常系数非齐次线形微分方程

《常系数非齐次线形微分方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常系数非齐次线形微分方程（29页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程)()( xPexf mx sin)(cos)()( xxPxxPexf nlx )(xfqyypy 复 习 ： 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 方 程 通 解 结 构,0 qyypy通 解难 点：如何求特解？方 法：待定系数法.（1）（2） 的 一 个 特 解是 （ ） 的 两 个 线 性 无 关 解 ，是 （若 1 2,* 21y yy *2211* yycycyYy 齐次通解非齐特解 sin)(cos)()()( xxPxxPexf nlx 待 定 系 数 法 ： 先 确 定 解 的 形 式 ， 再 把 形 式 解 代 入 方程 定

2、出 解 中 包 含 的 常 数 的 值 . )()(,( 次 多 项 式 ） 次 、的分 别 是、是 常 数 ，其 中n lxxPxP nl特 点 ： .* 来不 用 积 分 就 可 以 求 出 y形 式 ：常 见 的 两 种 )(xf xm exPxf )()()( ;)( 次 多 项 式 ）的 一 个是是 常 数 ，其 中 mxxPm一 、 待 定 系 数 法 介 绍 设非齐方程特解为xexQy )(代入原方程)()()()()2()( 2 xPxQqpxQpxQ m 不是特征方程的根，若)1( ,02 qp),()( xQxQ m可设是特征方程的单根，若)2( ,02 qp ,02 p)

3、,()( xxQxQ m可设;)( xm exQy ;)( xm exxQy 二 、 型)()( xPexf mx 是特征方程的重根，若)3( ,02 qp ,02 p),()( 2 xQxxQ m可设综 上 讨 论 ,)(xQexy mxk 设 是重根是单根不是根2 ,10k注 意 上 述 结 论 可 推 广 到 n 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分方 程 （ k是 根 的 重 数 ） . .)(2 xm exQxy 1332 xyyy 0322 rr 3,1 21 rr xx ececY 321 齐 次 通 解 不 是 特 征 根 ，0)13()( 0 xexxf 13)( xx

4、Pm 10* bxby 设 13332 100 xbxbb 132 33 100 bbb 31311 *10 xybb xececy xx 31321 例1求的通解解：代入方程比较同次幂系数有求出通解 例 2. xexyyy 265 求 方 程 的 通 解 . 解 : 本 题 特 征 方 程 为 ,0652 rr 其 根 为对 应 齐 次 方 程 的 通 解 为 xx eCeCY 3221 设 非 齐 次 方 程 特 解 为 xebxbxy 210 )(* 比 较 系 数 , 得 12 0 b 02 10 bb 1,21 10 bb因 此 特 解 为 .)1(* 221 xexxy 3,2 2

5、1 rr代 入 方 程 得 xbbxb 010 22所 求 通 解 为 xx eCeCy 3221 .)( 2221 xexx ,2 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 .)1(96 3 的 通 解求 方 程 xexyyy 解对 应 齐 次 方 程 通 解 为特 征 方 程 为 ,0962 rr ，根 为 32,1 r,)( 321 xexCCY 是 重 根 ，因 为 3 ,)(* 3102 xebxbxy 设代 入 方 程 , 解 得 .21,61 10 bb .)2161(* 32 xexxy 得 特 解 为原 方 程 通 解 为 .)131(2)( 32321 xx exxe

6、xCCy 例 ).(, d)(d)(.1)0( ,0)0()( 2xL yyxxyxxxf L 求无 关与 路 径 如 果 积 分 有 二 阶 连 续 的 导 数 且设 函 数 ,yPxQ 例 4解 根 据 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 得 条 件 ： ),()( 2 xxx 有 )1(2x 即 方 程 为对 应 的 齐 次 方 程 的 特 征方 程 )1( ,012 r.12,1 r其 特 征 根 为 ,)()()1( 2xxPexf mx 的 自 由 项由 于 方 程 .2)1( 2 21 xeCeC xx的通解为因此方程,1)0(,0)0( 代 入 初 始 条 件 .22123)(

7、 2 xeex xx所 以 ,2,0,1 cba得 ,0不 是 特 征 方 程 的 根 ,2* cbxax 故 令 特 解 ,)1(* 并 比 较 系 数代 入 方 程将 ,22* x即 .21,23 21 CC得 例 5 .0)0()0()0( ,123 yyy yyy求 初 值 问 题 的 解解 特 征 方 程 为 ,023 23 rrr其 特 征 根 为 ,* xby 设 特 解 为 ,12 b代 入 原 方 程 得,21* xy 得 特 解 为 .2,1,0 321 rrr故 对 应 齐 次 方 程 通 解 为 .2321 xx eCeCCY 原 方 程 通 解 为 不 是 特 征 方

8、 程 的 根 ，因 为 ,0 .212321 xeCeCCy xx 所 求 特 解 为 xeey xx 214143 2 解 得 ).423(41 2xx eex .41,1,43 321 CCC ,0321 CCC ,212 32 CC由 初 始 条 件 得 .04 32 CC 三 型sin)(cos)()( xxPxxPexf nlx sincos)( xPxPexf nlx i2)(2)( iiii xxnxxlx eexPeexPe xnlxnl exPxPexPxP )i()i( i2 )(2 )(i2 )(2 )( ,)()( )i()i( xx exPexP 次 复 系 数 多

9、项 式 ，是 互 为 共 轭 的和 mxPxP )()( ,max nlm 利 用 欧 拉 公 式 ， 把 三 角 函 数 表 为 复 变 指 数 函 数 形 式 ， ,)( )i( xexPqyypy 设 ,* )i(1 xmk eQxy 可 设 特 解 为 ,)( )i( xexPqyypy 设 .i1 ,i0 是 单 根不 是 根 k,* )i(2 xmk eQxy 可 设 特 解 为 .i1 ,i0 是 单 根不 是 根 k * ii xmxmxk eQeQexy 原 方 程 的 特 解 可 设 为 上 述 求 法 可 推 广 到 n阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程

10、.次 多 项 式 ，是其 中 mxRxR mm )(),( )2()1( .,max nlm ,sin)(cos)( )2()1( xxRxxRex mmxk )sini)(cos( xxxQex mxk ).sini)(cos( xxxQm .i1 ,i0 是 单 根不 是 根 k .i 的 重 复 次 数是 特 征 方 程 的 根其 中 k sin)(cos)()( xxPxxPexf nlx )(xfqyypy *y .i1 ,i0 是 单 根不 是 根 k 次 多 项 式 ，是其 中 mxRxR mm )(),( )2()1( .,max nlm 特 解小 结 ,sin)(cos)(

11、)2()1( xxRxxRex mmxk .2cos 的 一 个 特 解求 方 程 xxyy 例 1 型 ，属 于 sincos)()( xPxxPexf nlx 与 所 给 方 程 对 应 的 齐 次 方 程 为 ,0 yy特 征 方 程 为 .012 r所 以 应 设 特 解 为不 是 特 征 方 程 得 根 ，i2i .2sin)(2cos)(* xdcxxbaxy 代 入 所 给 方 程 ， 得解 .i2,1 r特 征 根 为 比 较 两 端 同 类 项 的 系 数 ， 得 ,043 ,03 ,043 ,13 adc cba解 得 .94,0,0,31 dcba求 得 一 个 特 解

12、为 .2sin942cos31* xxxy .2cos2sin)433(2cos)433( xxxadcxxcbax .2cos的通解求方程xxyy 解对应齐方通解,sincos 21 xCxCY 作辅助方程,2 jxxeyy ,2不是特征方程的根j ,)( 2* jxeBAxy 设代入辅助方程 13 034 A BAj ,9431 jBA ，,)9431( 2* jxejxy 例 1 )2sin2)(cos9431( xjxjx 所求非齐方程特解为,2sin942cos31 xxxy 原方程通解为.2sin942cos31sincos 21 xxxxCxCy ,)2sin312cos94(2

13、sin942cos31 jxxxxxx （取实部）注 意 xAexAe xx sin,cos .)(的实部和虚部分别是xjAe 例 2 xxyy 3sin303cos189 求 方 程 的 通 解 . 解 : 特 征 方 程 为 ,092 r 其 根 为对 应 齐 次 方 程 的 通 解 为 xCxCY 3sin3cos 21 )3sin3cos(* xbxaxy 比 较 系 数 , 得 ,5a ,3b因 此 特 解 为 )3sin33cos5(* xxxy ir 32,1 代 入 方 程 : xaxb 3sin63cos6 所 求 通 解 为 xCxCy 3sin3cos 21 为 特 征

14、方 程 的 单 根 ,i3 )3sin33cos5( xxx xx 3sin303cos18 因 此 设 非 齐 次 方 程 特 解 为 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 3. xyyy sin2)1( )4( 解 : (1) 特 征 方 程 ,012 24 rr ,0)1( 22 r即有 二 重 根 ,ir 所 以 设 非 齐 次 方 程 特 解 为(* 2xy )sincos xbxa (2) 特 征 方 程 ,024 rr 0)1( 22 rr即 有 根irr 4,32,1 ,0 xexyy x sin3)2( )4( 利 用 叠 加 原 理 , 可 设 非 齐 次 方

15、 程 特 解 为)(* 2 baxxy )sincos( xkxdx 设 下 列 高 阶 常 系 数 线 性 非 齐 次 方 程 的 特 解 形 式 : 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 xec 例 4. 求 物 体 的 运 动 规 律 . 解 : 问 题 归 结 为 求 解 无 阻 尼 强 迫 振 动 方 程 tphxktx sindd 222 当 p k 时 , 齐 次 通 解 : tkCtkCX cossin 21 )(sin tkA tpbtpax cossin 非 齐 次 特 解 形 式 : 0,22 bpk ha因 此 原 方 程 之 解 为第 6节 例 1 (P32

16、3)中 若 设 物 体 只 受 弹 性 恢 复 力 f,sin 的 作 用ptHF 和 铅 直 干 扰 力 x ox代 入 可 得 : 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 当 干 扰 力 的 角 频 率 p 固 有 频 率 k 时 , )(sin tkAx tppk h sin22 自 由 振 动 强 迫 振 动!22 将 很 大振 幅 pk h 当 p = k 时 , )cossin( tkbtkatx 非 齐 次 特 解 形 式 :代 入 可 得 : khba 2,0 方 程 的 解 为 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 若 要 利 用 共 振 现 象 , 应 使

17、 p 与 k 尽 量 靠 近 , 或 使 )(sin tkAx tktkh cos2随 着 t 的 增 大 , 强 迫 振 动 的 振 幅 tkh2这 时 产 生 共 振 现 象 .可 无 限 增 大 ,若 要 避 免 共 振 现 象 , 应 使 p 远 离 固 有 频 率 k ;p = k . 自 由 振 动 强 迫 振 动 x ox对 机 械 来 说 , 共 振 可 能 引 起 破 坏 作 用 , 如 桥 梁 被 破 坏 ,电 机 机 座 被 破 坏 等 , 但 对 电 磁 振 荡 来 说 , 共 振 可 能 起 有利 作 用 , 如 收 音 机 的 调 频 放 大 即 是 利 用 共 振

18、 原 理 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ).(,d)()(sin)( ,)( 0 xfttftxxxf xf x 求 且 满 足 方 程为 一 连 续 函 数设 )4(d)(d)(sin)( 00 tttfttfxxxf xx 解例 5 得求 导在 方 程 的 两 端 关 于 ,x这 是 一 个 积 分 方 程 )5(d)(cos)( 0 x ttfxxf 得 二 阶 线 性 微 分 方 程再 一 次 求 导 , )6(sin)()( xxfxf :)5()4( 式 得 到 初 始 条 件式 与分 别 从 方 程 为对 应 的 齐 次 方 程 的 特 征方 程 )6( 的

19、 自 由 项由 于 方 程 )6( .1)0(,0)0( ff ,012 r,i2,1 r其 特 征 根 为 i其 中 sin)(cos)()( xxPxxPexf nlx ,sin xi,i0 ,)( 根单是 特 征 方 程 的 )sincos()5( * xBxAxf 的 特 解 为故 设 方 程 得式代 入 ,)6( 得系 数比 较 等 式 两 端 同 类 项 的 ,的 通 解 为故 方 程 )6( 解 得由 初 始 条 件 ,1)0(,0)0(: ff ).cos(sin21)( xxxxf ,sincos2sin2 xxBxA ,0,21 BA.cos21* xxf 于 是 ,cos21sincos 21 xxxCxCf ,21,0 21 CC故 所 求 函 数 为 小 结 是重根是单根不是根2 ,10k .i1 ,i0 是 单 根不 是 根 k可以是复数） (),()()1( xPexf mx );(* xQexy mxk ,sin)(cos)()()2( xxPxxPexf nlx ;sin)(cos)( )2()1(* xxRxxRexy mmxk (3). 上 述 结 论 也 可 推 广 到 高 阶 方 程 的 情 形 .)(xfqyypy