2015年浙江省湖州市中考数学试卷及解析

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1、2015年浙江省湖州市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分)1.（3分）（2015?湖州）-5的绝对值为（)A5B 5cD 二 i- L.2.（3分）（2015?湖州）当x=1时，代数式4-3x的值是（)A1B 2C 3D 4 3. （3分）（2015?湖州）4的算术平方根是（)Ai2B 2C - 2D 4. （3分）（2015?湖州）若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm,圆心角为240的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（）A 6cmB 9cmC 12cmD 18cm5. （3分）（2015?湖州）已知一组数据的方差是3,则这组数据的标准差是（）A9B3CpD.；.2,6

2、. （3分）（2015?湖州）如图，已知在4ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分/ ABC交CD于点E, BC=5,DE=2,则 BCE的面积等于（）BCA 10B 7C 5D 4 7. （3分）（2015?湖州）一个布袋内只装有 1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（）A JB _1C 工D 工q3e百8. （3分）（2015?湖州）如图，以点 O为圆心的两个圆中，大圆的弦 AB切小圆于点C, OA交小圆于点D, 若 OD=2 tan ZOAB=t,则 AB 的长是（）32A 4B2：；C 8D 4.：

3、；9. （3分）（2015?湖州）如图，AC是矩形ABCD勺对角线，。是4ABC的内切圆，现将矩形 ABCD如 图所示的方式折叠， 使点D与点O重合，折痕为FG.点F, G分别在边AD, BC上，连结OG DG若OGLDG 且。的半径长为1,则下列结论不成立的是（）ACD+DF=4BCD- DF=2/j- 3CBC+ABJ,+4DBC- AB=2 10. （3分）（2015?湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，。是坐标原点，点 A是函数yJ （x0, k是不等于0的常数）的图象于点 C,点A关于y轴的对称点为A,点C关于x轴的对称点为C,交于x轴于点B,连结AB,AA；AC.若4ABC的

4、面积等于6,则由线段AG CC, CA, AA所围成的图形的面积等于（）C 3. | D 4 T.数关系如图所示，则小明的骑车速度是二、填空题（共 6小题，每小题4分，满分24分）11. （4 分）（2015?湖州）计算：23x（2）2=2s （千米）与所用时间t （分钟）的函12. （4分）（2015?湖州）放学后，小明骑车回家，他经过的路程千米/分钟.13. （4分）（2015?湖州）在 争创美丽校园，争做文明学生 ”示范校评比活动中，10位评委给某校的评分 情况下表所示：评分（分）80859095评委人数 1252则这10位评委评分的平均数是分.14. （4分）（2015?湖州）如图，已

5、知C,D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2 /COD=120,则图中阴影部分的面积等于15. （4分）（2015?湖州）如图，已知抛物线 C: y=aix2+bix+Ci和G： y=a2X2+b2X+C2都经过原点，顶点分 别为A, B,与x轴的另一交点分别为 M N,如果点A与点B,点M与点N都关于原点O成中心对称，则 称抛物线。和G为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线 。和Q,使四边形ANBM好是矩形，你所写 的一对抛物线解析式是和16. （4分）（2015?湖州）已知正方形ABCD的边长为1,延长CD到A1,以A1C1为边向右作正方形 A1C1QD2, 延长GD到A2

6、,以A2G2为边向右作正方形A2GGD3（如图所示），以此类推 .若AQ=2,且点A,D,D3,D10都在同一直线上，则正方形 A9GC10D0的边长是BG C QG 通三、解答题（本题有 8个小题，共66分） 21 217. （6分）（2015?湖州）计算：一一上一a - b a - bit - 252=5,22故选C.作出辅助线求得三角形的高是解点本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积,评：题的关键.7. （3分）（2015?湖州）一个布袋内只装有 1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸 出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（）A JB

7、工C 1D 19369 考列表法与树状图法.八、分列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可.析：解 解：列表得：答： 黑白白里（里里） （里白） （里白）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）共9种等可能的结果，两次都是黑色的情况有1种，两次摸出的球都是黑球的概率为 工，9故选D.点本题考查了列表法与树状图法的知识，解决本题时采用了两个独立事件同时发生的评： 概率等于两个独立事件单独发生的概率的积，难度不大.8. （3分）（2015?湖州）如图，以点 O为圆心的两个圆中，大圆的弦 AB切小圆于点C, OA交小圆于点D, 若 OD=2 tan ZOAB=L,

8、则 AB 的长是（）A 4B 2 ；C 8D 4. 一;考八、 分 析:切线的性质. 连接OC利用切线的性质知 OCL AB,由垂径定理得 AB=2AC因为tan /OAB=,易二=，代入得结果.AC 2解答:解：连接OC大圆的弦AB切小圆于点C, . OCL AB, . AB=2AC , OD=2OC=2. tan /AC=4AB=&点本题主要考查了切线的性质和垂径定理，连接过切点的半径是解答此题的关键.评：9. （3分）（2015?湖州）如图，AC是矩形ABCD勺对角线，。是4ABC的内切圆，现将矩形 ABCD如 图所示的方式折叠， 使点D与点O重合，折痕为FG.点F, G分别在边AD,

9、BC上，连结OG DG若OGLDG 且。的半径长为1,则下列结论不成立的是（）ACD+DF=4BCDF=2jj-3CBC+AB=21+4DBC-AB=2 考八、 分 析:三角形的内切圆与内心；翻折变换（折叠问题）解答:设。与BC的切点为 M,连接MO并延长MC AD于点N,证明OMGGCD得到 OM=GC= 1 CD=GM=BBM/I- GC=BG 2,设 AB=a BC=h AC=G。的半径为 r , OC是RtABC的内切圆可得r=A （a+b-c）,所以c=a+b - 2.在RtABC中，利用勾2股定理求得3户+芯,（舍去），从而求出a, b的值，所以BC+AB=V+4.再设 DF=x,

10、在 RtONF中,FN=3+-/3, CF=x）CN=V3 - 1=71，由勾股定理可得 （工九月-x）U （旧）2二耳2,解得x=4 -从而得到CD- DF转+1-（4-塞）二人行cd+df=+1+MV=5.即可解答.解：如图，cr设。与BC的切点为 M,连接MO延长MC AD于点N, .将矩形ABCD如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FGOG=D G OGL DG / MGO+ DGC=90, / MOG + MGO=9Q/ MOG = DGC在 AOM住口 GCD,2omg 二 Ndcg 二 9 0ZMOG=ZLGClOG=DG AOMG AGCDOM=GC= 1 CD=GM=

11、BCBM- GC=BO 2. AB=CDBC- AB=2.设 AB=q BC=b, AC=g。的半径为 r, 。是RtABC的内切圆可得r=i （a+b-c）,2 . c=a+b - 2在RtABC中，由勾股定理可得 a2+b2= （a+b-2） 2,整理得 2ab - 4a - 4b+4=0,又. BC- AB=2即 b=2+a,代入可得 2a （2+a） - 4a - 4 （2+a） +4=0,解得目产1+近 a2=l - V3 （舍去），BC+AB=2 ;+4.再设 DF=x,在 RtONF中，FN=3+V-1-工，OF=K 0=+4-1=, 由勾股定理可得卧心-马。（赤）占2，解得x=

12、4 -近_cd- df=1 -（4-e）=2百-3, cd+df=+1+4-e=5.综上只有选项A错误，故选A.点本题考查了三角形的内切圆和内心，切线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识点评：的综合应用，解决本题的关键是三角形内切圆的性质.10. （3分）（2015?湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，。是坐标原点，点 A是函数y=1 （x0, k是不等于0的常数）的图象于点 C,点A关于y轴的对 I称点为A,点C关于x轴的对称点为C,交于x轴于点B,连结AB, AA, AC.若4ABC的面积等于6, 则由线段AG CC, CA, AA所围成的图形的面积等于（）A 8B 10C 3. I

13、ID 4. 考八、 分 析:反比例函数综合题.过A作AD! x轴于D,连接 OA,设 A (a, -) , C3(bv2),由OADBCO 得 b,根据反比例函数的系数到的几何意义得到SSa boik2求出k2=心）ah1得到 k=-，根据 Sa ab(=Sa aob+Sa boc* (-=61 AD%，列出关于k的方程k2+k- 12=0,求得k=3,由于点A关于y轴的对称点为 A,点C关于x轴的对称点为 C；得到OA, OC在同一条直线上，于是得到由线段AC, CC,CA； AA所围成的图形的面积 =SAoB(tSAOBd-SAOAA=10.解答:解：过A作AD，x轴于D,连接0A；,点A

14、是函数y(x0, k是不等于。的常数)的图象上， Xv2设 C (b,), b ADXBD, BC1BD,OAS BCQ.S&ajx)_ 孙 2_a2Wo1下，.Q 1 c k OA ADO3 _ Sa bo- ,H2 2.2= X b 2 . k (一)a - k=-, a11kl1 . Saab(S/ aobi-Sa bo(? ( - -) ?b+-=6,2 a2k2- -12, a2k+k- 12=0,解得：k=3, k=-4 (不合题意舍去)，点A关于y轴的对称点为A,点C关于x轴的对称点为C；Z 1=Z2, Z3=Z4,Z 1+Z4=Z2+Z 3=90 ,1. OA, 0%同一条直线

15、上,k力9 S/, OBl 二-Sa oa/f2Sa oaf 1,由线段AC, CC, CA； AA所围成的图形的面积 =SaobSaob(ji-Saoa10.点本题考查了反比例函数的图象的性质，系数k的几何意义，相似三角形的判定和性评： 质，轴对称的性质，正确的理解轴对称图形的性质是解题的关键.二、填空题（共 6小题，每小题4分，满分24分）11. （4 分）（2015?湖州）计算：23x（）2= 2 .2考有理数的乘方；有理数的乘法.八、分根据有理数的乘方，即可解答.析：斛 解：23 x （A） 2=8 3=2,答：V 24故答案为：2 .点本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是熟记有理

16、数乘方的定义.评：12. （4分）（2015?湖州）放学后，小明骑车回家，他经过的路程s （千米）与所用时间t （分钟）的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是0.2 千米/分钟.八、分根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程析：与时间的关系，可得答案.解 解：由纵坐标看出路程是 2千米，答：由横坐标看出时间是 10分钟，小明的骑车速度是 2勺0=0.2 （千米/分钟），故答案为：0.2 .点本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得评： 出时间，利用了路程与时间的关系.13. （4分）（2015?湖州）在 争创美丽校园，争做文明学生

17、 ”示范校评比活动中，10位评委给某校的评分 情况下表所示：评分（分）80859095评委人数1252则这10位评委评分的平均数是89分.考加权平均数.八、分平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数.析：解 解：这10位评委评分的平均数是：答：（80+85X2+90X5+95X2）勺0=89 （分）.故答案为89.点本题考查的是加权平均数的求法.本题易出现的错误是求80, 85, 90, 95这四个评：数的平均数，对平均数的理解不正确.。圆心，半径 OA=2, /COD=120,14. （4分）（2015?湖州）如图，已知C, D是以AB为直径的半圆周上的两点,考扇形面积的计算

18、.八、分图中阴影部分的面积 =半圆的面积-圆心角是 120。的扇形的面积，根据扇形面积的析： 计算公式计算即可求解.解：图中阴影部分的面积 ，兀224竺工2二1=2兀兀3答：图中阴影部分的面积等于 2n.忖故答案为：工兀.3点考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图评：形的面积.15. （4分）（2015?湖州）如图，已知抛物线 G： y=a1x2+bix+Ci和G： y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分 别为A, B,与x轴的另一交点分别为 M N,如果点A与点B,点M与点N都关于原点O成中心对称，则 称抛物线。和G为姐妹抛物线，受你写出一对姐妹抛物色

19、 。和Q,使四边形ANBM好是矩形，你所写 的对抛物线解析式是 y= d5x2+2fx 和 y=/ 3x2+2f3x .考点专题分析二次函数图象与几何变换.新定义.连接AB,根据姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线 Ci的解析式为y=ax2+bx,根据四边形 ANBM好是矩形可得 4AO娓等边三角形，设 OM=2则点A的坐标是 （1,立），求出抛物线 Ci的解析式，从而求出抛物线 。的解析式.解 解：连接AB,答： 根据姐妹抛物线的定义，可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数 相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线G的解析式为y=ax

20、+bx,根据四边形ANBM好是矩形可得：OA=OM OA=M AAO/等边三角形，设OM=2则点A的坐标是（1,卜，则Me，0=4a+2b解得：一一 _一则抛物线C1的解析式为y= -V5x2+2/3x,抛物线C2的解析式为y=V3x2+2（3x,故答案为：y=- Vx2+2?5x，y=丹x2+2x.点此题考查了二次函数的图象与几何变换，用到的知识点是姐妹抛物线的定义、二次评： 函数的图象与性质、矩形的判定，关键是根据姐妹抛物线的定义得出姐妹抛物线的 二次项的系数、一次项系数、常数项之间的关系.16. （4分）（2015?湖州）已知正方形 ABCD的边长为1,延长GD到Ai,以AiCi为边向右

21、作正方形 AiCiC2D2, 延长GD2到A2,以A2c2为边向右作正方形A2C2QD3（如图所示），以此类推 .若A=2,且点A,D2,D3,D10都在同一直线上，则正方形A9GG0D0的边长是 .2TB 5 G2 G Gq QG 博考点专题分析解相似三角形的判定与性质；正方形的性质.规律型.延长DA和GB交于0,根据正方形的性质和三角形相似的性质即可求得各个正方形的边长，从而得出规律，即可求得正方形A9QC10D10的边长.解：延长D4A和C1B交于0, AB/ A2G,AOBQOC,，乌=_OC? D 2cz. AB=BC=1, DG=CC2=2,2. OB _ AS _1 一=。“ D

22、 2c3OG=2OBOB=B2=3,OC=6,设正方形 A2QQD3的边长为xi,同理证得： DOCs D3OC, ，2=J,解得，xi=3,町64町正方形A2GC3D3的边长为3,设正方形AGC4d的边长为X2,同理证得： DOCs DOC, =,解得 X2=W，正方形A3GC4D4的边长为工；2设正方形A4GC5D5的边长为X3,同理证得： DOCs D5OC,9272 L 2 =,解得得,正方形A4GC5D5的边长为4以此类推.?n- 2正方形An iGiGDn的边长为92-3正方形A9GC10D0的边长为y .27故答案为本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，求得前五个正方形

23、的边长得出规律是解题的关键.占 八、评:三、解答题（本题有 8个小题，共66分）2 i 217. （6分）（2015?湖州）计算：_ - -a _ b a _ b考分式的加减法.八、专计算题.题：分原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果.析：J 解：原式=”- b； （a+b） （af） =a+b口 a-ba- b点此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.评：18. （6分）（2015?湖州）解不等式组% - 21考八、 分 析: 解 答:解一元一次不等式组.先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可.解:.解不等式得：XV 6, 解不

24、等式得：x1,不等式组的解集为1 v XV 6.点本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出评： 不等式组的解集，难度适中.19. （6分）（2015?湖州）已知y是x的一次函数，当 x=3时，y=1 ;当x=-2时，y= - 4,求这个一次函 数的解析式.考待定系数法求一次函数解析式.八、分一次函数解析式为 y=kx+b ,将x与y的两对值代入求出 k与b的值，即可确定出一析：次函数解析式.解 解：设一次函数解析式为 y=kx+b ,将 x=3, y=1; x= - 2, y= - 4 代入得：i.,解得：k=1 , b= - 2.则一次函数解析式为 y=x -

25、 2.点此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.评：20. （8分）（2015?湖州）如图，已知 BC是。的直径，AC切。于点C, AB交。于点D, E为AC的中 点，连结DE（1）若AD=DB OC=5求切线 AC的长；（2）求证：ED是。的切线.考切线的判定与性质.八、分 (1)连接CR由直径所对的圆周角为直角可得：/BDC=90,即可得：CtUAR然析： 后根据AD=DB进而可得 CD AB的垂直平分线，进而可得 AC=BC=2OC=10(2)连接OD先由直角三角形中线的性质可得DE=EC然后根据等边对等角可得/1 = /2,由OD=OC根据等边对等角可得

26、 /3=/4,然后根据切线的性质可得/ 2+/4=90,进而可得： / 1+/3=90,进而可得：DE，OD 从而可得：ED是。O 的切线.解 (1)解：连接CDBC是。的直径，/ BDC=90,即 CDL AB, AD=DB OC=5CD是AB的垂直平分线，AC=BC=2OC=10(2)证明：连接OD如图所示,图2 . /ADC=90, E 为 AC的中点,DE=EC-AC,;，/ 1=72, OD=O C/ 3=/4,.AC切。O于点C,AC OC/ 1+Z 3=Z 2+Z 4=90,即 DE! ODED是。的切线.点此题考查了切线的判定与性质，解题的关键是：熟记切线的判定定理与性质定理，

27、评： 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于过切点 的直径.21. （8分）（2015?湖州）为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立文学鉴赏”、料学实验”、音乐舞蹈”和 手工编织”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团.为此，随机调 查了本校各年级部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）：选择意向所占百分比文学鉴赏 a科学实验 35%音乐舞蹈 b手工编织 10%其他 c根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）求本次调查的学生总人数及 a, b, c的值;（2）将条形统计图补充完整；科学实验”社团的学生人数.八、分 （1

28、）先计算出本次调查的学生总人数，再分别计算出百分比，即可解答；析：（2）根据百分比，计算出文学鉴赏和手工编织的人数，即可补全条形统计图;（3）用总人数乘以 科学实验”社团的百分比，即可解答.解 解：（1）本次调查的学生总人数是：7035%=200（人）,答：b=40 e00=20%c=10 e00=5%a=1 - （35%+20%+10%+5%=30%（2）文学鉴赏的人数：30%。00=60 （人）， 手工编织的人数：10%。00=20 （人），如图所示,毫忙桩湄官学生选这社团意向叁形貌计图音乐手工其当 道焦粥织4020（3）全校选择 科学实验”社团的学生人数:1200M5%=420（人）.点

29、本题考查条形统计图，解决本题的关键是读懂图形，获取相关信息.评：22. （10分）（2015?湖州）某工厂计划在规定时间内生产24000个零件.若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件.（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人考分式方程的应用；一元一次方程的应用.八、分 （1）可设原计划每天

30、生产的零件x个，根据时间是一定的，列出方程求得原计划析：每天生产的零件个数，再根据工作时间=工作总量 乜作效率，即可求得规定的天数；（2）可设原计划安排的工人人数为y人，根据等量关系：恰好提前两天完成 24000个零件的生产任务，列出方程求解即可.解 解：（1）设原计划每天生产的零件x个，依题意有答：24000=2400叶300工 k+3。解得 x=2400,经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意.，规定的天数为 24000e400=10 （天）.答：原计划每天生产的零件2400个，规定的天数是 10天；（2）设原计划安排的工人人数为y人，依题意有5 20X （1+20%） Xl+240

31、0 X （10 2） =24000, y解得y=480,经检验，y=480是原方程的根，且符合题意.答：原计划安排白勺工人人数为480人.点考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到评：合适的等量关系是解决问题的关键.此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量=工作效率刈:作时间.23. （10分）（2015砌州）问题背景已知在4ABC中，AB边上的动点 D由A向B运动（与A, B不重合），点E与点D同时出发，由点 C沿BC 的延长线方向运动（E不与C重合），边结DE交AC于点F,点H是线段AF上一点.（1）初步尝试如图1,若4ABC是等边三角形，DHL AC,且

32、点D, E的运动速度相等.求证：HF=AH+C F小五同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点 D作DG/ BC,交AC于点G,先证DH=AH再证GF=CF从而证得结论成立；思路二：过点 E作EM/L AC,交AC的延长线于点 M,先证CM=AH再证HF=MF从而证得结论成立.请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程（如用两种方法作答，则以第一种方法评分）；（2）类比探究如图2,若在 ABC中，AB=AC /ADHhBAC=36,且D, E的运动速度之比是 右：1,求星的值；（3）延伸拓展如图3,若在4ABC中，AB=AC ZADH=Z BAC=36,记里=m且点D, E运动速度

33、相等，试用含 m的代数考八、 分 析:相似形综合题.(1)过点D作DG/ BC,交AC于点G先证明AD-等边三角形， 得出GD=AD=CE 再证明GH=AH由ASA证明4GD庭CEF,得出GF=CF即可得出结论；(2)过点D作DG/ BG交AC于点G,先证出AH=GH=Qd/gD由题意AD=/3CE, 得出GD=CE再证明GD四CEF，得出GF=CF即可得出结论； AD(GA DGH DGHhABC 得出DG BC=m,证明DF6 4EFG得出AH即可得出结果.解答:(1)证明(选择思路一)：过点D作DG/ BC,交AC于点G,如图1所示:则 / ADGW B, / AGDh ACB ABC是

34、等边三角形，/ A=Z B=Z ACB=60,/ ADG= AGD= A, AD-等边三角形，GD=AD=G E DH! AC,GH=AH DG/ BC, / GDFW CEF, / DGFW ECF在AGD林口 CEF中，ZGDF=ZCEFGICE ,Zegf=ZecfAGDF ACEI3 (ASA , GF=CFGH+GF=AH+C F即 HF=AH+CF(2)解：过点 D作DG/ BG交AC于点G,如图2所示:则 / ADGW B=90, / BAC至 ADH=30,/ HGD= HDG=6(X .AH=GH=G DAD=；GD根据题意得：AD= -CE,GD=C E DG/ BC,(3

35、)过点 D作DG/ BC,交AC于点G,先证出 DG=DH=AH再证明AD64ABG / GDFW CEF, / DGFW ECR在AGD林DACEF中，(NGDF = NCEFGLCE，ZEGF=ZECFAGDF ACEI3 (ASA ，GF=CF萨(3)解:些51,理由如下:GH+GF=AH+C F 即 HF=AH+CFHF m过点D作DG/ BG交AC于点G,如图3所示:则 / ADG= B, / AGDh ACB AB=AC /BAC=36, / ACB至 B=Z ADG之 AGD=72, / ADHW BAC=36,AH=DH / DHG=72=Z AGD . DG=DH=AHAAD

36、CAABC ADGDGH 1 IL = 1 ILAD AB CF CE ADDGW AABC DG/ BC, DF(G EFC,GF DG二二m,FC CE,GH+GF-=miAH+FC,AH+FC 1 =HF ir.AClAJj+FC+HF = 15HF- HF in点本题是相似形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性评： 质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是(2) (3)中，需要通过作辅助线证明三角形全等或三角形相似 才能得出结果.24. (12分)(2015?湖州)已知在平面直角坐标系 xOy中，O为坐标原点，线段

37、AB的两个端点A (0, 2), B (1, 0)分别在y轴和x轴的正半轴上，点 C为线段AB的中点，现将线段 BA绕点B按顺时针方向旋 转90彳导到线段BD,抛物线y=ax2+bx+c (a%)经过点D.(1)如图1,若该抛物线经过原点0,且a= l.求点D的坐标及该抛物线的解析式；连结C口问：在抛物线上是否存在点P,使得/P0BW/BCM余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；(2)如图2,若该抛物线 y=ax2+bx+c (a4)经过点E (1, 1),点Q在抛物线上，且满足 / QOBW / BCD 互余.若符合条件的 Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围

38、.图1圉2考二次函数综合题.八、分 (1)过点D作DFL x轴于点F,先通过三角形全等求得 D的坐标，把D的坐标析， 和a=-c=0代入y=ax2+bx+c即可求得抛物线的解析式； 先证得CD/ x轴，进而求得要使得 / POBZ BCD互余，则必须/ POB=/ BAQ设P的坐标为(x, - 3x2+|x),分两种情况讨论即可求得；3 3(2)若符合条件的 Q点的个数是4个，则当a0时，最小值得V- 1,解不等式即可求得.解 解：(1) 过点D作DF,x轴于点F,如图1,答：./DBF吆 ABO=90, Z BAO+Z ABO=90,/ DBF=/ BAQ又 /AOBh BFD=9CT, A

39、B=BQ在AOBBFD中，ZEBF=ZBAON&db 二 Nbfd，AB=BDAAOB ABFt) ( AASDF=BO=1 BF=AO=?D的坐标是(3, 1),根据题意，得 a= - -, c=C,且 a32+bX3+c=1,，该抛物线的解析式为 y= - L2+二x；3 3二.点A （C, 2）, B （1, C）,点C为线段AB的中点，吗 1）,D两点的纵坐标都为 1, .CD/ x 轴, / BCDW ABO / BAOW/ BCD5余，要使得/ POB / BCD互余，则必须 / POBW BAO设P的坐标为（x, - x2+x）,3 3（I ）当P在x轴的上方时，过 P作PGLx

40、轴于点G,如图2,贝U tan / POB=tanZ BAQ 即 抽口,OG A0L-=1,解得x1=c （舍去），x2工，x 23一精吟P点的坐标为（-）;2 4（n ）当P在x轴的上方时，过 P作PGLx轴于点G,如图3贝U tan / POB=tanZ BAQ 即1=即, OG A01 _ 4-=二，解得 x1=C （舍去），x2, 122一孝哼“当，p点的坐标为（W，一告）；豆），使得/ POB / BCD互余.4综上，在抛物线上是否存在点 P （至，上）或（,2 42(2)如图 3, . D (3, 1), E (1, 1),抛物线y=ax2+bx+c过点E、D,代入可得b+口 1,

41、解得4口,所以y=ax2I 9a+3b+c=l I c=l-b3a4ax+3a+1.分两种情况：当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时，若满足/ QOB / BCM余且符合条件的 Q点 的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个.(i )当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点， 满足条件的Q有2个;(ii )当点Q在x轴的上方时，要使直线 OQW抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，抛 物线y=ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半 轴，所以3a+1 0,解得a0,即4a2 - 8af0,解得a生空(av刍二亚舍去)44综上所示，a的取值范围为av -1或a”2 15.3 q点本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，正切函数，最评： 小值等，分类讨论的思想是本题的关键.