基本初等函数教案

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1、第二章基本初等函数知识点介绍知识点一：二次函数的基本性质（1）二次函数的三种表示法：一般式： y=ax2+bx+c；两根式： y=a（ x x1）（ x x2）；顶点式： y=a（ x x0） 2+n.（2）当 a 0， f（ x）在区间 p， q上的最大值为M ，最小值为m，令 x0= 1 （ p+q） .2若b p，则 f（ p） =m， f（ q） =M；2a若 p b x0，则 f（b ） =m，f（ q） =M；2a2a若 x0 b q，则 f（p） =M， f（b ） =m；2a2a若b q，则 f（p） =M， f（ q）=m.2a知识点二：指数与指数函数1 根式的概念： 一般地

2、， 如果 xna ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根， 其中 n 1 ，且 n N * 负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0 ，记作 n 00。当 n 是奇数时， n a na ，当 n 是偶数时， n a na(a0)| a |(a0)a2 分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：mnm*m11ana(a 0, m, nN,n1) ， a n*, n 1)m(a 0, m, nNa nn a m0 的正分数指数幂等于0 ， 0的负分数指数幂没有意义3 实数指数幂的运算性质（1 ）a rara r s( a0, r , sR) ；（2 ） (a r ) sars( a0, r , sR)

3、 ；（3 ） (ab) rar a s( a0, r , sR) （二）指数函数及其性质1 、指数函数的概念：一般地，函数y a x (a 0,且 a1) 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1 2 、指数函数的图象和性质a10a）y= a xy(1(0 a 1)11OxOx底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称 .知识点三：对数与对数函数（一）对数1对数的概念：一般地，如果axN ( a0,a 1) N的对，那么数 x 叫做以a 为底数，记作： xlog a N （ a 底数，N 真数， log a N 对数式）说明：

4、1注意底数的限制a 0 ，且 a1；2a xNlog a Nx ；log a N注意对数的书写格式3两个重要对数：1常用对数：以10 为底的对数 lg N ；2自然对数：以无理数 e2.71828为底的对数的对数ln N 指数式与对数式的互化幂值真数ab Nlog a N b底数指数对数（二）对数的运算性质如果 a0，且 a1 ， M0 ， N0 ，那么：1( M N )log a M log a N ； log a2Mlog a M log aN ； logaNn3Mn log a M(nR) log a注意：换底公式log a bloglogccb0 ，且 a1 ； c0 ，且 c1 ；

5、b0 ）（ aa利用换底公式推导下面的结论（1 ） log am bnn log a b ；（2 ） log a b1mlog b a3（二）对数函数1 、对数函数的概念： 函数 ylog ax(a 0，且 a 1) 叫做对数函数， 其中 x 是自变量，函数的定义域是（ 0 ， + ）注意：1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义， 注意辨别。 如： y2 log 2 x ，ylog 5x 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数52对数函数对底数的限制：(a 0，且 a1) 2 、对数函数的性质：a10a1332.52.5221.51.51 11 10.50.5-112345678-101

6、23456780-0 .51-0.51-1-1-1 .5-1.5-2-2-2 .5-2.5定义域 x 0定义域 x0值域为 R值域为 R在 R 上递增在 R 上递减函数图象都过定点（1 ， 0）函数图象都过定点（1 ， 0 ）（三）幂函数1幂函数定义及其图象：一般地，形如y x (a R) 的函数称为幂函数，其中为常数 .2几种常见幂函数的图象：1（ 1 ） y x ；（ 2 ） yx 2 ；（ 3 ） yx2 ；（ 4 ） y x 1；（ 5 ）yx3 3 幂函数性质（1）所有的幂函数在（0， +）都有定义，并且图象都过点（1， 1）；（2）0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 0,)

7、上是增函数 特别地， 当14时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；（3）0时，幂函数的图象在区间(0,) 上是减函数在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于时，图象在x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴【提示 】应熟练掌握二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数，以及形如y=x+ 1 的函x数等一些常见函数的性质，归纳提炼函数性质的应用规律.再如函数单调性的用法主要是逆用定义等 .例题讲解【例 1】对于函数f（ x），若存在x0 R，使 f（ x0） =x0 成立，则称x0 为 f（ x）的不动点 .已知函数 f（ x） =ax2+（b

8、+1） x+b 1（ a0） .（1）当 a=1， b= 2 时，求 f（ x）的不动点；（2）若对于任意实数 b，函数 f（x）恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围 .【评述】二次方程 ax2+bx+c=0，二次不等式 ax2+bx+c 0（或 0）与二次函数y=ax2+bx+c的图象联系比较密切，要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题.【评述】本小题主要考查函数的单调性、对数函数的性质、运算能力， 考查分析解决问题的能力 .2【例 2】若 f（ x）=x x+b，且 f（ log2a）=b， log2 f（ a） =2 （a1） .（2）当 x 取何值时， f（ log2x

9、） f （1）且 log2 f（ x） f（ 1） .【例 3】已知 9x103x+90，求函数y=（ 1 ） x 1 4（ 1 ） x+2 的最大值和最小值.42【例 4】若关于x 的方程 25 |x+1| 45|x+1| m=0 有实根，求m 的取值范围 .5教案基本初等函数 参考答案【知识讲解 】【例 1】解：（ 1）当 a=1， b=2 时， f（ x） =x2x 3=x x2 2x 3=0（ x 3）（ x+1 ）=0x=3 或 x=1， f（ x）的不动点为 x=3 或 x=1.（2）对任意实数b， f（ x）恒有两个相异不动点对任意实数 b， ax2+（ b+1） x+b 1=x

10、恒有两个不等实根对任意实数 b， =（ b+1）2 4a（ b 1） 0 恒成立对任意实数 b，22 4（ 1+4a） 02（ 1+4a）b +2（ 14a）b+1+4a 0 恒成立 =4（ 14a）（ 1 4a）04a2 3a0a（ 4a 3） 030 a .4【例 2】解：（ 1） f（ x）=x2x+b， f（ log2a） =log 22a log2a+b.由已知有 log 22a log 2a+b=b，（ log 2a 1） log2a=0. a1， log 2a=1. a=2.又 log 2 f（ a） =2， f （a） =4. a2 a+b=4， b=4 a2+a=2.故 f（

11、x）=x2 x+2，从而 f（ log 2x）=log 22x log2x+2=（ log2 x 1 ） 2+ 7 .24当 log2 x=1即 x=2 时， f（ log 272x）有最小值.4（2）由题意log 22 xlog 2x2 2x2或 0x10 x1.log 2 (x 2x2)21x2xxx 1）（3x9） 0，解得x1）x【例 3】解：由 9 103+90得（ 313（=t， 9. 0x 2令.2则 1 t1， y=4 t2 4t+2=4 （ t 1 ）2+1.当 t=1 即 x=1 时， ymin=1；当 t=1 即 x=0 时， ymax=2.422【例 4】解法一：设y=

12、5 |x+1|，则 0 y1，问题转化为方程y2 4y m=0 在（ 0， 1内有实根.设 f（ y） =y2 4ym，其对称轴y=2， f（ 0） 0 且 f（ 1） 0，得 3m 0.2 |x+1|2解法二： m=y 4y，其中 y=5（ 0， 1， m=（ y 2） 4 3，0） .课堂演练1 若函数 y=ax+b1（ a 0 且 a1）的图象经过二、三、四象限，则一定有（）A.0 a 1 且 b 0B.a 1 且 b 0C.0a 1 且 b 0D.a 1 且 b 02函数 y=1+ax(0a0，a0，函数 y=ax 与 y=loga(-x) 的图象只能是()4已知 0 a 1， log

13、 am log a n0，则 ()A. 1 n mB. 1 m nC. mn 1D. n m 1log 3 231 log 5 27 2log5 25.计算： log 27 64;24log 2 3； 25;=1(7) 0 ( 2) 3416 0 .7510.064 3 30.0128=16函数 y=（ 2 ） x2 2x 2 的递增区间是 _.17.函数 y=log 2 (2x2-3x+1) 的递减区间为8.若函数 f (x)logax(0a 1)在区间 a, 2a 上的最大值是最小值的3 倍，则 a=f ( x) log1x (a0且a 1)9.已知a 1x，（ 1）求 f (x)的定义域

14、（ 2）求使 f ( x ) 0 的 x 的取值范围【课堂演练】1解析：作函数y=ax+b 1 的图象 .答案： C6解析： y=（1 ） x 在（ ， +）上是减函数，而函数y=x22x+2= （ x 1） 2+1 的递2减区间（ ， 1，原函数的递增区间是（， 1 .答案：（ ， 1基本初等函数练习一、选择题1对数式 log 2 3 ( 2 3 ) 的值是 () A 1B 0C 1D不存在2当 a 1 时，在同一坐标系中，函数x 与 y loga x 的图象是 () y a7ABCD3如果 0 a 1，那么下列不等式中正确的是() 11A ( 1 a) 3 ( 1 a) 2B log 1

15、a( 1a) 0C ( 1a) 3 ( 1 a) 2D ( 1a)1+a 14函数 ylog a x， y logb x， y logc x，y log d x 的图象如图所示，则a， b， c，d 的大小顺序是() A 1d c abB c d 1 a bC c d 1 b aD d c 1 a b5已知 f( x6) log 2 x，那么 f( 8) 等于 () 41( 第 4 题)A C 18D B 8236如果函数 f( x) x2( a 1) x5在区间1 ， 上是减函数，那么实数a 的取值范围是12() A a 2B a 3C 2 a 3Da 37函数 f( x) 2 x的定义域、

16、值域是 () 1A 定义域是 R，值域是 RB定义域是 R，值域为 ( 0， )C定义域是 R，值域是 ( 1， )D定义域是 ( 0， ) ，值域为 R8已知 1 a 0，则 () A ( 0. 2) a 1aB 2a 1a2a ( 0. 2) a22C 2a ( 0. 2) a 1aaD 1 ( 0. 2) a2a229已知函数 f( x) ( 3a 1) x4a， x 1 是 ( ， ) 上的减函数，那么a 的取值范围是log a x，x 1() A ( 0， 1)B 0，11，1D 1 ，3C317710已知 ylog a( 2 ax) 在 0， 1上是 x 的减函数，则a 的取值范围

17、是 () A ( 0， 1)B ( 1， 2)C ( 0， 2)D 2， )8二、填空题11满足 2x2x 的 x 的取值范围是12已知函数 f( x) log0.5( x2 4x 5) ，则 f( 3) 与 f( 4) 的大小关系为13 log 3 2的值为 _log 27 64， ，14已知函数 f( x) log 3 xx0f 1的值为 _x，则 f2x ，9015函数 ylog 0.5( 4x3)的定义域为1，若 f( x)为奇函数，则 a _16已知函数 f( x) a2x1三、解答题17设函数 f( x) x2 ( lg a 2) x lg b，满足 f( 1) 2，且任取 xR

18、，都有 f( x) 2x，求实数 a，b 的值18已知函数f ( x) lg( ax2 2x 1)( 1) 若函数 f ( x) 的定义域为R，求实数a 的取值范围；( 2) 若函数 f ( x) 的值域为R，求实数a 的取值范围19求下列函数的定义域、值域、单调区间：( 1) y4x 2x+1 1；x 23x 21( 2) y20已知函数f( x) loga( x 1) ， g( x) log a( 1 x) ，其中 a 0， a 1( 1) 求函数 f( x) g( x) 的定义域；( 2) 判断 f( x) g( x) 的奇偶性，并说明理由；( 3) 求使 f( x) g( x) 0 成

19、立的 x 的集合9参考答案一、选择题1 A 解析： log 2 3 ( 23) log 23 ( 2 3 ) 1，故选 A A 2 A 解析： 当 a1 时， y log a x 单调递增， y a x 单调递减，故选3 A 解析： 取特殊值 a1 ，可立否选项 B， C， D，所以正确选项是A 24 B 解析： 画出直线 y 1 与四个函数图象的交点，它们的横坐标的值，分别为a， b， c，d 的值，由图形可得正确结果为B 5 D 解析： 解法一： 8 (2 ) 6， f( 26) log 22 1 2解法二： f( x6) log2 x， f( x) log 2 6x 1log 2 x，f

20、( 8) 1log 281 6626 D 解析： 由函数 f( x) 在1 ， 上是减函数，于是有a1 1，解得 a 3122xg( x) 1x7 C 解析： 函数 f( x) 2 x 1 1 1的图象是函数图象向下平移一个单22x位所得，据函数 g( x) 1定义域和值域，不难得到函数f( x) 定义域是 R ，值域是 ( 1，2 ) 8 B 解析： 由 1 a 0，得0 2aa1a 1，0. 2 1，21，知 A ， D 不正确当 a 1 时，1 11 11a2 10.2 2 ，知 C 不正确 2a 0. 2a220.50.229 C 解析： 由 f( x) 在 R 上是减函数，f( x)

21、 在 ( 1， ) 上单减，由对数函数单调性，即0 a 1 ，又由 f( x) 在 ( ， 1 上单减，3a 1 0， a 1，又由于由f( x) 在3R 上是减函数，为了满足单调区间的定义，f( x) 在 ( ， 1上的最小值7a 1 要大于等于f( x) 在 1， ) 上的最大值 0，才能保证f( x) 在 R 上是减函数 7a 10，即 a 1 由可得1 a 1 ，故选 C77310 B 解析： 先求函数的定义域，由2 ax 0，有 ax 2，因为 a 是对数的底，故有a 0且 a 1，于是得函数的定义域x 2又函数的递减区间 0， 1必须在函数的定义域内，a10故有 1 2 ，从而 0

22、 a 2 且 a 1若 0 a 1，当 x 在 0， 1上增大时，2 ax 减小，a从而 loga ( 2 ax) 增大，即函数y loga( 2 ax) 在 0， 1上是单调递增的，这与题意不符.若 1 a 2，当 x 在 0， 1上增大时，2 ax 减小，从而 loga( 2ax) 减小，即函数ylog a( 2 ax) 在 0， 1上是单调递减的所以a 的取值范围应是 ( 1， 2) ，故选择 B二、填空题11 参考答案： ( ， 0) 解析： x x， x 012 参考答案： f( 3) f( 4) 解析： f( 3) log 0. 5 8， f( 4) log0. 5 5， f( 3

23、) f( 4) 13 参考答案：1 解析：log 3 2 lg 2 lg 27 3 1 2log 27 64lg 3lg 646214 参考答案： 1解析： f1 log 31 2， ff1f( 2) 2 2 1 49994 0x315 参考答案：34 x 3?4， 解析： 由题意，得41log 0.5(4 x3) 04x3 1 所求函数的定义域为3，4116 参考答案： a1解析： f( x) 为奇函数，f( x) f( x) 2a112x12 x1 22a 2 x1 2a 1 0， a 1 2 x12三、解答题17 参考答案： a 100， b 10解析：由 f( 1) 2，得 1lg a

24、 lg b 0，由 f( x) 2x，得 x2 xlg a lg b 0( xR ) ( lg a) 2 4lg b 0联立， 得 ( 1 lg b) 2 0， lg b 1，即 b 10，代入，即得a 10018 参考答案： ( 1)a 的取值范围是 ( 1， ) ， ( 2)a 的取值范围是 0， 1 解析： ( 1)欲使函数f( x) 的定义域为R ，只须ax2 2x 1 0 对 x R 恒成立，所以有a0，解得 a 1，即得 a 的取值范围是 ( 1， ) ；4 4a0( 2) 欲使函数 f ( x) 的值域为 R ，即要 ax2 2x 1能够取到 ( 0， )的所有值当 a 0 时，

25、 a x 22x 1 2x1，当 x( 1， ) 时满足要求；211当 a 0 时，应有a00 a1当 x ( ， x1) ( x2， ) 时满足要求 ( 其 04 4a中 x ，x 是方程 ax 2 2x 1 0 的二根 ) 12综上， a 的取值范围是 0， 1 19 参考答案： ( 1) 定义域为 R 令 t 2x( t 0)，y t2 2t 1 ( t 1) 2 1， 值域为 y |y1 t 2x 的底数2 1，故 t2x 在 x R 上单调递增；而y t2 2t 1 在 t ( 0， )上单调递增，故函数yxx1在 ( ， ) 上单调递增4 2 121( 2) 定义域为 R 令 t

26、x2 3x2x 31 ， 值域为 ( 0， 4 3 t 244ty 1x23 x23 ， y1在 t R 时为减函数，在 ， 3上单调增函数，在3322为单调减函数20参考答案： ( 1) x | 1 x 1 ；( 2) 奇函数； ( 3) 当 0a 1 时， 1 x 0；当 a 1 时，x 1 00 x 1 解 析 ： ( 1) f( x) g( x) loga( x 1) loga( 1 x) ， 若 要 式 子 有 意 义 ， 则1 x 0即 1 x1，所以定义域为 x | 1 x 1 ( 2) 设 F( x) f( x) g( x) ，其定义域为 ( 1，1) ，且 F( x) f( x) g( x) log a( x 1) loga( 1 x) loga( 1 x) loga( 1 x) F( x) ，所以 f( x) g( x) 是奇函数( 3) f( x) g( x) 0 即 loga( x 1) log a( 1x) 0 有 loga( x 1) log a( 1 x) 当 0 a 1 时，上述不等式x 1 0解得 1 x0；1 x 0x 1 1x当 a 1 时，上述不等式x 1 0解得 0x 11 x 0x 1 1x12