高中数学2_5直线与圆锥曲线学案新人教B版选修2-1

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1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.2.5直线与圆锥曲线1 .通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系.(重点)2 .会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题.(重点、难点)基础初探教材整理直线与圆锥曲线的位置关系阅读教材P67P69 “例4”，完成下列问题.1 .直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：没有公共点，有且只有一个公共点及有两个不同的公 共点.(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断.设直线 l的方程为Ax+ By+ C= 0,圆

2、锥曲线方程为f(x, y) =0.Ax+ By+ C= 0, f x, y =0消元,如消去y后得ax2 + bx+c=0.若a=0,当圆锥曲线是双曲线时，直线 l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲 线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合).若 aw0,设 A = b24ac.(i ) A0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；(ii) 三0时，直线和圆锥曲线相切于一点;(iii) A0, 直线与椭圆相交.【答案】 C2 .已知直线y=kxk及抛物线y2=2px(p0),则()A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能

3、没有公共点【解析】由ykx -k得Ay2yk=0,y2=2px,2p因为A = 1+”0,所以直线与抛物线有两个公共点. p【答案】B3.抛物线y2=8x,直线AB的斜率为2,且过抛物线的焦点，则 AB=.【导学号：】【解析】二抛物线y2= 8x的焦点为(2,0),，直线AB的方程为y=2(x 2).y2=8x,2由得 x 6x+4=0.y= 2 x- 2 ,，xi + x2 = 6, xix2= 4.AB= Xi + X2+4 = 10.【答案】10质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑：疑问2： 解惑：疑问3: 解惑：小组合作型直线与圆锥曲线位置关系

4、的判断卜例1 对不同的实数值,人+八x22 j、my讨论直线y = x+m与椭圆+ y = 1的位置关系.【精彩点拨】联立两个方程一一哨去y得到关于x的二次方程一一求6寸论得结论y = x+m【自主解答】联立方程组X224+y =1.2将代入得； + (x+m)2=1,整理得5x2+8m奸4m24=0. = (8m)24X5(4 m2-4) = 16(5 - m2).当A0,即一J5vmK#时，方程有两个不同的实数根，代入可得两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当A = 0,即m=m时，方程有两个相等的实数根，代入得一个公共点坐标，此 时直线与椭圆相切；当AV0,即me 5或mm时，方程

5、无实根，此时直线与椭圆相离.1 .求直线与圆锥曲线的位置关系，或求直线与圆锥曲线的交点个数问题，其基本方法是联立直线方程和圆锥曲线的方程，消元化成一元二次(或一次)方程，通过二次(或一次)方程解的个数来判定.在解答过程中要注意两点：一是二次项系数是否为0,只有二次方程才能用判别式.二是对于变量的取值受到特别限制的情况要数形结合.2 .利用代数方法判断直线与双曲线、抛物线的位置关系时，注意方程组有一解时，直 线与双曲线、抛物线的位置关系，可能是相交或相切.再练一题1.已知抛物线的方程为 y2=2x,直线l的方程为y=kx+1(kC R),当k分别为何值时， 直线l与抛物线：只有一个公共点；有两个

6、公共点；没有公共点？y= kx+1,【解】联立直线l与抛物线方程得方程组丫?？*可得 k2x2+(2 k2)x+1= 0.，,，、一1(1)当k=0时，由方程得x=2, 代入 y= kx + 1 得 y = 1.1这时直线l与抛物线只有一个公共点 2, 1 .(2)当kwO时，方程的判别式为 =4(1 -2k). r1.当A = 0,即k= 2时，方程有一个解，从而直线l与抛物线只有一个公共点.一一1 一，、一 ，一，八当A0,且kw0,即k2且kwo时，万程有两个解，从而直线 l与抛物线有两个公共点.当A1时，方程没有实数解，从而直线l与抛物线没有公共点.八， 一 .,1.综上可得：当k=

7、0或k=2时，直线1与抛物线只有一个公共点;11当k%且kwo时，直线1与抛物线有两个公共点；当k-时，直线1与抛物线没有公共与八、.弦长问题卜例目 已知动点P与平面上两定点 N-e 0), W，2, 0)连线的斜率的积为定值12 .(1)试求动点P的轨迹方程C;(2)设直线1 : y= kx+1与曲线C交于M N两点，当MN= 芈时，求直线1的方程. 3【精彩点拨】 (1)采用什么方法求动点 P的轨迹；(2)求弦长MN寸需要具体求出 M N的坐标吗，如何表示出弦长 MN1【自主解答】(1)设动点P的坐标是(x, y),由题意得，kpA- kpk -y y 1x+V- x 啦 2X22化简整理

8、得2+y2=1.2故P点的轨迹方程 C是+ y2= 1(xw 啦).(2)设直线1与曲线C的交点为M(x1, y1) , N(x2, v2 ,y=kx+1,2 2由必+2, 2 得(1 +2k)x+4kx= 0.x1 + x2 =一 4k1 + 2k2x1 , x2 = 0.MN= 1+ k2 :+x22 4x1 x2 =乎,3整理得 k4+k22=0,解得k2=1或k2= 2(舍). .k=1,经检验符合题意.，直线1的方程是y=x+1,即xy+1 = 0或x + y1 = 0.求弦长的两种方法1 .求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点距离公式求弦长.2 .联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一

9、个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：RP2= ；1 + k ,弋 Xi + X2 *- 4X1X2 =yi + y2 之_ 4yiy2, 其中 xi, X2（ y 1, y2）是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长.再练一题X2 y23 .斜率为2的直线l在双曲线勺一y2=1上截得的弦长为 邓，求l的方程.【解】 设直线l的方程为y=2X+my = 2X+ m由 X2 y2得 10X2+12m奸 3( m2+2) = 0.(*)4 一万=.设直线l与双曲线交于 A(X1, y1) , B(X2, y2)两点， 由根与系数的关系，得 X1 + X2

10、= 6rq X1X2=-3(m2+ 2).5101- A=(X1 X2)2+ (y1 y2)2=5(X1 X2)2一,2一 36 2. 32 = 5(X1+X2) 4X1X2 = 5 25m4x 10 m+2AB=，6, .当m26( m2+2) = 6, 5，m=15, mR y15.2由(*)式得 = 24m-240,把m 士代代入上式，得 0,m的值为土木5, 所求l的方程为y=2XS5.探究共研型中点弦问题探究1直线与椭圆相交，怎样求相交弦的弦长？利用【提示】 处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过直线与椭圆构成的方程, 根与系数的关系解决.探究2怎样处理与弦的中点有关的问题？【提示

11、】在处理与弦的中点有关的问题时，常采用“点差法”，即若椭圆方程为2yj=1,直线与椭圆交于点 A(xi, yi), B(x2, y2),且弦AB的中点为Mx, y),则一得 a 即 kAB= - 2.(y2y2) + b2(x2x2) = 0,yi y2b2 xi + x2b2 x 二=2 = 一7 一.xi x2a yi+y2a y这样就建立了中点坐标与直线斜率之间的关系，从而使问题能得以解决.，例目 过椭圆J+l=i内一点M2,i)引一条弦，使弦被 M点平分，求此弦所在的 i6 4直线方程.【精彩点拨】可以联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解，也可以考虑利用点差法求解.【自

12、主解答】 法一 设所求直线方程为 y-i = k(x-2).代入椭圆方程并整理，得(4 k2+ i)x28(2 k2-k)x+ 4(2 ki)2 i6 = 0.又设直线与椭圆的交点为A(xi, yi) , B(x2, y2),则xi, x2是方程的两个根，8 2k2-k于用 xi + x2=4k+i .又M为AB的中点，4k2+i =2,xi + x2 42k2ki解得k= 2.故所求直线的方程为x + 2y-4=0.法二 设直线与椭圆的交点为A(xi, yi), Rx2, y2).又M(2,i)为AB的中点，.1. xi + x2 = 4, yi + y2= 2.又A, B两点在椭圆上，则

13、xi+4yi= i6, x2 + 4y2= i6.两式相减得(xix2) + 4(y2y2) =0.于是(xi + x2)( xi x2) + 4( yi + y2)( yi y2) = 0.yi y2xi + x2i = = xi x24 yi + y22又直线AB过点M（2,1）,故所求直线的方程为 x + 2y-4=0.本题的这两种解法，是解中点弦问题的常用方法，解中点弦问题关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及根与系数的关系，法一是设出方程，根据中点坐标求出k;法二是设出交点坐标，代入方程，整体作差求直线方程（也叫点差法），是“设而不 求”.再练一题3.顶点在原点，焦

14、点在x轴上的抛物线截直线 y = 2x 4所得弦长AEB= 35,求抛物线的方程.【解】设抛物线 y2 = ax(aw),将 y=2x 4 代入得 4x2(a+16) x+16= 0,设 A(x1,i，、-2 A ,，a+16y1) , Rx2, y2),即 x1, x2 为方程 4x (a+16) x+16= 0 的两个根，则有 x + x2=4, x%a+16 24 T8AB=4 + k21 xi x2| = J5 -a+164216.=4, | x1 x2| = 7xi x22 = 7xi+x22 4x1x2=又= AB= 35,a= 4 或 a= - 36.，所求抛物线的标准方程为y2

15、= 4x或y2= - 36x.构建体系1.已知Fi、F2是椭圆的两个焦点,满足MF-MF= 0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A. (0,1)B.1 ，2C. 0,坐D.【解析】 依题意得，cvb,即c2b2-一cay故离心率e=a，又0c c 20b0).=0时，即k=l时,方程变为2 x 2=0, x=1,此时直线与双曲线渐近线平行，有且只有一个交点. 当 1k2wo 时，由 =4k2+8(1 k2) =0,解得k= V2,此时直线与双曲线相切，有且只有一个公共点.综上所述k=i或q2.【答案】 i或，24.已知抛物线y2 = 4x截直线y=2x+m所得弦长ABB= 35,

16、则m的值为得 4x2+ 4( m- 1) x + n2= 0,2则由根与系数的关系得x1+x2=1 m必先=?,1- ABB= 11 + k2xi+ x22 4xiX2=1 + 221 -m 2-4 - m= V51 -2m .由AB= 3邓,即囚5 1 2m =3邓,解得m= - 4.【答案】45.焦点分别为(0,5啦)和(0, 5啦)的椭圆截直线y = 3x 2所得椭圆的弦的中点的，1，一、横坐标为2,求此椭圆方程.依题意，有 a2b2 = (5#)2 = 50.消去y并整理，得y= 3x 2,(a2+ 9b2) x2 12b2x+4b2-a2b2= 0.因为X1 +X22所以6b2a2

17、+ 9b2所以a2=3b2.由，得 a2=75, b2= 25.经检验，此时 A0.所以椭圆方程为y7+X=1.75 25我还有这些不足：(2)我的课下提升方案：(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1 .直线y=kx 2交抛物线y2=8x于A, B两点，若AB中点的横坐标为2,则k等于(A. 2 或2B. - 1C. 2D. 3y= kx-2, y2=8x,得 k2x24(k+ 2)x+4 = 0,4k+2 ，一 ，,人上、 xi + x2=,2=4, - k= 2(k= 1 舍去).k【答案】C2.已知双曲线 C： x2-y-=1,过点P(1,2)的直线l,使l与C有且

18、只有一个公共点,4则满足上述条件的直线l共有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【解析】因为双曲线的渐近线方程为y=2x,点P在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点为（1,0）,所以过点 P且与双曲线相切的切线只有一条.过点P平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条.【答案】BX2 y223.已知双曲线4 菽=1的右焦点与抛物线 y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到 其渐近线的距离等于（）【导学号：】A. 5B. 4 2C. 3D. 52、x2 y2、【解析】二抛物线y=12x的焦点为（3,0）,故双曲线4-b2= 1的右焦点为（3,0）,即c= 3,故 3

19、2= 4+ b2,.b2=5,.双曲线的渐近线方程为 y= fx.双曲线的右焦点到其渐近线的距离为【答案】A4. （2016 浙江高考）已知椭圆C1： 重合，e1, e2分别为C, C2的离心率，则A. mn 且 ee1C. m15-X 322xx箭+y = 1( n1)与双曲线 G：芦一y =1( n0)的焦点()B. nn 且 ee1D. nn 且 een2n1, n0,nn.rm 1: C的离心率 e = , C2的离心率 e2：m n2- 1n2+ 1的焦点为(土 Vn +1, 0), .,n2+ 1一n ，ee=y m2 1n2 +1mnm1 n + 122mnn2+ 12n2+2n

20、2=n4+ 2n2 + 1n4+ 2n2 .，1=1.5 .已知直线y=k(x+2)( k0)与抛物线2C: y = 8x相父于A,B两点，F为C的焦点.若FA= 2FB,则 k 等于()1 A.一3B.D.23设 A(xi, yi), B(x2易知xi0x20, y10, y20,y= k由 y2=8x,得 k2x2+ (4k2-8)x+4k2=0,xix2= 4.p- pFA= Xi + 2= Xi + 2, FB= x2 + 2= x2+ 2,且 FA= 2FB,，xi = 2x2+2.由得X2=1,B(1,2啦),代入 y=k(x+2),得 k=W23二、填空题6 .若直线X22x y

21、 mi= 0与椭圆+ y = 1有且仅有一个公共点,9m=【导学号：】将直线方程代入椭圆方程，消去x,得到10y2+2m什m2- 9=0,令 A = 0,解得 mi= 10.士 10x2 27.已知F1为椭圆C： -+y =1的左焦点，直线l： y = x1与椭圆C交于A, B两点,那么| FiA| 十 | F旧的值为【解析】 设点A(xi,y1),E(x2,y2)(x1X2),x2 + 2y2=2,2由消去y,得3x4x=0.y=x-i,A(0, - 1) , B” . 3 3，|AB=，4 ,2 8 ,2 | FiA| +| F1B| =4a-|AB =44-于=等【答案】8.在直角坐标系

22、xOy中，直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于 A, B 两点，其中点 A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60。，则4 OAF勺面积为.【解析】 直线l的方程为y=V3(x-1),即x=W3y+1,代入抛物线方程得 y2岁4 376-3-FA /+ 161y 4=0,解得 yA= 2y3(yB0,舍去)，故 OAFB勺面积为 2X1X2。3 = f3.【答案】3三、解答题9 .如图2-5-1所示，直线l : y=x+ b与抛物线C： x2 = 4y相切于点 A图 2-5-1(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线 C的准线相切的圆的方程.y=x + b,2【解】(1)

23、由 x2_4y得 x2 4x4b=0.(*)因为直线l与抛物线C相切，所以 = ( 4)2 4X( 4b) =0,解得 b=- 1.(2)由(1)可知 b= 1,故方程(*)即为x2 4x+4=0,解得x=2.将其代入x2=4y,得y=1.故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=- 1的距离，即r = |1 ( 1)| =2,所以圆A的方程为(x 2)2+(y1)2=4.10 .已知椭圆4x2 + y2=1及直线y = x+m(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.4x + y = 1,【解

24、】(1)由题意得消去y,整理得y = x+ m5x2+ 2m刈 m2- 1 = 0.直线与椭圆有公共点， =4n2- 20( m21) =20163 0,155-2& 亦2.(2)设直线与椭圆的交点为A(xi, yi),日X2, yz),2mXi + X2 = 5则由得2m- 1XiX2 =-.5，|AB=、1+k2 |X1-X2|=:1 + k2 : X1 + X2 2 4X1X21- 0 n2/a2b2=0 ,设直线与椭圆交于 5t b0)的左焦点为F,离心率为 半，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4,3甘(1)求椭圆的方程；(2)设A, B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率

25、为k的直线与椭圆交于 C, D两点.若Ab DbAdd- Cb= 8,求 k 的值.【解】(1)设 F( c, 0),由：=3，知 a=-y3c.过点F且与x轴垂直的直线为x= c,22代入椭圆方程有1c 4=1,6b 工曰 2 6b 4 .3解得y= 土与一，于是-=-3-,解得b=&又 a2c2=b2,从而 a= 43, c=1,所以椭圆的方程为x-+y-=1. 3(2)设点 Qx1, y1) , 口x2, y2),由F( 1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1),y= k x+1由方程组消去y,22x y4+2=1，整理得(2 + 3k2) x2+ 6k2x+ 3k2 6= 0.可得Xl + X2 =6k23k2-62+3k2 X1X2= 2+3k.因为 NB 0) , Wg 0),所以 Ab DB At)- cb=(x1 + 淄,y1),(小X2,y2)+(X2+ 3,y2), (x1,-y1)2 ,=6 2x1X2 2yiy2= 6 2x1X2 2k (Xi + 1)( X2+ 1)= 6-(2 + 2k2) X1X2 2k2( X1 + X2) 2k2 .2 2k + 12=6+ 2+3k2.一 2 一2k +12l由已知得6+7=8,解得k= J22十3k