斐波那契数列与黄金比

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1、斐 波 那 契 数 列 &黄 金 比 斐 波 那 契 数 列Fibonacci Sequence Game： “ 取 棋 子 ”游戏方法是由两个人轮流取一堆粒数不限的棋子。先取的一方可以取任意粒，但不能把这堆砂子全部取走。后取的一方，取数也多少不拘，但最多不能超过对方所取棋子数的一倍。然后又轮到先取的一方来取，但也不能超过对方最后一次所取棋子的一倍。这样交替地进行下去，直到全部棋子被取光为止，谁能拿到最后一粒棋子，谁就算胜利者。 Game： “ 取 棋 子 ”如果棋子总数为2个，获胜的是谁呢？先取的一方还是后取的一方？如果棋子总数为3个，获胜的是谁呢？如果棋子总数为5个呢？8个呢？13个，21

2、个呢？ 后 Game时 代 观察这些数字，有什么规律？2，3, 5, 8, 13, 21再加上这些数字呢？1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, Leonardo Fibonacci 斐 波 那 契 数 列 的 发 明者 ， 是 意 大 利 数 学 家列 昂 纳 多 斐 波 那 契Leonardo Fibonacci，（ AD1 1 7 0 AD1 2 4 0 ） 。他 被 人 称 作 “ 比 萨 的列 昂 纳 多 ” 。 1 2 0 2 年 ，他 撰 写 了 珠 算 原 理 (Liber Abacci)一 书 。 他是 第 一 个 研 究 了 印 度和 阿 拉 伯

3、 数 学 理 论 的欧 洲 人 。 Fibonacci Sequence斐波那契数列（兔子数列 ）1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 斐波那契数列(Finonnaci sequence)自第三项开始,每一项都是前两项的和数列中的每一项为斐波那契数(Fibonnaci Number) 以符号 Fn 表示。F1 = F2 = 1 ，而 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n2) Fibonacci Sequence缘 起“ 不 死 ” 之 兔一 对 兔 子 ， 出 生 后 第 二 个 月 开 始有 生 育 能 力 ， 每 月 繁 殖 一 对 小 兔子 。 问 一 对 兔 子

4、 一 年 中 可 繁 殖 出多 少 对 兔 子 ？ 珠 算 原 理 Liber Abacci Fibonacci Sequence解 析 Fibonacci Sequence解 析月 数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13小 兔子 对数 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89大 兔子 对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 兔 子总 对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 Fibonacci Sequence解 析通项公式 黄 金 比 黄 金 比黄 金 分 割 又 称 黄 金 律

5、， 是指 事 物 各 部 分 间 一 定 的 数学 比 例 关 系 ， 即 将 整 体 一分 为 二 ， 较 大 部 分 与 较 小部 分 之 比 等 于 整 体 与 较 大部 分 之 比 ， 其 比 值 为1 0.618或 1.618 1， 即长 段 为 全 段 的 0.618。0.618被 公 认 为 最 具 有 审美 意 义 的 比 例 数 字 。 上 述比 例 是 最 能 引 起 人 的 美 感的 比 例 ， 因 此 被 称 为 黄 金 分 割 发 现 历 史 据 说 在 古 希 腊 ， 有 一天 毕 达 哥 拉 斯 走 在 街 上 ，在 经 过 铁 匠 铺 前 他 听 到 铁匠 打

6、铁 的 声 音 非 常 好 听 ，于 是 驻 足 倾 听 。 他 发 现 铁匠 打 铁 节 奏 很 有 规 律 ， 这个 声 音 的 比 例 被 毕 达 哥 拉斯 用 数 数 理 的 方 式 表 达 出来 。 被 应 用 在 很 多 领 域 ，后 来 很 多 人 专 门 研 究 过 ，开 普 勒 称 其 为 “ 神 圣 分 割 ”也 有 人 称 其 为 “ 金 法 ” 。 黄 金 分 割 与 美 感利 用 黄 金 分 割 率 的 紫 禁 城 黄 金 分 割 与 美 感 黄 金 分 割 与 美 感 黄 金 分 割 与 美 感 黄 金 分 割 与 作 息 制 度科 学 家 们 还 发 现 ， 当

7、外 界环 境 温 度 为 人 体 温 度 的0.618倍 时 ， 人 会 感 到 最 舒服 现 代 医 学 研 究 还 表 明， 0.618与 养 生 之 道 息 息 相关 ， 动 与 静 是 一 个 0.618的比 例 关 系 ， 大 致 四 分 动 六分 静 ， 才 是 最 佳 的 养 生 之道 。 医 学 分 析 还 发 现 ， 饭吃 六 七 成 饱 的 几 乎 不 生 胃病 。 黄 金 比 与 战 争千 百 年 来 ， 人 们 对 成 吉 思 汗 的 蒙 古骑 兵 ， 为 什 么 能 像 飓 风 扫 落 叶 般 地席 卷 欧 亚 大 陆 颇 感 费 解 ， 因 为 仅 用游 牧 民 族

8、 的 彪 悍 勇 猛 、 残 忍 诡 谲 、善 于 骑 射 以 及 骑 兵 的 机 动 性 这 些 理由 ， 都 还 不 足 以 对 此 做 出 令 人 完 全信 服 的 解 释 。 或 许 还 有 别 的 更 为 重要 的 原 因 ？ 仔 细 研 究 之 下 ， 果 然 又从 中 发 现 了 黄 金 分 割 律 的 伟 大 作 用 。蒙 古 骑 兵 的 战 斗 队 形 与 西 方 传 统 的方 阵 大 不 相 同 ， 在 它 的 5排 制 阵 形中 ， 人 盔 马 甲 的 重 骑 兵 和 快 捷 灵 动轻 骑 兵 的 比 例 为 2:3， 这 又 是 一 个 黄 金 分 割 ！ 你 不 能

9、不 佩 服 那 位 马 背军 事 家 的 天 才 妙 悟 ， 被 这 样 的 天 才统 帅 统 领 的 大 军 ， 不 纵 横 四 海 、 所向 披 靡 ， 那 才 怪 呢 黄 金 分 割 与 战 争 一 代 枭 雄 的 的 拿 破 仑 大 帝 可 能 怎 么 也 不 会想 到 ， 他 的 命 运 会 与 0.618紧 紧 地 联 系 在一 起 。 1812拿 破 仑 大 帝年 6月 ， 正 是 莫 斯 科 一 年 中 气 候 最 为 凉 爽宜 人 的 夏 季 ， 在 未 能 消 灭 俄 军 有 生 力 量 的博 罗 金 诺 战 役 后 ， 拿 破 仑 于 此 时 率 领 着 他的 大 军 进

10、 入 了 莫 斯 科 。 这 时 的 他 可 是 踌 躇满 志 、 不 可 一 世 。 他 并 未 意 识 到 ， 天 才 和运 气 此 时 也 正 从 他 身 上 一 点 点 地 消 失 ， 他一 生 事 业 的 顶 峰 和 转 折 点 正 在 同 时 到 来 。后 来 ， 法 军 便 在 大 雪 纷 扬 、 寒 风 呼 啸 中 灰溜 溜 地 撤 离 了 莫 斯 科 。 三 个 月 的 胜 利 进 军加 上 两 个 月 的 盛 极 而 衰 ， 从 时 间 轴 上 看 ，法 兰 西 皇 帝 透 过 熊 熊 烈 焰 俯 瞰 莫 斯 科 城 时， 脚 下 正 好 就 踩 着 黄 金 分 割 线 。

11、 黄 金 分 割 与 自 然鹦 鹉 螺 曲 线 的 每 个 半 径 和 后 一 个 的 比 都 是 黄金 比 例 ， 是 自 然 界 最 美 的 鬼 斧 神 工 。 黄 金 分 割 与 自 然如 果 从 一 棵 嫩 枝 的 顶端 向 下 看 ， 就 会 看 到叶 子 是 按 照 黄 金 分 割的 规 律 排 列 着 的 。 Do you know? 1、 人 的 体 温 37度 ， 室 温 25度 是 人 们感 受 最 舒 适 的 温 度 ， 而 25 37=0.676很 接 近 0.618。 2 理 想 体 重 计 算 很 接 近 身 高 （ 10.618） 。 3 普 通 人 一 天 上

12、班 8小 时 ，8 0.618=4.944， 上 班 第 5个 小 时 是 最需 要 休 息 的 时 候 ， 同 时 也 是 开 始 期 待 下班 的 时 候 。 4 小 学 生 一 节 课 40分 钟 ， 而 注 意 力只 有 40 （ 1 0.618） =15.28分 钟 ， 因此 教 师 必 须 不 断 注 意 学 生 的 学 习 。 黄 金 分 割 左 右 股 市黄 金 线 五 段 买 卖 法 则1.耐 心 持 有 待 突 破 ： 2.高 抛 低 吸 取 黄 金 ： 3.虎 口 拔 牙 要 小 心 ： 4.高 高 在 上 买 不 宜 ： 5.风 光 无 限 在 险 峰 ： 是 什 么

13、呢 ？ 经 研 究 发 现 ， 相 邻 两 个 斐 波 那 契 数 的 比 值是 随 序 号 的 增 加 而 逐 渐 趋 于 黄 金 分 割 比 的 。即 f(n)/f(n-1 )-0 .6 1 8 。 由 于 菲 波 那 契 数 都是 整 数 ， 两 个 整 数 相 除 之 商 是 有 理 数 ， 所以 只 是 逐 渐 逼 近 黄 金 分 割 比 这 个 无 理 数 。但 是 当 我 们 继 续 计 算 出 后 面 更 大 的 菲 波 那契 数 时 ， 就 会 发 现 相 邻 两 数 之 比 确 实 是 非常 接 近 黄 金 分 割 比 的 。 f(n)/f(n-1)-0.618 2 0 1

14、 0 年 1 1 月 9 日 至 2 0 1 1 月 1 月 6 日 的 6 0 分 钟 周 期 图 形 ，涉 及 斐 波 那 契 数 列 和 黄 金 分 割 比 例 斐 波 那 契 数 在 植 物 的 叶 、 枝 、 茎 等 排 列 中发 现 。 & 斐 波 那 契 数 &海 螺 除 了 动 物 繁 殖 外 ， 植 物 的 生 长 也 与 斐波 那 契 数 有 关 。 生 物 学 中 所 谓 的 “ 鲁德 维 格 定 律 ” ， 也 就 是 斐 波 那 契 数 列在 植 物 学 中 的 应 用 。 example 下 图 是 一 个 树 形 图 的 生 长 过 程 ， 依 据 图 中所 示 的 生 长 规 律 ， 第 1 6 行 的 实 心 圆 点 的 个数 是 斐 波 那 契 数 与 植 物 花 瓣 百 合 蝴 蝶 花 金 凤 花 飞 燕 草 雏菊 蓟 向 日 葵 菠萝 松子