概率统计课件第9章练习册答案

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1、第 九 章 级 数9.1 级 数 的 概 念 与 性 质9.2 正 项 级 数9.3 一 般 级 数 、 绝 对 收 敛9.4 幂 级 数9.5 函 数 的 幂 级 数 展 开9.6 幂 级 数 的 应 用 习 题 9.1一 、 1 C； 2. C； 二 、 ,351.1 ,14 12 n ,12 nn ;21;.2 1 aa ;43.3三 、 125)31213121(21 )3111(21)6141(21)5131(21)4121(21 nn nnSn nS 1 )3)(1( 1n nn收 敛 ， 即 级 数 收 敛 习 题 9.2一 、 1 C； 2 B； 3 A； 4 C； 5 B；

2、6 D；二 、 1 500501； ;43.2三 、 四 、 ，令 3sin2 nu nn ,2 3nv nn ，因 为 1lim nnvu发 散 ，即 1n nv 则 原 级 数 发 散 ; ;0001.0)0001.0(.1 111 ， 所 以 级 数 发 散 nn nn n uu 级 数 收 敛 ；即 去 掉 级 数 的 有 限 项 ，,.2 10011 1000 n nn n uu 发 散 ；所 以 级 数即收 敛 ， 则 11 1,1,0.3 n nnnn n uuuu 同 敛 散 ；与所 以 3131 2sin2 nn n nn n nnnnnn nnvv 2)1( 2limlim

3、 3311 312lim nnn ,12 ，3sin2limlim nu nnnn 3sin2lim xxx 转 求 xx x21sinlim 3 32lim xxx 则 原 级 数 发 散 习 题 9.3一 、 1 A； 2 A； 3 C； 二 、 1 收 敛 ； 2 收 敛 ； 3 0；三 、 1. 达 朗 贝 尔 判 别 法 或 柯 西 判 别 法 皆 可 ， ,121)11(21lim22 1lim 1 pnpnn pn nnn 级 数 收 敛 ； 2. 达 朗 贝 尔 判 别 法 或 柯 西 判 别 法 皆 可 ， ,121)11(22lim2tan 2tan1lim 121 2 n

4、nn nnnn nn 级 数 收 敛 ； ,22 3cos.3 2 nnn nnnu ,2nn nv 令 ，级 数 为 1 1)1( )919()!1(.4 n nnnn 由 达 朗 贝 尔 判 别 法 得 5. 达 朗 贝 尔 判 别 法 或 柯 西 判 别 法 皆 可 ， 6. 比 较 判 别 法 , ,11 nvn取 ,1)1()1(lim 21 ennnvu nnnnn 则发 散 ，由 于 1n nv 则 原 级 数 发 散 ; nnvv nnnnnn 22 1limlim 11 nnn 2 1lim ,121 数 收 敛 。根 据 比 较 判 别 法 ， 原 级收 敛 ,21 n n

5、n ,1919)11(919lim)199()!1()919()1( !lim 11 ennnn n nnnnnnn 级 数 收 敛 ； ,176)(1 )(1*76lim6 5757 6lim 1757511 1 nnnn nnnn nn 级 数 收 敛 ； 习 题 9.4一 、 1 D； 2 D； 3 D； 4 B； 二 、 1. 绝 对 收 敛 ； ,1.2 p ,10 p 3. 收 敛 ， 发 散 ；三 、 ,!)2(|5sin!)2(|.1 nnnnn nn 由 达 朗 贝 尔 判 别 法 知 1 !)2(n nnn 收 敛 ,所 以 原 级 数 绝 对 收 敛 ； ,1|sin1)

6、1(|;sin1)1(.2 2 nnnn nn nn 原 级 数 为由 柯 西 判 别 法 知 2 1n n 收 敛 ,所 以 原 级 数 绝 对 收 敛 ； ,1|ln1|.3 nnn ,1 2 发 散而 n n ,ln1ln)1( 22 发 散 nn n nnnn即 原 级 数 非 绝 对 收 敛 ;0p ,ln)1(2 级 数是 交 错 n nnn 由 莱 布 尼 茨 定 理 ：xxx lnlim ,01lim xx 0ln1lim,0ln1 1limln1lim nnxxxxx nxx 即),0(ln)( xxxxf ),1(011)( xxxf,ln1 单 减即 xx ,1ln1 时

7、 单 减当故 nnn ),1()1ln()1( 1ln1 1 nunnnnu nn所 以 此 交 错 级 数 收 敛 ， 故 原 级 数 条 件 收 敛 。 习 题 9.5一 、 1 A； 2 B；二 、 0 5)14( 2.2 n nnnn x级 数 为 ;,5.1 1 n nntxt 则 级 数 变 为令 ；即 收 敛 半 径 为 1,1limlim 1111 nnnnnn aaR 发 散 ；时 ， 级 数 为当 ,11t 1 n n 收 敛 ；）（时 ， 级 数 为当 ,1-1t 1 n nn );6,4);1,15),1,1 xxt 则即所 以 ；25lim 1 nnn aaR 发 散

8、 ；时 ， 级 数 为当 ,14125x 0 n n 收 敛 ；由 莱 布 尼 茨 定 理 知 级 数）（时 ， 级 数 为当 ,14 1-25-x 0 n nn);25,25x所 以 ;)2(3,1.3 1 n nnn tnxt 则 级 数 变 为令 ；即 收 敛 半 径 为）（ ）（ 31,31limlim 12-3 2-31 11 nnnnnn nn nnaaR 发 散 ；）（时 ， 级 数 为当 ,)(131)2(331t 1 1 1 32 n n n nnnn nnn );32-,34);31,311),31,31 xxt 则即所 以 收 敛 ；）（时 ， 级 数 为当 ,)()1(

9、31-)2(331-t 1 321 1 n nn n nnnn nnn ;2,0.4 12 n nntxt 则 级 数 变 为令 ,2122limlim 11 nnnnnn aaR 发 散 ；时 ， 级 数 为当 ,121t 1 n );22,22();21,0 xt 则所 以 ,12212limlim,.5 2321 121 xx nnxuu nnn nnnnn所 以幂 级 数 没 有 偶 数 次 幂 项 ;2R,22 即时 收 敛所 以 x 收 敛 ；时 ， 级 数 为当 ,2)1(22)1(2 2 32 32 n nn n nn nnx 收 敛 ；时 ， 级 数 为当 ,2)1(2 )2

10、()1(2 2 312 32 n nn n nn nnx ;2,2x所 以 三 、 )1|(|;)1( 1)1()( 2 xxxxxS即 );1,1(1;11lim.1 均 发 散 ， 所 以 收 敛 域 为当 xnnR n )1|(|;1)1()( 1 10 xxxxdttS nn nx则,)1()( 11 1 nn n nxxS设 ,arctan)0()()11(;1 1)( 0 20 xSxSxdttdttS xx 得 ;1,11 ;1;lim.2 21 均 收 敛 ， 所 以 收 敛 域 为当 即 收 敛 半 径x Rxuu nnn ,12 )1()( 121 nn n xnxS设 )

11、11(;arctan)(,0)0( xxxSS );11(1 1)1()( 2221 xxxxS nn n则 ),1ln()1ln()0()( )11(;)1ln()( 00 xxxxSxS xdttdttS xx 得 ;1,11 ;1lim;)1()1(.3 11 11 均 收 敛 ， 所 以 收 敛 域 为当 级 数 为x aaRnn x nnnn nn ,)1()1()( 1 11 n nnnn xxS设 )1(;1 )11();1ln()1ln()(,0)0( x xxxxxxSS )11(;)1()( 1 1 xnxxS nn n则 )11(;1 1)1()( 1 11 xxxxS

12、n nn ),1ln()0()()11(;1 1)( 00 xSxSxdttdttS xx 得 )11();1ln()(,0)0( xxxSS );1,1(1;132 12lim.4 均 发 散 ， 所 以 收 敛 域 为当 xnnR n )11(;1 10 xxxnn )11(;)1( 1 210 xxxn nn由 第 一 题 得 ;22)12()( 010000 nnnnnnnnnn xxnxxxnxnxS )11(;)1(11 1)1( 122)( 22010 xxxxxxxxnxxS nnnn 习 题 9.6一 、 1 A； 2 B；二 、 1 -5040； ;111.2 );11(2

13、1.3 e,)2(3 )1(.4 0 21 n nn n x );23,23( 三 、 ,2 )1()1(41)21( 141)( 02 n n nn xnxxf则 ;22 x)1|(|;)1( 1)1( 19.31. 211 1 xxnxnn n知 ） ，的 三 （因 为 习 题 ,)1(2 )2(3)1(2ln )23(11)1(2ln11 )231ln(2ln)1ln( )32ln()1ln()(.2 0 11 11 0 10 1 n nn nnn n nnn n xn xnxn xx xxxf ;3232 x;1111)1ln( 0 1 xxnx n n 中 ，在 ;3232)23(1

14、1)1()231ln( 0 1 xxnx n nn 中 ，在 ;3232 x所 以 展 开 式 中 3、 ,32)1ln( 32 xxxx ,)1(32)1ln( 216422 nxxxxx nn x dxxx 0 21 1arctan又 x nn dxxxxx0 2642 )1(1 12)1(753 12753 nxxxxx nn 1 210 22 2 )1(2112)1( 1lnarctan n nnn nn nxnx xxx故 0 220 22 22)1(2112)1( n nnn nn nxnx .)22)(12()1(0 22 n nn nn x)11( x 20;)1)(12 )1(31 )2 1()1(61)1(31 2 11 161)1(1 1(31 )211111(31)1121(31)( 0 1 00 xx xx xx xxxxxf n nn n nn nn n四 、 )2,0(,12 11|1| 2 11 1)1(1 1 xxx xx 即和所 以 满 足 的 泰 勒 展 开 ，和因 为 用 到