梁弯曲变形的计算

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1、材 料 力 学 第 7章 弯 曲 变 形 的 计 算 材 料 力 学 7-1 概 述 7-2 挠 曲 线 的 近 似 微 分 方 程 7-3 用 积 分 法 求 弯 曲 变 形 7-4 用 叠 加 法 求 弯 曲 变 形 7-6 梁 的 刚 度 条 件 及 提 高 梁 刚 度 的 措 施 7-5 简 单 超 静 定 梁本 章 主 要 内 容 材 料 力 学 7-1 概 述 材 料 力 学 材 料 力 学 材 料 力 学 7-2 挠 曲 线 的 近 似 微 分 方 程1.基 本 概 念 挠 曲 线 方 程 ：)(xww由 于 小 变 形 ， 截 面 形 心 在 x方 向 的 位 移 忽 略 不

2、计挠 度 转 角 关 系 为 ： dxdw tan挠 曲 线y xx w挠 度 转 角 挠 度 w： 截 面 形 心在 y方 向 的 位 移w 向 上 为 正转 角 ： 截 面 绕 中 性 轴 转 过 的 角 度 。 逆 钟 向 为 正 材 料 力 学 2.挠 曲 线 的 近 似 微 分 方 程推 导 弯 曲 正 应 力 时 ， 得 到 ：zEIM 1 忽 略 剪 力 对 变 形 的 影 响 zEIxMx )()(1 材 料 力 学 由 数 学 知 识 可 知 ： 3222 )(11 dxdydxyd略 去 高 阶 小 量 ， 得 221 dxyd所 以 zEIxMdxyd )(22 2 M(

3、x) 0 M(x) 0O d ydx2 0 xy M(x) 0O dxd y 022y xM(x) b。解 1） 由 梁 整 体 平 衡 分 析 得 ： lFaFlFbFF ByAyAx ,02） 弯 矩 方 程 axxlFbxFxM Ay 1111 0,AC 段 ： lxaaxFxlFbaxFxFxM Ay 222222 ),()(CB 段 ： maxwa b1x 2xA CD F xAyF ByFA B y B 材 料 力 学 3） 列 挠 曲 线 近 似 微 分 方 程 并 积 分1121 12 )( xlFbxMdxwdEI 12111 12)( CxlFbxEIdxdwEI 1113

4、1 16 DxCxlFbEIw AC 段 ： ax 10 )()( 2222222 axFxlFbxMdxwdEI 2222222 )(22)( 2 CaxFxlFbxEIdxdwEI 2223232 )(66 2 DxCaxFxlFbEIw CB 段 ： lxa 2 maxwa b1x 2xA CD F xAyF ByFA By B 材 料 力 学 4） 由 边 界 条 件 确 定 积 分 常 数0)(, 22 lwlx 0)0(,0 11 wx代 入 求 解 ， 得位 移 边 界 条 件光 滑 连 续 条 件 )()(, 2121 aaaxx )()(, 2121 awawaxx lFbF

5、blCC 661 321 021 DD maxwa b1x 2xA CD F xAyF ByFA By B 材 料 力 学 5） 确 定 转 角 方 程 和 挠 度 方 程)(62 2221 1 bllFbxlFbEI 12231 )(66 1 xbllFbxlFbEIw AC 段 ： ax 10 )(6)(22 2222222 bllFbaxFxlFbEI 22232322 )(6)(66 xbllFbaxFxlFbEIw CB 段 ： lxa 2 maxwa b1x 2xA CD F xAyF ByFA By B 材 料 力 学 6） 确 定 最 大 转 角 和 最 大 挠 度令 得 ，0

6、dxd )(6, max alEIlFablx B 令 得 ，0dxdw )(39 )(,3 322max22 EIlblFbwblx maxwa b1x 2xA CD F xAyF ByFA By B 材 料 力 学 7-4 用 叠 加 法 求 弯 曲 变 形)(22 xMEIwdxwdEI 设 梁 上 有 n 个 载 荷 同 时 作 用 ， 任 意 截 面 上 的 弯 矩为 M(x)， 转 角 为 ， 挠 度 为 w， 则 有 ： )(xMEIw ii 若 梁 上 只 有 第 i个 载 荷 单 独 作 用 ， 截 面 上 弯 矩为 ， 转 角 为 ， 挠 度 为 ， 则 有 ：i iw)(

7、xMi由 弯 矩 的 叠 加 原 理 知 ： )()(1 xMxMni i 所 以 ， )()( 11 xMwEIwEI ni ini i 材 料 力 学 故 )( 1 ni iww由 于 梁 的 边 界 条 件 不 变 ， 因 此 ,1 ni i ni iww 1重 要 结 论 ： 梁 在 若 干 个 载 荷 共 同 作 用 时 的 挠 度 或 转 角 ， 等于 在 各 个 载 荷 单 独 作 用 时 的 挠 度 或 转 角 的 代 数 和 。这 就 是 计 算 弯 曲 变 形 的 叠 加 原 理 。 材 料 力 学 例 3 已 知 简 支 梁 受 力 如 图 示 ，q、 l、 EI均 为

8、已 知 。 求 C 截 面的 挠 度 wC ； B截 面 的 转 角 B1） 将 梁 上 的 载 荷 分 解 321 CCCC wwww 321 BBBB wC1w C2wC3 2） 查 表 得 3种 情 形 下 C截 面 的挠 度 和 B截 面 的 转 角 。 EIqlB 24 31 EIqlB 16 31 EIqlB 3 33 EIqlwC 3845 41 EIqlwC 48 42 EIqlwC 16 43 解 材 料 力 学 wC1wC2wC3 3） 应 用 叠 加 法 ， 将 简 单 载 荷作 用 时 的 结 果 求 和 )(38411 164838454 44431 EIql EIq

9、lEIqlEIqlww i CiC )(4811 316243 33331 EIql EIqlEIqlEIqli BiB 材 料 力 学 例 4 已 知 ： 悬 臂 梁 受 力 如 图示 ， q、 l、 EI均 为 已 知 。 求 C截 面 的 挠 度 wC和 转 角 C1） 首 先 ， 将 梁 上 的 载 荷 变 成有 表 可 查 的 情 形 为 了 利 用 梁 全 长 承 受 均布 载 荷 的 已 知 结 果 ， 先 将 均布 载 荷 延 长 至 梁 的 全 长 ， 为了 不 改 变 原 来 载 荷 作 用 的 效果 ， 在 AB 段 还 需 再 加 上 集度 相 同 、 方 向 相 反

10、的 均 布 载荷 。 Cw 材 料 力 学 Cw 2Cw1Cw2Bw ,8 41 EIqlwC ,248128 234 222 lEIqlEIql lww BBC EIqlC 6 31 EIqlC 48 32 EIqlww i CiC 38441 421 3） 将 结 果 叠 加 EIqli CiC 487 321 2） 再 将 处 理 后 的 梁 分 解 为 简 单载 荷 作 用 的 情 形 ， 计 算 各 自 C截面 的 挠 度 和 转 角 。 材 料 力 学 7-5 简 单 超 静 定 梁1.基 本 概 念 ：超 静 定 梁 ： 支 反 力 数 目 大 于 有 效 平 衡 方 程 数 目

11、 的 梁 。多 余 约 束 ： 从 维 持 平 衡 角 度 而 言 ,多 余 的 约 束 。超 静 定 次 数 ： 多 余 约 束 或 多 余 支 反 力 的 数 目 。2.求 解 方 法 ：解 除 多 余 约 束 ， 建 立 相 当 系 统 比 较 变 形 ， 列 变形 协 调 条 件 由 物 理 关 系 建 立 补 充 方 程 利 用静 力 平 衡 条 件 求 其 他 约 束 反 力 。相 当 系 统 ： 用 多 余 约 束 力 代 替 多 余 约 束 的 静 定 系 统 。 材 料 力 学 材 料 力 学ZBB EIlFy 3 31 021 BBB yyy ZB EIFly 485 32

12、 165FF B 例 5： 试 分 析 细 长 轴 车 削 过 程 中 顶 尖 的 作 用 ， 已 知 ： 工 件 的 抗 弯 刚 度为 EIZ， 切 削 力 为 F， 且 作 用 在 零 件 的 中 间 位 置 ， 零 件 长 度 为 l。l/2 l/2 + 解 ： 分 析 ： 此 题 属 于 1次 超 静 定 问 题 。用 变 形 比 较 法 列 出 变 形 比 较 条 件其 中 ，解 得 ：FBB(a)A CFC(b) BA F FBFAMA A BC 材 料 力 学 ZC EIFly 76825 31 ZC EIFly 24 32 ZCCC EIFlyyy 7687 312 l/2 l

13、/2F FBFAMA + 用 叠 加 法 解 得 C处 的 挠 度 为 ：FC (b) BA FB B(a)A C 其 中 ，BA 材 料 力 学3272 CCyy l/2 l/2F FBFAMA + FC(b) BA FBB(a)A C 如 果 没 用 顶 尖 的 作 用 ， 在 刀尖 作 用 点 处 挠 度 为 ：求 得 有 无 顶 尖 作 用 时 ， 在 刀尖 处 变 形 比 为 ：结 论 ： 可 见 用 顶 尖 可 有 效 地减 小 工 件 的 变 形 ， 因 而 ， 在细 长 轴 加 工 中 要 设 置 顶 尖 ，甚 至 使 用 跟 刀 架 。BA ZC EIFly 24 32 材

14、料 力 学 2a (d)(c)(b)(a) aMM BB F CA AFAy A CF CBA FBy F CBAA 解 例 6 求 梁 的 支 反 力 ， 梁 的 抗 弯 刚 度 为 EI。 2a (d)(c)(b)(a) aMM BB F CA AFAy A CF CBA FBy F CBAA 1） 判 定 超 静 定 次 数2） 解 除 多 余 约 束 ， 建 立 相 当 系 统( ) FBy 0)()( ByFBFBB yyy3） 进 行 变 形 比 较 ， 列 出 变 形 协 调 条 件 材 料 力 学 4） 由 物 理 关 系 ， 列 出 补 充 方 程 EIFaaaEIaFy F

15、B 314)29(6 )2()( 32 EIaFy ByFB By 38)( 3 038314 33 EIaFEIFa By所 以 FFBy 475） 由 整 体 平 衡 条 件 求 其 他 约 束 反 力 )(43),(2 FFFaM AyA 2a (d)(c)(b)(a) aMM BB F CA AFAy A CF CBA FBy F CBAA 2a (d)(c)(b)(a) aMM BB F CA AFAy A CF CBA FBy F CBAA (d)A B CFByA BAM AyF 材 料 力 学 例7 梁 AB 和 BC 在 B 处 铰 接 ， A、 C 两 端 固 定 ， 梁

16、的 抗 弯 刚 度 均 为 EI，F = 40kN， q = 20kN/m。 画 梁 的 剪 力 图 和 弯 矩 图 。 从 B 处 拆 开 ， 使 超 静 定 结 构 变 成 两 个悬 臂 梁 。变 形 协 调 方 程 为 ： 21 BB yy B BF F FByB1 FByB2 物 理 关 系 EIFEIqy BB 3 48 4 341 EIFEIFy BB 3 42436 2 322 解 材 料 力 学FB FB yB1yB2 kN75.848 42046 104023 342 BF代 入 得 补 充 方 程 ： EIFEIFEIFEIq BB 3 42436 23 48 4 3234

17、 确 定 A 端 约 束 力 ： 04,0 qFFF BAy kN25.7175.82044 BA FqF 0424,0 BAA FqMM mkN12575.842204 424 BA FqM 材 料 力 学FB FB yB1yB2 0,0 FFFF CBy确 定 C 端 约 束 力 kN75.48 75.840 BC FFF 042,0 BCC FFMM kN.m11540275.84 24 FFM BC 材 料 力 学 A、 C 端 约 束 力 已 求 出最 后 作 梁 的 剪 力 图 和 弯 矩 图)( )(25.71 75.8 75.48 kN SF )(kN25.71AF )kN(7

18、5.48CF )(mkN125 AM )m(kN115 CM)(125 11594.1 5.17)mkN( M )( 材 料 力 学 例 8： 结 构 如 图 所 示 ， 设 梁 AB和 CD的 弯 曲 刚 度 EIz相 同 ， 拉 杆 BC的 拉 压 刚 度EA为 已 知 ， 求 拉 杆 BC的 轴 力 。 解 ： 将 杆 BC移 除 ， 则 AB,CD均 为 静定 结 构 ， 杆 BC的 未 知 轴 力 FN作 用 在AB、 CD梁 上 ， 如 图 （ b） 、 （ c） 所示 。 为 1次 超 静 定 。 ZNZB EIaFEIaq 3 282 34 对 于 AB梁 ：对 于 CD梁 ：

19、 ZNC EIaF3 3BC杆 的 伸 长 ： EAaFL NBC 材 料 力 学 补 充 方 程 ： BCCB L EAaFEIaFEIaFEIaq NZNZNZ 33 282 334 ZN IAa AqaF 2 33 2 材 料 力 学 7-6 梁 的 刚 度 条 件 及 提 高 梁 刚 度 的 措 施 材 料 力 学 1.刚 度 条 件 , maxmax ww建 筑 钢 梁 的 许 可 挠 度 ： 1000250 ll机 械 传 动 轴 的 许 可 转 角 ： 30001精 密 机 床 的 许 可 转 角 ： 50001 材 料 力 学 根 据 要 求 ， 圆 轴 必 须 具 有 足 够

20、 的 刚 度 ， 以 保 证 轴 承 B 处 转 角 不 超 过 许 用 数 值 。 B1） 由 挠 度 表 中 查 得 承 受 集 中 载 荷 的 外 伸 梁 B 处 的 转 角 为 ： EIFla B 3解 例 8 已 知 钢 制 圆 轴 左 端 受 力 为 F 20 kN， a l m， l 2 m，E=206 GPa。 轴 承 B处 的 许 可 转角 =0.5 。 根 据 刚 度 要 求确 定 轴 的 直 径 d。 材 料 力 学 例 7 已 知 钢 制 圆 轴 左 端 受 力 为 F 20 kN， a l m， l 2 m，E=206 GPa。 轴 承 B处 的 许 可 转角 =0.

21、5 。 根 据 刚 度 要 求确 定 轴 的 直 径 d。B2） 由 刚 度 条 件 确 定 轴 的 直 径 ： B 111mmm10111 5.0102063 180121020643 18064 3 4 2934 EFlad 1803EIFla EFlaI 3 180 EFlad 3 180644 材 料 力 学 2.提 高 梁 刚 度 的 措 施1） 选 择 合 理 的 截 面 形 状 材 料 力 学 2） 改 善 结 构 形 式 ， 减 少 弯 矩 数 值改变支座形式 材 料 力 学 2） 改 善 结 构 形 式 ， 减 少 弯 矩 数 值改变载荷类型 %5.62 12 CCww 材 料 力 学 3） 采 用 超 静 定 结 构 材 料 力 学 1、 明 确 挠 曲 线 、 挠 度 和 转 角 的 概 念2、 掌 握 计 算 梁 变 形 的 积 分 法 和 叠 加 法3、 学 会 用 变 形 比 较 法 解 简 单 超 静 定 问 题本 章 小 结一、知识点二、重点内容1、 掌 握 计 算 梁 变 形 的 积 分 法 和 叠 加 法2、 学 会 用 变 形 比 较 法 解 简 单 超 静 定 问 题