北京市海淀区2013届高三一模数学(理)试题

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1、海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理科)2013.4一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 .集合 A x N|x 6,B x R|x2 3x 0,则 ABA. 3,4,5 B. 4,5,6C.x|3 x 6 D.x|3 x 62 .在极坐标系中，曲线 4cos围成的图形面积为A .nB. 4 C .4 冗 D .163 .某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的x值为5,则输出的y值为A . 2 B. 1 C. - D. 2 2 x 1,4 .不等式组 x y 4 0,表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为kx y 0A.

2、 2B. 1 C. 0D.15 .若向量a,b满足|a| |b| |a b| 1 ,则a b的值为A. 1B.1C. 1D. 1226 . 一个盒子里有3个分别标有号码为 1, 2, 3的小球，每次取出一个，记下它的 放回盒子中，共取 3次，则取得小球标号最大值是3的取法有A.12 种B. 15 种 C. 17 种 D.19 种|PF |7 .抛物线y 4x的焦点为F ,点P(x, y)为该抛物线上的动点，又点 A( 1,0),则匕-的1PA |最小值是A.1B.二 C 由D.小22238.设li12/3为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4, 5, 6的直线.给出下列三个结论: A li

3、 (i 1,2,3),使得AA2 A3是直角三角形; A li (i 1,2,3),使得AA2 A3是等边三角形;三条直线上存在四点Ai(i1,2,3,4)，使得四面体AA2AA4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中，所有正确结论的序号是A.B.C.D.二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分.9.在复平面上，若复数 a+b i (a,bR )对应的点恰好在实轴上，则 b =10 .等差数列an中，a3 a49,a2a518,则 a1a611 .如图，AP与0O切于点A,交弦DB的延长线于点P ,过点B作圆O的切线交AP于点C.若ACB 90 , BC 3,CP 4,则弦D

4、B的长为PD12 .在ABC中，若a 4,b 2, cos A,sin C13 .已知函数f(x)2x a,x2 3ax a,0,有三个不同的零点,0则实数 a的取值范围是14 .已知函数f (x)sin 2x ,任取 tR,定义集合:A y|y f(x),点 P(t,f(t),Q(x, f(x)满足 |PQ|2.h(t) Mt mt.则设Mt, mt分别表示集合 A中元素的最大值和最小值，记(1)函数h(t)的最大值是 ；(2)函数h(t)的单调递增区间为 三、解答题：本大题共6小题共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.(本小题满分13分)已知函数 f(x) 2 (J3sin

5、 x cosx)2.(I)求f()的值和f(x)的最小正周期；4(n)求函数f(x)在区间,上的最大值和最小值.6 317.（本小题满分14分）在某大学自主招生考试中， 所有选报II类志向的考生全部参加了数学与逻辑”和 阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级.某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.(I)求该考场考生中 阅读与表达”科目中成绩为A的人数；(II)若等级A, B, C, D, E分别对应5分,4分，3分,2分，1分.(i)求该考场考生 数学与逻辑”科目的平均分；(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中

6、有2人10分，2人9分，6人8分.从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望0-DM在四黏t P ABCD中，PA 平面ABCD, ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA AB 4 , CDA 120；,点N在线段PB上，且PN 72(I)求证：BD PC ;（n）求证：MN /平面PDC ；（出）求二面角 A PC B的余弦值.已知函数 f(x) ln x ax2 bx (其中 a,b 为常数且 a 0)在 x 1 处取得极值.( I )当 a 1 时，求 f (x) 的单调区间；(II)若f(x)在0,e上的最大值为1,求a的值.19.(本小题满分14分

7、) 22已知圆M : (x 22)2 y2 r2 ( r 0).若椭圆C ：二、1 (a b 0)的右顶 a b点为圆M的圆心，离心率为程.(I)求椭圆C的方程；(II)若存在直线l ： y kx,使得直线l与椭圆C分别交于A, B两点，与圆M分别交于 G , H两点，点G在线段AB上，且AG BH ,求圆M半径r的取值范围.#.（本小题满分13分）设A（Xa，Ya）, B（Xb，Yb）为平面直角坐标系上的两点，其中XA,yA, XB,yB Z .令 x Xb Xa , y Vb Ya,若x + y=3,且| x| | y| 0,则称点B为点A的相关点”, 记作：B （A）.已知Po（xo,

8、y。）（xo,yo Z）为平面上一个定点，平面上点列P满足：P（Pi）,且点 P 的坐标为（Xi,yJ,其中 i 1,2,3,.,n.（I ）请问：点P。的相关点”有几个？判断这些 相关点”是否在同一个圆上， 若在同一个圆 上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；（n ）求证：若F0与Pn重合，n 一定为偶数； n（出）若F0（1,0）,且yn 100,记T x,求T的最大值.i 0海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理）参考答案及评分标准2013.说明：合理答案均可酌情给分，（1不得超过原题分数一、选择题（本大题共 8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案BCCDADB

9、B二、填空题（本大题共6小题,每小题5分，有两空的小题，第一空 3分，第二空2分,共30分）9. 010. 142411.512 3 3513, - a 114. 2, (2k 1,2k),k Z，169三、解答题(本大题共6小题,共80分)15 .(本小题满分13分)解：因为 f(x) 2 (J3sinx cosx)2=2 (3sin2 x cos2 x 2、一 3sin xcosx)2 (1 2sin2x V3sin 2x)2 分=1 2sin2 x 、3sin 2xcos2 x 向sin 2x4 分=2sin(2 x46分所以6f( j 2sin(2 ; 京 2sin2 337 分所以f

10、(x)的周期为T 2 I I2九_=九2(II)当 x -,时，2x6 3- 3,九56,-6所以当x时，函数取得最小值 f( 丁)166当x 6时，函数取得最大值 f(招 2 1316 .解：(I)因为 数学与逻辑”科目中成绩等级为 B的考生有10人，所以该考场有10 0.25 40人1分所以该考场考生中阅读与表达”科目中成绩等级为 A的人数为40 (1 0.375 0.375 0.15 0.025) 40 0.075 33分(II)求该考场考生 数学与逻辑”科目的平均分为401 (40 0.2) 2 (40 0.1) 3 (40 0.375) 4 (40 0.25) 5 (40 0.075

11、) 2.9(m)设两人成绩之和为,则 的值可以为16, 17, 18, 19, 20P(16)d竺P(17)CC1卫P( )C12045P( )C12045_ 11 一 2 一P( 18)京 C； 45p(19)c2c2Cw445p(20)C2C20145所以的分布列为X1617181920P1545124513454451451份所以EE 161545121317 18 4545 c 41861920 -4545所以的数学期望为86T17.证明：（I）因为ABC是正三角形,M是AC中点,所以BM AC,即BD AC又因为PA 平面ABCD , BD 平面ABCD ,PABD又PA。AC A,

12、所以BD 平面PAC又PC 平面PAC ,所以BD PC (D)在正三角形 ABC中,BM 2.3在ACD中，因为M为AC中点，DM AC ,所以ADCDCDA 120：，所以 DM Z3,所以 BM : MD 3:13在等腰直角三角形 PAB中，PAAB 4, PB 4/，所以 BN : NP 3:1BN: NPBM : MD ,所以 MN /PD又MN 平面PDCPD 平面PDC，所以MN /平面PDC（出）因为 BADBAC CAD 90：,所以AB AD,分别以AB,AD, AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系,所以 B(4,0,0), C(2,2、,3,0), Dell,。

13、)，P(0,0,4)由（H）可知,9分DB (4, W3,0)为平面 PAC3的法向量PC (2,2 .3, 4)PB (4,0,4)设平面pbc的一个法向量为n(x,y,z),0 日口 2x 2.3y 4z 00 4x 4z 0令z 3,则平面PBC的一个法向量为(3, ,3,3)12分设二面角A PC B的大小为所以二面角A PC B余弦值为18.解：(I)因为 f (x) ln x2 axr 1bx,所以 f (x) x2ax b因为函数f (x),2ln x ax bx在 x1处取得极值f 1 2a当a 1时，b2x23, f (x)上3x 1f (x), f (x)随x的变化情况如下

14、表:x1 (0,2)12修)1(1,+ )f(x)00f(x)极大值极小值/1所以f(x)的单调递增区间为(0q),(1,+ ) ，1 八单调递减区间为(万/)6分2(II)因为 f (x) 2ax_2(a 1)x 1 (2ax 1)(x d xx1令 f (x) 0,x1 1,x2 2a1因为f(x)在x 1处取得极值，所以 x2 X1 12 2a 1,1当丁 0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,e上单调递减 2a所以f(x)在区间0,e上的最大值为f(1),令f (1) 1,解得a 211、1 1时，f(x)在(0,)上单调递增，(,1)上单调递减, 2a2a2a(1,e)上单调

15、递增所以最大值11可能在x 或x2ae处取得所以f (e)12a所以最大值11 2ln a( )2 (2 a2a2a,.2ln e+ae (2 a 1)eWln11, c1 02a 4ae时，f(x)在区间(0,1)上单调递增,1，1，、八一(1)上单调递减，(葭,e)上单调递增1可能在x 1或x e处取得而 f(1) ln1 a (2a 1) 0所以 f (e) In e+ae2 (2 a 1)e 1 ,1. .1解得a ，与1 x2 e矛盾12分e 22a 1当x2 e时，f (x)在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减,2a所以最大值1可能在x 1处取得，而f (1) ln1

16、a (2a 1) 0 ,矛盾1,八综上所述，a 或a 2.13分e 21 9 .(本小题满分14分)解：(I)设椭圆的焦距为2c,因为a 、2, ca诋，所以c 1 ,所以b 1.22所以椭圆C :2y2 1(II )设A ( x1，y1）， B(X2, y2)由直线l与椭圆C交于两点A, BikX2y2所以（1_22 一2k )x 2 0,则 XiX20,X1X2221 2k2所以AB(1k2)1 28(1 k2)1 2k2点M （ J2 , 0）到直线l的距离d、,2k1 k2则GH显然，若点H也在线段ab上，则由对称性可知，直线 y kX就是y轴，矛盾,所以要使AG只要AB |GH所以8

17、1 4(r21 2k2爷）1份2k1 I2(1 k2)2(3k4 3k2 1)又显然综上,k22k22k4 3k2 12(12k4 3k2 1)0时,0时,2(120.解：（I）因为2(1彳 k711 342k k、,313k1-)2-)2142(12)=3（ x, y为非零整数）故x 1, y 2或x 2, x 1,所以点P0的相关点有8个2分又因为（x）2 （ y）2 5,即（为 xo）2 （yiy。）2 5所以这些可能值对应的点在以P0为圆心，J5为半径的圆上 4分（n ）依题意Pn （xn，yn ）与P。化。）重合则xn(xnxn 1)( xn-1xn 2) .(x2X) (x1 x。

18、)x。x。,yn(yn yn 1) (yn-1yn2).(y2y1)(y1y。)y。y。即(xnxn 1)+( xn-1xn2)+乂治)+(不x0)=。,(ynyn 1)+(yn-1yn2)+.+(y2%)+(1y)=。两式相加得(xnxn力+dYn)+(*n1*n2)+所-1Yn2) +( %*。)+(丫1丫。)=。(*)因为 K,yiZ,k xi 1yiy 13(i 1,2,3，n)故保 xi 1)+(yi yi 1)(i=1,2,3,.,n)为奇数,于是(*)的左边就是n个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，所以n一定为偶数8分(出)令 xixixi 1, yi*yi 1, (i1,2

19、,3，n),依题意(yn yn1)(yn 1 yn2)(丫1丫。)1。，n因为 T xix。xx2 HI xn1。1 (1x1)(1 x1x2)I (1 x x2 HI xn)n 1 n x (n 1) x2xn 1吩因为有| x +1 yj 3,且| x , yi|为非零整数,所以当x 2的个数越多，则T的值越大，而且在x1，x2,x3,.,凡这个序列中，数字2的位置越靠前，则相应的T的值越大而当 x取值为1或1的次数最多时，为取2的次数才能最多，T的值才能最大当n 100时，令所有的y都为1,Xi都取2,则 T 101 2(1 2 | 100) 10201 .当n 100时，4*若 n 2

20、k(k 50,k N),此时， y可取k 50个1, k 50个1,此时 x可都取2, S(n)达到最大此时 T = n 1 2(n (n 1)1) n2 2n 1.右 n2k1(k50,kN),令yn2 ,其余的yi中有k49 个1, k 49 个 1.相应的，对于Xi ,有Xn 1,其余的都为2,则 Tn 1 2(n (n1)1) 1 n22n当 50n100时，令yi1,i2n100,yi2,2 n100in,则相应的取 xi2,i2n100, yi1,2n100in,则T = n 1 + 2 (n (n 1) |(101 n) (100 n) (99 n) |1)n2 205n 100982综上，T2-n 205n 100982(n 1)2,n2+2n,50 n 100,n 100a为偶数,n 100且为奇数.