概率论与数理统计浙大四版第一章第一章2讲

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1、第二讲 随机事件及其概率 上 一 讲 中 ， 我 们 了 解 到 ， 随 机 现象 有 其 偶 然 性 的 一 面 ， 也 有 其 必 然性 的 一 面 ， 这 种 必 然 性 表 现 在 大 量重 复 试 验 或 观 察 中 呈 现 出 的 固 有 规律 性 ， 称 为 随 机 现 象 的 统 计 规 律 性 .而 概 率 论 正 是 研 究 随 机 现 象 统 计 规律 性 的 一 门 学 科 . 现 在 ， 就 让 我 们 一 起 ， 步 入 这 充 满 随 机性 的 世 界 ， 开 始 第 一 步 的 探 索 和 研 究 . 从 观 察 试 验 开 始 研 究 随 机 现 象 ， 首

2、先 要 对 研 究 对象 进 行 观 察 试 验 . 这 里 的 试 验 ， 指 的是 随 机 试 验 . 1. 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验.定义 随 机 试 验 ： H 例 如 , 掷 硬 币 试 验掷 一 枚 硬 币 ， 观 察 出 正 还 是 反 .T掷 骰 子 试 验掷 一 颗 骰 子 ， 观 察 出 现 的 点 数 寿 命 试 验 测 试 在 同 一 工 艺 条 件 下 生 产出 的 灯 泡 的 寿 命 . 随

3、机 事 件 (Random Events )： 在 一 次 试 验 中 可 能 发 生 也 可 能 不 发生 的 事 件 称 为 随 机 事 件 ， 简 称 事 件 . 在 随 机 试 验 中 ， 我 们 往 往 会 关 心 某 个或 某 些 结 果 是 否 会 出 现 . 这 就 是例 如 ， 在 掷 骰 子 试 验 中 ，“掷 出 1点 ”掷 出 2点 ” 事件 基 本 事 件复 合 事 件（ 相 对 于 观 察 目 的不 可 再 分 解 的 事 件 ）（ 两 个 或 一 些 基 本 事 件 并 在 一起 ， 就 构 成 一 个 复 合 事 件 ）事 件 B=掷 出 奇 数 点 如 在 掷

4、 骰 子 试 验 中 ，观 察 掷 出 的 点 数 . 事 件 Ai =掷 出 i点 i =1,2,3,4,5,6 两 个 特 殊 的 事 件 ：必 件然 事例 如 ， 在 掷 骰 子 试 验 中 ，“ 掷 出 点 数 小 于 7”是 必 然 事 件 ;即 在 试 验 中 必 定 发 生 的 事 件 ， 常 用 S或 表 示 ; 不 件可 事能即 在 一 次 试 验 中 不 可 能 发 生 的 事 件 ，常 用 表 示 .而 “ 掷 出 点 数 8”则 是 不 可 能 事 件 . 下 面 我 们 来 为 随 机 试 验 建 立 一 个 数 学 模 型 我 们 注 意 到试 验 是 在 一 定

5、条 件 下 进 行 的试 验 有 一 个 需 要 观 察 的 目 的根 据 这 个 目 的 , 试 验 被 观 察 到 多 个 不 同 的 结 果 . 试 验 的 全 部 可 能 结 果 ， 是 在 试 验 前 就 明确 的 ； 或 者 虽 不 能 确 切 知 道 试 验 的 全 部 可 能结 果 ， 但 可 知 道 它 不 超 过 某 个 范 围 . 而 且 ，每 次 试 验 的 结 果 事 先 不 可 预 言 . 现 代 集 合 论 为 表 述 随 机 试 验 提 供 了 一个 方 便 的 工 具 .样 本 空 间 (the sample space)与 事 件 我 们 把 随 机 试 验

6、 的 每 个 基 本 结 果 称 为样 本 点 ， 记 作 e 或 . 全 体 样 本 点 的 集 合 称 为样 本 空 间 . 样 本 空 间 用 S或 表 示 .样 本 点 e. S 如 果 试 验 是 将 一 枚 硬 币 抛 掷 两 次 ，则 样 本 空 间 由 如 下 四 个 样 本 点 组 成 ： S=(H ,H ), (H ,T), (T,H ), (T,T)第 1次 第 2次H HTH HTT T(H ,T)：(T,H ):(T,T)：(H ,H ):其 中 样 本 空 间 在 如 下意 义 上 提 供 了 一 个 理想 试 验 的 模 型 ： 在 每 次 试 验 中必 有 一

7、个 样 本 点 出现 且 仅 有 一 个 样 本点 出 现 . 如 果 试 验 是 测 试 某 灯 泡 的 寿 命 ： 则 样 本 点 是 一 非 负 数 ， 由 于 不 能 确 知 寿命 的 上 界 ， 所 以 可 以 认 为 任 一 非 负 实 数 都 是一 个 可 能 结 果 ， S = t ： t 0故 样 本 空 间 调 查 城 市 居 民 （ 以 户 为 单 位 ） 烟 、酒 的 年 支 出 ， 结 果 可 以 用 （ x， y） 表 示 ，x， y分 别 是 烟 、 酒 年 支 出 的 元 数 . 也 可 以 按 某 种 标 准 把 支 出 分 为 高 、中 、 低 三 档 .

8、这 时 ， 样 本 点 有 （ 高 ,高 ） ,（ 高 ,中 ） ， ， (低 ,低 ） 等 9种 ， 样 本 空间 就 由 这 9个 样 本 点 构 成 .这 时 ， 样 本 空 间 由 坐 标 平面 第 一 象 限 内 一 定 区 域 内一 切 点 构 成 . 引 入 样 本 空 间 后 ， 事 件 便 可 以 表 示 为样 本 空 间 的 子 集 .例 如 ， 掷 一 颗 骰 子 ， 观 察 出 现 的 点 数S = i ： i=1,2,3,4,5,6样 本 空 间 ： 事 件 B就 是 S的 一 个 子 集B = 1,3,5 B发 生 当 且 仅 当 B中 的 样 本 点1， 3， 5

9、中 的 某 一 个 出 现 . 答 案 .18 , ,5 ,4 ,3 .1 S . ,12 ,11 ,10 .2 S写 出 下 列 随 机 试 验 的 样 本 空 间 .1. 同 时 掷 三 颗 骰 子 ,记 录 三 颗 骰 子 之 和 .2. 生 产 产 品 直 到 得 到 10件 正 品 ,记 录 生 产 产 品 的 总 件 数 .课堂练习 事 件 之 间 的 关 系 与 运 算 1、 称 事 件 A包 含 于 事 件 B 指 A发 生 则 B必 然 发 生 A=B A、 B互 为 包 含 BA 我 中 奖 了 ！我 中 奖 了 ！我 们 公 司 有人 中 奖 了 ！BA 其 他 如 积

10、事 件 ， 和 事 件 ， 差 事 件 ， 对 立 事件 等 以 及 事 件 之 间 的 关 系 与 集 合 类 似 ， 请大 家 自 己 看 课 本 。 A BBA AB 对立事件与互斥事件的区别S SA B A B AA、B 对立A、B 互斥 ABSBA 且AB互 斥 对 立 例1 设 A,B,C 表 示 三 个 随 机 事 件 ,试 将 下 列 事 件用 A,B,C 表 示 出 来 .(1) A 出 现 , B, C 不 出 现 ;(5) 三 个 事 件 都 不 出 现 ;(2) A, B都 出 现 , C 不 出 现 ;(3) 三 个 事 件 都 出 现 ;(4) 三 个 事 件 至

11、少 有 一 个 出 现 ;(6) 不 多 于 一 个 事 件 出 现 ; (7) 不 多 于 两 个 事 件 出 现 ;(8) 三 个 事 件 至 少 有 两 个 出 现 ;(9) A, B 至 少 有 一 个 出 现 , C 不 出 现 ;(10) A, B, C 中 恰 好 有 两 个 出 现 .解;)1( CBA ;)2( CAB ;)3( ABC;)4( CBA ;)5( CBA ;)8( BCACBACABABC ;)()9( CBA .)10( BCACBACAB ;ABC或 ;)6( CBACBACBACBA ,)7( BCACBA CABCBACBACBACBA 欧 氏 几 何

12、 以 及 以 此 为 背 景 的 传 统 数 学 所 研 究的 图 形 或 空 间 形 式 都 是 足 够 正 则 足 够 光 滑的 ， 然 而 自 然 界 的 真 实 形 态 并 非 如 此 光 滑规 则 。 充 满 空 隙 的 宇 宙 空 间 ， 起 伏 不 平 的地 形 地 貌 ， 九 曲 回 肠 的 河 流 ， 曲 曲 弯 弯 的海 岸 线 ， 纵 横 交 错 的 大 地 褶 皱 ， 断 层 裂 缝 ，生 物 体 的 形 态 与 结 构 ， 静 电 传 输 误 差 股 票市 场 的 波 动 ， 它 们 不 是 欧 氏 几 何 意 义 下 的光 滑 规 则 形 体 。 根 据 研 究 问

13、 题 的 需 要 光 滑规 则 的 形 态 不 仅 不 能 较 好 地 近 似 它 们 ， 有的 甚 至 连 一 级 近 似 也 做 不 出 来 。 Koch曲 线 与 分 形 几 何 首 先 画 一 个 线 段 ， 然 后 把 它 平 分 成 三 段 ，去 掉 中 间 那 一 段 并 用 两 条 等 长 的 线 段 代 替 。这 样 ， 原 来 的 一 条 线 段 就 变 成 了 四 条 小 的线 段 。 用 相 同 的 方 法 把 每 一 条 小 的 线 段 的中 间 三 分 之 一 替 换 为 等 边 三 角 形 的 两 边 ，得 到 了 16条 更 小 的 线 段 。 然 后 继 续

14、对 16条线 段 进 行 相 同 的 操 作 ， 并 无 限 地 迭 代 下 去 。 当 把 三 条 这 样 的 曲 线 头 尾 相 接 组 成 一 个 封闭 图 形 时 ， 有 趣 的 事 情 发 生 了 。 这 个 雪 花一 样 的 图 形 有 着 无 限 长 的 边 界 ， 但 是 它 的总 面 积 却 是 有 限 的 。 换 句 话 说 ， 无 限 长 的曲 线 围 住 了 一 块 有 限 的 面 积 。 这 个 神 奇 的雪 花 图 形 叫 做 Koch雪 花 ， 其 中 那 条 无 限 长的 曲 线 就 叫 做 Koch曲 线 。 他 是 由 瑞 典 数 学家 Helge von

15、Koch最 先 提 出 来 的 。 （ 1.26维 ） 分 形 这 一 课 题 提 出 的 时 间 比 较 晚 。 Koch曲 线 于1904年 提 出 ， 是 最 早 提 出 的 分 形 图 形 之 一 。 我 们 仔细 观 察 一 下 这 条 特 别 的 曲 线 。 它 有 一 个 很 强 的 特 点 ：你 可 以 把 它 分 成 若 干 部 分 ， 每 一 个 部 分 都 和 原 来 一样 （ 只 是 大 小 不 同 ） 。 这 样 的 图 形 叫 做 “ 自 相 似 ”图 形 (self-similar)， 它 是 分 形 图 形 (fractal)最 主 要 的特 征 。 自 相 似

16、 往 往 都 和 递 归 、 无 穷 之 类 的 东 西 联 系在 一 起 。 一 条 Koch曲 线 中 包 含 有 无 数 大 小 不 同 的Koch曲 线 。 你 可 以 对 这 条 曲 线 的 尖 端 部 分 不 断 放大 ， 但 你 所 看 到 的 始 终 和 最 开 始 一 样 。 它 的 复 杂 性不 随 尺 度 减 小 而 消 失 。 另 外 值 得 一 提 的 是 ， 这 条 曲线 是 一 条 连 续 的 ， 但 处 处 不 光 滑 （ 不 可 微 ） 的 曲 线 。曲 线 上 的 任 何 一 个 点 都 是 尖 点 。 美 国 物 理 学 家 惠 勒 J.A.Wheeler

17、 说 :明 天 谁不 熟 悉 分 形 谁 就 不 能 被 认 为 是 科 学 上 的 文化 人 . 分 形 理 论 的 应 用 领 域 众 多 且 很 多 领 域 的 研究 成 果 异 常 丰 富 ,涉 及 自 然 科 学 及 社 会 科 学各 领 域 。 神 奇 的 ” 无 8数 ” :12345679 12345679与 9,18,27,36,45,54,64,72,81相 乘 得 111111111,.999999999.与10,19,28,37,46,55,64,73相 乘 ,积 会 让1,2,3,4,5,6,7,9八 个 数 字 轮 流 作 首 位 .即123456790,234567901,901234567. 你 还 能 发 现 它 的 其 他 特 点 吗 ？