三重积分的变量代换

《三重积分的变量代换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三重积分的变量代换（33页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 三 重 积 分 的 变 量 代 换 柱 面 坐 标 代 换 球 面 坐 标 代 换三 重 积 分 的 对 称 性 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 .),(),(),(),( :)3( ;0),( ),(),()2( ),(),(),()1( ),(),(),(: ),( 3 dwdudvJwvuzwvuywvuxfdxdydzzyxf T wvu zyxwvuJ wvuzwvuywvux xyz uvwwvuzzwvuyywvuxxT Rzyxf 是 一 对 一 的 ， 则 有变 换 上 雅 可 比 式在 ；上 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数

2、在， 且 满 足空 间 中 的变 为闭 区 域 空 间 中 的将上 连 续 ， 变 换中 的 有 界 闭 区 域在设定 理 一 、 三 重 积 分 的 换 元 法 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 例 1. 求 由 下 面 方 程 表 示 的 曲 面 所 围 立 体 的 体 积 :其 中 ,)()()( 2233322222111 hzcybxazcybxazcybxa .0: 333 222 111 cba cba cba解 : 令 , 333222111 zcybxawzcybxavzcybxau 则 ),( ),( wvu zyxJ .01 2222|1 hwvu dudvdwV

3、.|34 3h 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束ox yz 1. 利 用 柱 坐 标 计 算 三 重 积 分 ,R),( 3zyxM设 , 代 替用 极 坐 标将 ryx ), zr （则就 称 为 点 M 的 柱 坐 标 . zr 200sinry zz cosrx 直 角 坐 标 与 柱 面 坐 标 的 关 系 :常 数r坐 标 面 分 别 为 圆 柱 面常 数 半 平 面常 数z 平 面 z ),( zyxM r )0,( yx 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 zrrv dddd 因 此 zyxzyxf ddd),( .ddd),sin,cos( zrrzrrf 适 用 范

4、 围 :1) 积 分 域 是 圆 柱 或 它 在 某 坐 标 面 上 的 投 影 为 圆 (或 一 部 分 ) ;2) 被 积 函 数 中 含 有 x2+y2(相 应 地 , y2+z2, x2+z2)形 式 . ,100 0cossin 0sincos, rr rzrJ 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 其 中 为 由例 2. 计 算 三 重 积 分 zyxyxz ddd22 xyx 222 0),0(,0 yaazz 所 围解 : 在 柱 面 坐 标 系 下 : cos20 2 drr dcos34 20 32 a cos20 r 20 az0 及 平 面 2 ax yzo zrrv

5、 dddd 20 d a zz0 dzrrz ddd2 原 式 398a 柱 面 cos2r成 半 圆 柱 体 . 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 ox y z例 3. 计 算 三 重 积 分解 : 在 柱 面 坐 标 系 下 h: h r z42 d h rdrhrr20 22 )4(12 4)41ln()41(4 hhh hz hr 20 20 h rrr20 2 d1 20 d ,1 ddd 22 yx zyxzyx 422 )0( hhz 所 围 成 .与 平 面 其 中 由 抛 物 面42r原 式 = zrrv dddd 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 2. 利 用

6、球 坐 标 计 算 三 重 积 分 ,R),( 3zyxM设 ),( z其 柱 坐 标 为就 称 为 点 M 的 球 坐 标 .直 角 坐 标 与 球 面 坐 标 的 关 系,ZOM Mox yzz r),( r则 0 200 rcossinrx sinsinry cosrz坐 标 面 分 别 为常 数r 球 面常 数 半 平 面常 数 锥 面 ,rOM 令),( rM sinr cosrz 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 dddsind 2 rrv 因 此 有 zyxzyxf ddd),( .dddsin)cos,sinsin,cossin( 2 rrrrrf适 用 范 围 :1)

7、积 分 域 表 面 是 球 面 或 顶 点 在 原 点 的 圆 锥 面 ;2) 被 积 函 数 含 x2+y2+z2 一 类 式 子 . . 0sincos cossinsincossinsin sinsinsincoscossin, r rr rrrJ ,sin2 r 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 例 4. 计 算 三 重 积 分 ,)( 222 zdydxdzyx22 yxz 为 锥 面 2222 Rzyx 解 : 在 球 面 坐 标 系 下: zyxzyx ddd)( 222 所 围 立 体 .40 Rr0 20 其 中 与 球 面 dddsind 2 rrvR rr0 4d)

8、22(51 5 R 40 dsin 20 d x yz o4 Rr 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 3. 广 义 球 坐 标 变 换 直 角 坐 标 与 广 义 球 坐 标 的 关 系 0 200 rcossinrax sinsinrby cosrcz ,rJ sin 2rabc例 13.3.9. 椭 球 的 体 积 .34sin 10 2020 abcdrrddabcV 1222222 czbyax 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 内 容 小 结 zyx ddd zrr ddd dddsin2 rr 积 分 区 域 多 由 坐 标 面被 积 函 数 形 式 简 洁 , 或坐

9、标 系 体 积 元 素 适 用 情 况直 角 坐 标 系柱 面 坐 标 系球 面 坐 标 系* 说 明 :三 重 积 分 也 有 类 似 二 重 积 分 的 换 元 积 分 公 式 :),( ),( wvu zyxJ 对 应 雅 可 比 行 列 式 为 * ddd),(ddd),( wvuJwvuFzyxzyxf 变 量 可 分 离 .围 成 ; 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 二 、 利 用 对 称 性 化 简 三 重 积 分 计 算使 用 对 称 性 时 应 注 意 ： .积 分 区 域 关 于 坐 标 面 的 对 称 性 ； .被 积 函 数 在 积 分 区 域 上 的 关 于

10、三 个 坐 标 轴 的 奇 偶 性 .,0),( 相 应 地 ） 面 对 称或（ 或则 曲 面 所 围 立 体 关 于 ） 以 偶 次 方 形 式 出 现 ，或（ 或中若 曲 面 xyxzyz zyxzyxF 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 例 利 用 对 称 性 简 化 计 算 dxdydzzyx zyxz 1 )1ln( 222 222 其 中 积 分 区 域 1|),( 222 zyxzyx .解 积 分 域 关 于 三 个 坐 标 面 都 对 称 ，被 积 函 数 是 的 奇 函 数 ,z .01 )1ln( 222 222 dxdydzzyx zyxz 首 页 上 页 返 回

11、 下 页 结 束解 2)( zyx )(2222 zxyzxyzyx 其 中 yzxy 是 关 于 y的 奇 函 数 , 且 关 于 zox面 对 称 , 0)( dvyzxy , 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 同 理 zx是 关 于 x的 奇 函 数 , 且 关 于 yoz面 对 称 , ,0 xzdv 由 对 称 性 知 dvydvx 22 , 则 dxdydzzyxI 2)( ,)2( 22 dxdydzzx 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 在 柱 面 坐 标 下 ：,20 ,10 r ,2 22 rzr ,122 yx 投 影 区 域 xyD ： 222 22220

12、10 )cos2(rr dzzrrdrdI ).89290(60 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 例 7.求 曲 面 )0()( 32222 azazyx 所 围 立 体 体 积 .解 : 由 曲 面 方 程 可 知 , 立 体 位 于 xoy面 上 部 ,cos0: 3 ar利 用 对 称 性 , 所 求 立 体 体 积 为 vV d rra d3 cos0 2 dcossin32 203 a 331 a 3 cosar ,20 20 20 dsin 20 d4 yoz面 对 称 , 并 与 xoy面 相 切 , 故 在 球 坐 标 系 下 所 围 立 体 为且 关 于 xoz dd

13、dsind 2 rrv yzxa r 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 轮 换 对 称 性 ：若 积 分 区 域 的 表 达 式 中 将 x, y, z 依 次 轮 换 ,表 达 式不 变 ,则 称 关 于 x, y, z 轮 换 对 称 . 此 时 有 dvzyxf ),( dvxzyf ),( .),( dvyxzf例 8. 设 是 由 平 面 x+y+z=1和 三 个 坐 标 面 所 围 成 的 区 域 , 求 .)( dvzyxI解 : 由 轮 换 对 称 性 , xdvI 3 yxx dzdyxdx 1010103 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 说 明 ： 二 重 积

14、 分 也 有 轮 换 对 称 性 .若 积 分 区 域 D 的 表 达 式 中 将 x, y 依 次 轮 换 ,表 达 式 不变 ,则 称 D 关 于 x, y 轮 换 对 称 . 此 时 有.),(),( DD dxyfdyxf 例 9. 设 .)()( )( ,0 2abdxdyyf xf babaDfD 则连 续 函 数证 : 由 轮 换 对 称 性 , D dxdyyf xf )( )( D dxdyxf yfyf xf )( )()( )(21 .)( 2abdxdyD 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 2, zxz1. 将 .)(),( Czyxf 用 三 次 积 分 表 示

15、 ,2,0 xx ,42,1 yxy vzyxfI d),( 其 中 由所提 示 : 20 x xy 2121 2zxI 2 d),(x zzyxf x y2121 d20 dx综 合 例 子六 个 平 面围 成 , : 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 zox y22. 设 由 锥 面 22 yxz 和 球 面 4222 zyx所 围 成 , 计 算 .d)( 2 vzyxI 提 示 : 4利 用 对 称 性 vzyx d)( 222 vzxzyyxzyxI d)222( 222 用 球 坐 标 rr d420 dsin40 20 d 221564 首 页 上 页 返 回 下 页 结

16、束 3. 计 算 ,ddd1 2 zyxxyI 所 围 成 . 其 中 由1,1,1 2222 yzxzxy分 析 ： 若 用 “ 先 二 后 一 ” , 则 有 zxxyyI yD dd1d 201 zxxyy yD dd1d 210 计 算 较 繁 ! 采 用 “ 先 一 后 二 ” 较 好 . 1 zx y1 o 1 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 : 4528 11 22 yzx 22 11 xzx 11 x 1 zx y1 o 1xxI d1 211 zxx d2211 yyzx d11 22 1,1,1 222 yzxzxy由 所 围 , 故 可 表 为 解 : 首 页 上

17、 页 返 回 下 页 结 束 4. 计 算 ,ddd)sin5( 2222 zyxyxxyxI 其 中.4,1),(21 22 围 成由 zzyxz解 : zyxxI ddd2利 用 对 称 性 zyxyx ddd)(21 22 yxyxz zD dd)(d21 2241 z rrz 20 32041 ddd21 21 4 zx o y1 zD zyxyxyx dddsin5 222 0 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 思 考 题 则上 的 连 续 函 数 为面 对 称 的 有 界 闭 区 域 ，中 关 于为若 , ),(3 zyxfxyR ;0),(,_),( dvzyxfzyxf

18、为 奇 函 数 时关 于当 1 ),(_),( ,_),( dvzyxfdvzyxf zyxf 为 偶 函 数 时关 于当 .1 面 上 方 的 部 分在为其 中 xy zz 2 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 一 、 填 空 题 : 1、 若 由 曲 面 和)(3 222 yxz 16222 zyx 所 围 ,则 三 重 积 分 dvzyxf ),( 表 示 成 直 角 坐 标 下 的 三 次 积 分 是 _;在 柱 面 坐 标 下 的 三 次 积 分 是 _;在 球 面 坐 标 下 的 三 次 积 分 是 _. 2、 若 由 曲 面 及222 yxz 22 yxz 所 围 , 将

19、zdv表 为 柱 面 坐 标 下 的 三 次 积 分 _, 其 值 为 _. 练 习 题 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 3、 若 空 间 区 域 为 二 曲 面 azyx 22 及 222 yxaz 所 围 ,则 其 体 积 可 表 为 三 重 积 分 _;或 二 重 积 分 _;或 柱 面 坐 标 下 的 三 次 积 分 _. 4、 若 由 不 等 式 2222 )( aazyx , 222 zyx 所 确 定 ,将 zdv表 为 球 面 坐 标 下 的 三 次 积 分 为 _； 其 值 为 _.二 、 计 算 下 列 三 重 积 分 : 1、 dvyx )( 22 ,其 中 是

20、由 曲 面 24z )(25 22 yx 及 平 面 5z 所 围 成 的 闭 区 域 . 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 2、 dvyx )( 22 ,其 中 由 不 等 式 0,0 222 zAzyxa 所 确 定 . 3、 dxdydzczbyax )( 222222 , 其 中 1),( 222222 czbyaxzyx . 三 、 求 曲 面 225 yxz 及 zyx 422 所 围 成 的 立体 的 体 积 . 四 、 曲 面 222 4aazyx 将 球 体 azzyx 4222 分成 两 部 分 ,试 求 两 部 分 的 体 积 之 比 . 五 、 求 由 曲 面 ,

21、0,22 xayxyxz 0,0 zy 所 围 成 立 体 的 重 心 (设 密 度 1 ). 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 六 、 求 半 径 为 a ,高 为 h的 均 匀 圆 柱 体 对 于 过 中 心 而 垂 直 于 母 线 的 轴 的 转 动 惯 量 (设 密 度 )1 . 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 一 、 1、 22 2222 16 )(34422 ),(yx yxxx dzzyxfdydx )(3164422 22 2222 ),(yx yxxx dzzyxfdydx , 21632020 ),sin,cos(rr dzzrrfrdrd r r dzzrr

22、frdrd 3162020 2 ),sin,cos( , 406020 ,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin 2 406520 ,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin 2 ； 练 习 题 答 案 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 2、 2221020 rr zdzrdrd ,127； 3、 dv, D dxdya yxyxa )2( 2222 , raara dzrdrd 2020 2 ； 4、 4cos20 34020 67,cossin adrrdd a . 二 、 1、 8 ； 2、 )(154 55 aA ； 3、 abc54 . 三 、 )455(32 . 首 页 上 页 返 回 下 页 结 束 四 、 27376276 37 3321 aaVV . 五 、 )307,52,52( 2aaa . 六 、 )3(4 22 haM (其 中 haM 2 为 圆 柱 体 的 质 量 ).