂的计算在计算机种只需要几分钟就能算出，为此本文将对卡尔曼滤波进行 研究。1.2 研究的意义卡尔曼滤波（Kalman ,1960）是当前应用最广的一种动态数据处理方法,它具有最小无偏方差性.把变形体视为一个动态系统，将一组观测值作为系统的输出，可以用卡尔曼滤波模型来描述系统的状态.动态系统由状态方程和观测方程描述，以监测点的位置、速率和加速率参数为状态向量，可构造一个典型的运动模型.状态方程中要加进系统的动态噪声.其滤波方程是一组递推计算公式，计算过程是一个不断预测、修正的过程，在求解时，优点是不需保留用过的观测值序

3、列，并且当得到新的观测数据时，可随时计算新的滤波值，便于实时处理观测成果 把参数估计和预报有机地结合起来.卡尔曼滤波特别适合变形监测数据的动态处理.1.3 研究的方法1.4 课题的主要内容本文先从现代测量误差处理理论基础开始讲解，细致的写出现代测量误差都有那些函数，并 详细分析讲解这些函数，在继续讲解最小二乘与卡尔曼滤波的关系，如量测值越多，只要处理得 合适，最小二乘估计的均方误差就越小。采用批处理实现的最小二乘算法，需存储所有的量测值。 若量测值数量十分庞大，则计算机必须具备巨大的存储容量，这显然是不经济的。递推最小二乘 估计从每次获得的最小量测值中提取出被估计量信息，用于修正上一步所得的估

4、计。获得量测的 次数越多，修正的次数也越多，估计的精读也越高。这和卡尔曼滤波原理非常相似，本文在详细 讲解了卡尔曼滤波，写出其原理性质，在根据 C+进行编程，使其应用于测量领域。第2章现代测量误差处理理论基础2.1 概述在测量、通信和控制等学科中，为了求得某些未知参数，常常要进行一系列的观测.由于测量上的局限性，往往只能观测未知量的某些函数，且观测值中必然含有误差(或称为噪声).这就产生了根据含有误差的观测值求定未知参数估值的问题.下面举几个例子.(1) 为了确定平面或三维控制网中各点的坐标，对控制网的边长和方向(或坐标差)进行了观测，当然，观测值包含有误差.设各点的坐标为未知参数向量X,而包

5、括边长和方向的观测值向量为L则L和x之间有函数关系L = F(X).：式中表示误差向量.通过含有误差的观测向量L来求定待定点坐标的最佳估值，就是一个估计问题.在测量中，就是一个平差问题.(2) 通信理论中的一个重要问题是从接收到的信号中，提取被发送的信号设被发送的信息调制 成信号S(t),而接收到的信号也就是信号的观测值L(t),由于大气噪声和电路噪声的干扰，因此有L(t) = S(t )n(t)其中n(t)是噪声，t表示时间.通信中的主要问题就是从L(t)中将有用的信号 S(t)分离出来，也就是由L(t)求定S(t)的最佳估值.信号 S(t)也是一种未知参数.(3) 生产过程的自动化可以达到

6、高效率和高精度在实现生产过程的控制中，需要通过对生产系统进行状态的不断测量，得到与系统运行状态有关的观测值；然后对观测值进行分析处理得到 控制信号，实时地控制生产系统按要求运行.但由于观测值中存在误差，所以，为了得到控制信 号，就要求由观测值来估计系统的运行状态(4) 卫星(或其他运动体)的轨道往往可以由如下微分方程确定X(t)= f(X(t),u(t),iJ(t)式中f表示时间；x(t)表示卫星的轨道参数，在此处称为状态向量；U(t)为控制向量；力 是随机的状态噪声.为了精确估计或预测卫星的轨道，就需要对卫星进行观测，从而得到大量的观测数据L(t),然后实时地由含有误差的观测值L(t)来估计

7、卫星的轨道，即估计卫星的轨道参数.以上例中所述的信号或状态都可以说是一种未知参数.在测量平差中，通常称非随机的未知参数向量为参数，而称随机参数向量为信号，而称随时间 t变化的动态系统中的未知参数向量为状态向量，或筒称为状态.可以看到，在上面的例子中，都存在一个对未知参数进行估计的问题.一般说来，若设x为t阶未知参数向量(简称为参数)，L为n阶观测向量(或称观测值)，表 示n维误差(或噪声)向量.那么，所谓估计问题，就是根据含有误差 的观测值L,构造一个函数父(L),使父(L)成为未知参数向量 X的最佳估计量，其具体数值称为最佳估值(以后一般不区分其含义).通常将 翼(L)简记为火，并记,=X

8、-W(L) = X - 父称为父(L)的估计误差.可以看到，当;的数学期望等于零时，父;的方差就等于(/：);而当X为非随机量时，未知参数的估值工的方差D攵；也就等于其误差方差 D(攵).在估计理论中，通常是用估计量义的误差方差D(Aq)来衡量其精度的.但在经典的最小二乘平差中，由于X一般都是非随机参数，所以习惯上都用估值(平差值)的方差衡量精度.在根据观测值L求未知参数x的估值望(L)时，总是希望所得到的估值是最优的.由估计理论知道，最优估计量主要应具有以下几个性质：(1) 一致性.由观测值得到的估值望(L)通常与其真值是不同的，我们希望当观测值个数n增加时，估计量变得更好些；当n无限增大时

9、，估计量向被估计的参数趋近的概率等于1.即如果对于任意名A 0 ,有lim P(X - X? x X ；) =1(1-1-1)n ：二则称估计量)？具有一致性；若有lim( X 一)(X -)?)T) =0(1-1-2)则称此估计量是均方一致的.估计量的一致性是从它的极限性质来看的.(2) 无偏性.若估计量 处的数学期望等于被估计量 x的数学期望，即E() = E(X)(1-1-3)如果丑是非随机量，上式即为E(X)=X(1-1-4)则称丘为无偏估计量.如果 E()?)t X(nT ),则称必为渐近无偏.(3) 有效性.若由观测向量L得到无偏估计量 寅的误差方差E(X一)逐一文)丁)， 小于由

10、L得到的任何其他无偏估计量 X的误差方差E(X -X )(X -X )T),即E(X -)?)(X -)?)T) Xp|-2(X2-)T D以(X2 - 版)j而将(1-2-15)和(1-2-18)两式代人(1-2-20)式，即得(1-2-21 )E 1f (X1. X2) =(2二)一2 DJ 2 eXp -2-韦)丁D1；(2 -*)(1-2-22)显然，上两式仍然是正态概率密度，根据条件期望和条件方差的定义和正态概率密度的性质可得E(X1；X2)=S1 =1 %口2m2-2)E(X2,X1)=玄=2 D21D(X1 -4)(1-2-23)D(X1,.X2) =Dn =D11 -D12D2

11、2D21D(X2.X1)=出22 =口22-口2心也2(1-2-24)因此，(1-2-21)和(1-2-22)式又可写为-1Tf(X2；Xi) =(2n)1 D(X2/xi) c exp,k - E(Xz/xi) D(Xz/xi) h E(X?/Xi)I 2Jmf(Xi： X2) =(2二)-1 1 r,-T-1, r,D(Xx2) 2 eXp |-x1 -E(X1/X2) D-l(X1/x2) X1 - E(X1/X2)jj(1-2-25)正态分布的条件期望具有以下性质:(1)由(1-2-23)式可知，E(X/x2)是的线性组合，所以，它是正态随机向量；当然E(X2/Xi)也是正态随机向量.

12、(2) 设X和Y,为正态随机向量，且设=X -E(X, y)Z = AY(1-2-26)则X是与z互相独立的随机向量.这是因为X =X -1X - DxyDYY -y)?=x -DxyD/yDxyDy4jy由协方差传播律可得D(X,Z)= E -DxyDxyDy,Dya: DxyAT -DxyDyJDyAT 设 XN(NX，Dx)Y1N(%,Di), VN(邑2R),且cov(Yi,Y2)=0,而D(X,Yi)=Dxy U0,D(X,K)=Dxy2 口0,则有E(X, y) = E(X/y1, y2) = E(X： V) E(X/y2)-(1-2-27)因为E(X.y) =E(X, *) =

13、% DxyDyJ(v-)Vi1D2 J y2-R上11所以E(X. y1,y2)-1xDxY1D(V1 -1) - 9xY2D2(V2 -2) x -x= E(X,y1) E(X：V2)-x设 X N(g ,Dx),Y N(%,Dy),且L n DHD1121D12D22，DxyXX_dY2X _令 Y2=Y2-E3/yi),则有E(X. Vi，V2) =E(X,Vi，V2)(1-2-28)= E(X；V1) e(x/V2)-证 因为Y2 =Y2 -2-D21D；M -)所以一一1_=-D21D11 ER LD21D1E(Y2)= 0,D(Y2)-|-D2iDi11dM,X)=D21D1I利用

14、分块求逆公式和(1-2-29)式得E(X.yi,y2)=x DxyDyJ(Y-)ccDllIIDxyIdxy2dD21=DY2X - D21 D11 DY1X(1-2-29)D12 I Y - t ID22,Y2 - 匕 _D , -n n q IDi1Di2 出- n/n 匚1+ iDi1 0 11 Yi “IXJxYiDxy2， e P22 LDl1D21E 00*2.2；f11rl L 1 一 1,YEl=h +(-DxYD;Di2+DxY2)DpY2)-Di；D2ie1+DxyiDi； 0|1 I1 Y2 _匕_=XD(X,Y2)D J(Y2)：-D2iDi11(Yi -li) Y2-

15、2? - Dxy1Di11(Y1 -1) - x- = E(X, yi) E(X,.,y2)- 2.2.4矩阵反演公式由于正定矩阵的逆阵唯一，故由(1-2-7 )、(1-2-8 )两式直接可得：1D11 D12(D22- DziDijDiJ=(Dii -Di2D2;D2i),Di2D2;(1-2-31)(% -口12口2如21)=Dil1Di；%。？ -D2iDi；Di2)D2iDi；(1-2-30)由此可知，对于任意矩阵A、B和任意可逆阵 C D,只要在下式中它们可以相乘，就有上两式关系,一般形式为(D ABC)=D 4 A(C,bd 4A)，BD,(1-2-32)CB(D ABC)，=(C

16、 BDA),BD,(i-2-33)通常称(1-2-32)、(1-2-33)两式为矩阵反演公式，是两个非常重要的关系式，在测量平差推导公 式时常要用到.矩阵反演公式也可直接证明.令H =(D+ABC),，则有(D+ABC)H =E，或 DH+ACBH=E(1-2-34)将上式左乘B,得_ 1_ 1H =D DACBHBD=(C/+BD/A)CBH ,(CBDA)BD=CBH此即(1-2-33)式，代入(1-2-34)式，即得(1-2-32)式.2.3 极大似然估计X,进彳f 了 n次设有参数向量X,它可以是未知的非随机量，也可以是随机向量，为了估计 观测.得到了观测向量 L的观测值l ,又假定对

17、X的所有可能取值为 X,在X=x的条件下得到的观测向量L的条件概率密度为 f(l/x) .容易理解，f(l/x)是x和l的函数，但对具体的观测值l来说，f(l/x)可以认为只是 x的函数.因此，如果?是X中的一个，而f(l/?)是f(l/x)中的最大值，那么，?是x的准确值的可能性最大.此时把*叫做X的极大似然估值，并记作 攵ml( L)或)?ml这就是说，极大似然估计是以为准则求最佳估值x的方法.显然，它满足于f (l/x) = max(1-3-1)由于对数是单调增加函数，因此身(lx)& xgml(L)(1-3-2)ln f(l/x)与f (l/x)在相同的x值达到最大，亦即(1-3-2)

18、式等价例n f (l x)0改x衣ml(L)(1-3-3)此方程称为似然方程，f (l/x)称为似然函数，而ln f (l/x)称为对数似然函数如果参数X是非随机量，则f(l. x) = f(l,x)而(1-3-1)式变为f (l； x) = max(1-3-4)此时，f(l,X)是%的概率密度，其中的X只是表示函数与参数X有关.由似然方程或(1-3-2)式可见，极大似然估值)?ML是观测值L的函数.在采用极大似然估计求攵ml时，需要首先知道似然函数f(l/x)或对数似然函数lnf(l/x).2.4 最小二乘估计设被估计量是t维未知的参数向量 X,观测向量为nL1(n t)其观测误差(或称为噪

19、声)向量为念，观测方程(1-4-1)式中息的秩rk(B)=t, ES)=0,DS) = D&,设X的估值为 父，则有(1-4-2)(1-4-3)V = B)? - L所谓最小二乘估计，就是要求估计值及使下列二次型达到最小值，即T* =VTPV= B)?-L P(B)?-L) = min其中月是一个适当选取的对称正定常数阵，X称为X的最小二乘估值，记为 XLS或)?LS (L).参数X的各个分量Xi之间没有确定的函数关系，即它们是函数独立的参数时，可将 中(父)对又求自由极值，令其一阶导数为零，得T 二 V T=2 P7=2V PB =0(1-4-4)解得1 丁父=BTPB BTPL(1-4-6

20、)转置后，得BTPV =BTP B)? - L =0(1-4-5)BTPB* =BTPL又因为次2= 2BTPB 0所以火使中()？ M到极小值.最小二乘估计量x的估计误差为?=X - 父=X - BTPB “ BTP BX - - BTPB 4 BTP (1-4-7)由此式按协方差传播律可得X的误差方差阵为11D 5? = BTPBBTPD .PB BT PB(1-4-8)将对称正定阵D4表示为D4=RTR (R为可逆阵)，并令a 二 BTRT b = RPB B PB则得：Tfff Tf 1_ab 二BTR,RPB BTPB)二E且由“矩阵形”许瓦茨不等式可得：TT T -1T 1D Q

21、= b b _ ab ：i aa i ab = aa即T TT-1 . T i . iD .& = B PB B PD PB B PB _ (B D - B)只有当P =P = D才或P = PA= DJ (仃广为常数)时，上式才取等号，而使 力的误差方差阵 达到最小，此时有D ? =Var 必=(BTD；B)= BTPB ,二：(1-4-9)有时将P取为D或D击广时的估计称为马尔柯夫估计，此时应将(1-4-3)式写为VT PV = min(1-4-10)可以看到，最小二乘估计具有如下性质：(1) 最小二乘估计是一种线性估计，即X的估计量XLS是观测值的线性函数.(2) 当观测误差的数学期望为

22、 E(A)=0时，因E L =BX所以11 丁E )?LS = B PB B PE L = B PB B PBX =X即Xls具有无偏性.(3)当观测误差的方差阵为 D，而取PDnprexp -(l -E(L/x) Q(L/xXl-E(L/x)(2冗)D(L x j L 2J式中E L x =九 DlxDX1 x-晨D L x =Dl -DlxDDxl将(1-4-13)式代人上式得：E L x bB B x- =BxD Lx =(BDxBT D )-BDxDx1DxBT = D.：由于似然方程等价于(l -E(L/x ) D,(L/x Xl - E(L/x)=min所以也等价于(L-B)? d

23、1(L B义)=min(1-4-14)考虑到p.d”.d；：V = B)? - L则(1-4-14)式也就是最小二乘估计的准则(1-4-10).这就由极大似然估计导出了最小二乘估计.从上述讨论看到，在由极大似然估计导出最小二乘估计的过程中，虽然将参数X作为随机向量，但是在求最小二乘估值乂ls时，并不需要知道 X的先验期望和先验方差.因此，从这个意义上可以说，最小二乘估计实际上并没有考虑参数的随机性质.正因为如此，当不知道参数的先验 期望和先验方差，或者参数是非随机量时，可以应用上述最小二乘估计求其估值.本节是以间接平差的函数模型为例，说明了最小二乘估计的准则.至于其他的各种经典平差 法(如条件

24、平差、附有参数的条件平差、附有限制条件的间接平差)，尽管它们各具自己的函数模型，但它们所依据的估计准则不变，其差别仅在于：在不同的函数模型下，它们的具体求解方法 有所不同.因此可以说，各种经典平差方法，都是依据最小二乘估计准则VTPV =min ,去求未知参数X的最小二乘估值 ls和观测值L的平差值I?.2.5 极大验后估计如1-3节中所述，极大似然估计是以“ f (“I )=max”为准则的估计方法， 而极大验后估计 则是以f x I = max(1-5-1)为准则的估计方法这里 f (X/I )是随机参数向量 X在观测向量 启=总的条件下的条件概率密度 I仍然表示L的观测值.这个准则的含义

25、在直观上是较明显的.它的含义是：给定了 L的一组子样观测值I ,由这组I可以按一定的概率取得参数X的不同估值 * ,其中最佳估值的条件概率密度f (x/l )应为极大值.一般用 XMA或*ma(L)表示由极大验后估计得到的最佳估值，称之为极大验后估值，显然， XMA应满足洌n f(x I )exxMA =0(1-5-2)此方程称为验后方程.因为f I,xf x I =f2 IIn f x, I = In f I,x -In f2 I将上式对x求导，则有F In f x I In f x,I.x由此可知，极大验后估计的准则(1-5-1)式等价于f x,I = max2.6 最小方差估计L求得X最

26、小方差估计是一种以估计误差的方差为最小作为准则的估计方法，即根据观测向量参数X的估值，如果它的误差方差比任何其他估值的方差小，就认为这个估值是最优估值.记的最小方差估值为 父乂丫或mv (L) .设任一彳t值为 文,其估计误差为义,而误差方差阵为D (又)=EX 父 XX 0)二 二T二 Hx ? X - ? f x,l dxdl=j：X及Kx ?ff (x/l )dx f2(l )dl(1-6-1)当D (又)取最小彳1时的 火就是最小方差估值 Xmv .因(1-6-1)式表示的方差阵是一个非负定对称阵，所以，为了求得使 D(iX?)取得最小值的mv ,只需要求下式的最小值，即得：二二T.=

27、1 i：X-? X-? f X l dx(1-6-2)由上式可写为=：ix E X l -?.Tlx - E X l E X l _X f x l dx7. T=.x-E X l x-E X l f xl dx T 二E X I -X E X. l -X f x l dx OQ，二二,T1. ：(x-E X. l )f x l dx/ E X. l -?E X l -X ：(x-E X l )Tf x l dx因为二f x l dx=1,；(x-E X l )f x l dx= ；xf X l dx-. ；E X. l f x l dx= E X. l -E X.l )=0所以=(x -E X

28、 l )(x -E X l )T f x l dx _oOT(E X. l X) E X l -X(1-6-3)由于(E(X/l )-X)(E(X/l )-WT总是一个非负定阵，所以, F. T,=.x-E X. l x-E X l f x l dx(1-6-4)欲使中取得最小值，就应使上式取等号，此时应使即得参数的最小方差估值为E XI -父=0Xmv =E X l(1-6-5)而最小方差估值XMV的误差方差阵为D(望mv 尸 EX-E(X/l )(X-E(X/l)二,二T.(1-6-6):I 1- I I：x -E X. l iiix-E X,. l f x l dx，f2 l dlD X

29、X/l f2 l dl它是估计误差的最小方差阵.又因为考虑到即得E。= ：E X l f2 l dl=:.Xf x. l dx/ f2 l dlqQf x,l dl.dx_o0f x,l dl = fi(x)-QUE(?mv)= ：xfi x dx = E X(1-6-7)可见，Xmv是X的无偏估计量.可以看到，当X和L都是正态随机向量时，X的最小方差估值：XMV ,和它的极大验后估值 X1MA是相等的.然而，当 X和L不都是正态随机向量时，qMV就不一定等于 父1MA 了.2.7线性最小方差估计前面所述的极大似然估计、极大验后估计和最小方差估计，均要求知道观测向量L和未知参数向量X的条件概率

30、密度或联合概率密度。它们所得到的估计量 可以是L的任意函数.而最小二乘估计可以不需要知道任何统计性质，所得到的估计量x。是的线性函数， 所以说最小二乘估计是一种线性估计.本节的线性最小方差估计则是放宽对概率密度的要求，只要求已知L和X的数学期望和方差、协方差，以及限定所求的估计量是观测向量L的线性函数，再以估计量的均方误差达到极小为求最优估计量的准则.这样得到的估计量称为线性最小方差估计量，并记为以Xl(L)或)?l。设已知观测向量L的数学期望和方差为Rl和Dl ,参数向量X的先验期望和方差为 Rx和Dxn1nnt1t t和X的协方差为DLx，又设估计量 又是l的线性函数 n tX? - :L

31、(1-7-1)式中a和P是非随机常数向量和系数矩阵.此时， 力的误差向量是 t 1%n. X = X- ?=X-:-L(1-7-2)则XX的数学期望和方差分别为E 二x - - - l(1-7-3)D S? =Dx：Dl ：T Dxl ：T JDlx(1-7-4)而AX的均方误差阵为E(4&EQ, E5x? )+ESx?%与El/ )+ E(屋=E(望一E(望望一E(又)T +E (望)E(望:即得TTE=E 欲 E *. D j=E(文)E(&J +Dx +PDlPT 邙 Dlx将上式配方，则有EMXT? bEg)E2 J +(P-DxlDLJ )Dl(P -DxlDL4 T +Dx -Dx

32、lDDlx(1-7-5)上式右边第一、二项都是非负定阵，而第三、四项均与a,P无关.显然，为使(1-7-5)式中的E(%4 )达到极小，唯一的解就是选取口，P ,使(1-7-5)式右边的第一、二项等于零，亦即使E X? = E X - 父=0(1-7-6)一：二DxlD(1-7-7)将(1-7-6)和(1-7-7)两式代入(1-7-3)式可得：- =JX - DxlDl4 (1-7-8)再将(1-7-7)和(1-7-8)两式代入(1-7-1)式，即得线性最小方差估计量双=xDxlDlL-(1-7-9)因为E (4*) = 0,所以，父的方差D(AX )可由(1-7-5)式得出T1Di. : 5

33、? = E ； = xl 望=Dx - Dxl Dl Dlx(1-7-10)如果把线性最小方差估计的E(AX)达到最小的准则，改为其迹tr(E(AX)K)达到最小,即tr(E(AXAT? )= EST?攵)=EX -a -Pl T (X -a PL，= min (1-7-11)则可按求极值的方法求定a,P .将(1-7-11)式分别对a, P求导数，并令其为零，可得：E X 一 二L =0(1-7-12)E i X - - L LT .0(1-7-13)由(1-7-12 )式可得：代人(1-7-13)式得：E(xx-P(Ll ML-=E： X Lr L l一 L- Ly T)即有Dxl，Dl

34、= 0XLL所以也可得 DxlDl，(1-7-14)二-DxlD/l(1-7-15)此即(1-7-7)、(1-7-8)式，由此可知，这种以方差阵之迹达到最小的准则，与前面以方差阵达到最小的准则所得到的结果完全相同。有时也称这种以方差阵之迹达到最小为准则的估计方法称之为最小方差迹估计不难看到，线性最小方差估计量童。具有以下性质：(1)由(1-7-9)式可得：E 父l )：=工. DxlDl，E L - 二x所以，l是x的无偏估计，即 XL具有无偏性.(2) 盖具有有效性，即 X的误差方差取得最小值.这是显然的.因为有 E(AX )=0,其误差 方差等于其方差阵.(3)因为估计误差可表为 X =

35、X - DxlDl-所以(与观测向量L的协方差阵为1-cov i. X1，L = Dxl - Dxl Dl Dl = 0可见，估计误差向量 X，与观测向量L是不相关的；从几何的角度看，可以将此性质叫做,与L正交.X与L本来不是正交的，但从 Y中减去一个由L的线性函数构成的随机向量 L后，即与L正交.因此可以说，：_是*在L上的投影.(4) 当X, L的联合概率密度是正态时，因为E X L = L DxlDL-?-L) ()? - Jx)TDX1()?-Jx)-min(1-9-7)下面根据(1-9-5)和(1-9-7)式来进行讨论在式(1-9-6)中.其左边第一项就是极大似然估计准则的等价公式(

36、1-9-1)的左边项.因此，当X是随机参数时，极大验后估计改善了极大似然估计或最小二乘估计.而当X的先验概率密度f1(x) 为常数时，则有(1-9-8)(1-9-9)F ln f x l Fln f lx.:x；:x所谓先验概率密度 f1 (x )为常数，也就是说在一定的范围内，参数X在验前取任何值的概率都相等，亦即工是不具有先验统计特性的非随机量上两式表明，极大验后估计在此时便退化为极大似然估计或最小二乘估计.X的先验期望 也看成是与L相互独立,如果将(1-9-7)式中的未知参数看成非随机量，亦记为 X ,将此时的观测向量记为L ;而将且方差为Dx的虚拟观测值，记为Lx(= x),相应的虚拟

37、观测误差记为x ,则有观测方程为(1-9-10)若仍以必表示X*的估值，并记此式也就是误差方程.于(1-9-7)Vx = X* - LxV = bX - L式可写为(1-9-11)(1-9-12)黑龙江工程学院本科生毕业论文 式中P., = D；,B = D号当取4=1时，即有PA=D怖,PX=D/.它们表示权矩阵.也就是说，在上述情况下，可以对 L和LX。列出误差方程（1-9-11）,按（1-9-12）式来求非随 机参数X*的估计值 0.容易看到，（1-9-12）式是1-4节中的最小二乘估计准则的扩充，因此。 称（1-9-12）式为广义最小二乘原理.而将按广义最小二乘原理进行平差的过程，称为

38、广义测量平 差.不难理解，在上述情况下，按极大验后估计（或最小方差估计）求得的XMA（或XMV）同按广义最小二乘原理求得的估值寅，在数值上是完全相等的.同时，由于按广义最小二乘原理求义时，X*是非随机量，因此所得到的估值）？的方差（DX?）也就等于其误差方差 D（AX）,当然它也等于XMA的误差方差DGiX），但一般并不等于 XMA的方差.在以后按广义最小二乘原理进行平差时， 一般不区分D（0?）和D-以上的讨论说明，在正态分布的情况下，极大验后估计可以转化为广义最小二乘估计.实际 上，随机参数的先验期望和先验方差的精确值一般是不可能得到的，往往只能得到它们的估计 值.显然，先验期望的估计值也

39、就是 X的观测值.因此，在这种情况下，按极大验后估计求 火也只能说是近似的；而将此先验期望的估计值作为方差为DX ,的虚拟观测值，采用最小二乘估计将更为合理.只有在 DX和Nx,能够精确得到时，采用极大验后估计才是合理的.但此时，也可按 广义最小二乘原理求解，得到的结果与极大验后估计一致.如果在未知参数中除包含随机参数X外，还包含非随机参数 Y,则有f x, y. 1 =f x l故此时只要将未知参数中的随机部分，即 X的先验期望当作方差为DX的虚拟观测值，仍可按（1-9-12）式表示的广义最小二乘原理求估值0和Y?如果全部未知参数都是非随机量，则（1-9-12）式中的VPyx就不存在了，也就

40、变成 1-4节中的最小二乘原理了.上面的广义最小二乘原理 （1-9-12）式，是就正态分布和线性观测方程 （1-9-2） 且DX=0的情 况导出的对于非线性观测方程，可按泰勒级数化为线性形式；对于非正态分布，也可将它们近似31黑龙江工程学院本科生毕业论文地看成正态分布；而DX40的情况亦不多见.因此， （1-9-12）式的广义最小二乘原理具有一定的普遍意义.下面讨论Dx#0的情况.仍假定 X、为正态分布，且有（1-9-2）式的线性观测方程.根据数字期望的运算规则和协方差传播律，由 （1-9-2）式可得：入=BxTTDl = BDx B - BDx , D x B D -（1-9-13）Dlx =BDx +D =dXl ,由于已知也，Dx，并可由（1-9-13）三式得到九、Dl、D