向量空间的定义、例子和子空间

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1、教 学 目 的 与 要 求 ： 理 解 向 量 空 间 的 定 义 掌 握 向 量 空 间 的 性 质第 六 章 向 量 空 间 6.1定 义 和 例 子 重 点 ： 向 量 空 间 的 定 义 与 性 质难 点 ： 向 量 空 间 的 定 义关 键 ： 向 量 空 间 定 义 中 的 两 种 运 算讲 授 方 式 ： 讲 授 一 定 义 和 例 子1.定 义 令 是 一 个 数 域 . 中 的 元 素 用 小 写 拉 丁字 母 来 表 示 .令 是 一 个 非 空 集 合 . 中 元素 用 小 写 黑 体 希 腊 字 母 来 表 示 .我 们 把 中的 元 素 叫 做 向 量 而 把 中 的

2、 元 素 叫 做 标 量 .如 果 下 列条 件 被 满 足 ,就 称 是 上 一 个 向 量 空 间 ：, cba , F FFF V VVV 有 一 个 标 量 与 向 量 的 乘 法 .对 于 中 每 一 个 数和 中 每 一 个 向 量 ,有 中 唯 一 确 定 的 向 量与 它 们 对 应 ,这 个 向 量 叫 做 与 的 积 ,并 且记 作 . 2 F a a aV V 在 中 定 义 了 一 个 加 法 。 对 于 中 任 意 两 个 向 量 有 中 一 个 唯 一 确 定 的 向 量 与 它 们 对 应 ,这 个 向 量 叫 做 与 的 和 ,并 且 记 作 .1 , VVV

3、向 量 的 加 法 和 标 量 与 向 量 的 乘 法 满 足 下 列 算 律 ：3 1 ) 2 ) ( ) 3)在 中 存 在 一 个 零 向 量 ,记 做 0,它 具 有 以 下 性 质 ：对 于 中 每 一 个 向 量 ,都 有 V 0 V 4) 对 于 中 每 一 个 向 量 ,在 中 存 在 一 个 向量 ,使 得 .这 样 的 叫 做 的 的 负向 量 . V V 0 5) ( )a a b 7)( ) ( )ab a b baba )(6 8) 1 这 里 是 中 任 意 向 量 ,而 是 F 中 任 意 数 ., , V ,a b注 ： 向 量 空 间 的 定 义 中 的 两

4、种 运 算 必 须 满 足 规 定的 条 件 1 8即2.举 例 ： 特 别 ,F上 一 切 矩 阵 所 成 的 集 合 和 一 切 矩 阵 所成 的 集 合 分 别 作 成 F上 向 量 空 间 .前 者 成 为 F上 n元 行 空间 ， 后 者 称 为 F上 n元 列 空 间 .我 们 用 同 一 个 符 号 来 表示 这 两 个 向 量 空 间 . 1 n 1n nF例 2 数 域 上 一 切 矩 阵 所 成 的 集 合 对 于 矩 阵 的加 法 和 矩 阵 的 乘 法 来 说 作 成 F上 一 个 向 量 空 间 .m nF 例 3 复 数 域 C可 以 看 成 实 数 域 R上 的

5、向 量 空 间 .事 实 上 ， 两 个 复 数 的 和 还 是 一 个 复 数 ； 一 个 实 数 与一 个 复 数 的 乘 积 还 是 一 个 复 数 .条 件 显 然 都被 满 足 . 3 1 8， ） ）例 4 任 意 数 域 C总 可 以 看 成 它 自 身 上 的 向 量 空 间 . 例 5 数 域 F上 一 元 多 项 式 环 对 于 多 项 式 的 加 法和 数 与 多 项 式 的 乘 法 来 说 作 成 上 一 个 向 量 空 间 . F x例 6（ 补 充 ） （ 此 例 的 目 的 是 进 一 步 帮 助 学 生 理 解 向 量空 间 的 加 法 与 数 乘 运 算 ）

6、.令 是 实 数 域 ， V是 全 体 正 实数 作 成 的 集 合 ， 在 V中 定 义 加 法 为 ： （ 实 际 为数 的 普 通 乘 法 ） ， 再 规 定 数 乘 为 ， 则 V作 成 K上 的 一 个 线 性 空 间 . K ( , )kk k K V 证 明 ： 首 先 要 说 明 这 两 种 运 算 的 封 闭 性 .因 为 V中 任 意 两 个 元 素 的 乘 积 仍 在 V中12 , , kk K V k V 3下 验 证 上 述 定 义 的 两 种 运 算 满 足 8条 1) 2)( ) ( ) 3)V中 的 零 向 量 为 1（ 而 不 是 通 常 理 解 的 0） ，

7、 因 为1 1 4) k kk k k kk k k 同 理 可 验 证 也 成 立 ， 故 V作 成 K上 的 一 个 向 量 空间 . 注 ： 由 例 6知 向 量 空 间 的 加 法 与 数 乘 是 一 种 抽 象的 运 算 ， 并 不 是 我 们 通 常 意 义 下 的 加 法 与 数 乘 ， 比 如例 6中 的 加 法 实 质 为 数 的 普 通 乘 法 ， 而 数 乘 实 质 为 普通 数 的 乘 方 运 算 . 要 验 证 一 个 非 空 集 合 是 否 作 成 一 个 数 域 上 的 向量 空 间 ， 只 须 对 所 给 的 两 种 运 算 首 先 判 断 其 是 否封 闭 .

8、其 次 ， 再 判 断 它 们 是 否 满 足 8条 运 算 即 可 . 不 利 用 向 量 空 间 中 加 法 的 可 交 换 性 ， 证 明 左 逆 元和 左 零 元 也 是 右 逆 元 和 右 零 元 . 向 量 空 间 定 义 中 的 加 法 交 换 律 可 由 定 义 中 的 其它 公 理 推 出 （ 证 明 见 高 代 选 讲 ） . （ 习 题 8） 向 量 空 间 定 义 中 条 件 中 的 8） 不 能 由其 余 条 件 推 出 ， 即 条 件1 不 是 显 然 的 ， 也 不 是 多 余 的 例 如 ， 令 FbabaW ,|,在 V中 定 义 加 法 如 下 ， 2121

9、2211 , bbaababa 在 与 中 定 义 数 乘 如 下 ： 0, kabak 可 以 验 证 如 上 定 义 的 加 法 与 数 乘 运 算 满 足 的 其 余 7条 但 8） 并 不 满 足 ， 事 实 上 ， 取 30b baaba ,0, 二 向 量 空 间 的 性 质性 质 1： 零 向 量 是 唯 一 的证 明 ： 设 0和 都 是 向 量 空 间 V的 零 向 量 ， 那 么 根 据 零向 量 的 定 义 ， 对 于 中 任 意 向 量 都 有 0 V 0 0 0000, 于 是（ 注 :通 过 这 种 方 法 要 向 学 生 灌 输 这 种 证 明 唯 一 性 的 方

10、 法 ） 性 质 2: 每 个 向 量 的 负 向 量 是 唯 一 的 ， 且 把 向 量 的 唯 一 的 负 向 量 记 作 证 明 ： 设 和 都 是 的 负 向 量 ， 那 么 0 0 于 是 00 定 义 向 量 的 差 ： )( 性 质 3： 普 通 移 项 规 则 成 立 ， 即 证 明 ： “ ” 设 则 0 “ ” 设 0则性 质 4（ 命 题 6.1.2） ： kkkk ,0000 ， 000,1 或特 别 的 kk证 明 （ 略 ） 三 、 一 些 记 法1 设 是 上 向 量 空 间 V的 n个 向 量 ， 我们 把 它 们 排 成 一 行 ， 写 成 了 一 个 以 向

11、 量 为 元 素 的矩 阵 n , 21 F n1 n , 212 设 是 数 域 F上 一 个 矩 阵 ， 我 们 定义 ijaA mn mn A , 2121 （ 实 质 可 看 成 矩 阵 的 乘 法 ） njaaaa nnjjjijni ij 1,22111 这 里 BAAB nn ,.3 2121 课 堂 讨 论 与 练 习 ： 证 明 ： 不 利 用 向 量 空 间 的 定 义 中 加 法的 交 换 律 ， 证 明 左 逆 元 和 左 零 元 也 是 右 逆 元 和 右 零 元 .作 业 ： P221 2， 3， 4， 5思 考 ： P221 6， 7 6.2子 空 间授 课 方

12、式 ： 课 堂 讲 授 教 学 目 的 ： 理 解 子 空 间 的 定 义 会 判 断 一 个 非 空 集 合 是 否 是 子 空 间 理 解 子 空 间 的 和 与 交 教 学 重 点 与 难 点 ： 子 空 间 的 定 义 子 空 间 的 一 些 等 价 刻 划 子 空 间 的 和 与 交 1.子 空 间 的 定 义 ： 设 V是 数 域 F上 的 一 个 向 量 空 间 ， W是V的 一 个 非 空 子 集 ， 若 W对 于 V的 加 法 与 数 乘 作 成 一个 向 量 空 间 ， 则 W称 是 V的 一 个 子 空 间 （ 注 ： 给 出 了W是 V的 一 个 子 空 间 的 判 别

13、 方 法 ）2.定 理 6.2.1 设 W是 数 域 F上 向 量 空 间 V的 一 个 非 空 子 集 .如果 W对 于 F的 加 法 以 及 标 量 与 向 量 的 乘 法 是 封 闭 的 ， 那么 W本 身 也 作 成 F上 一 个 向 量 空 间 .注 ： 由 1， 2知 V的 子 空 间 W也 是 F上 的 一 个 向 量 空 间 ，并 且 一 定 含 有 V中 的 零 向 量 . 由 定 理 6.2.1知 ， 要 判 断 是 否 是 V的 子 空 间只 须 验 证 加 法 与 数 乘 封 闭 即 可 . VW 3.例 子 例 1： 零 空 间 ， 平 凡 子 空 间 ， 真 子 空

14、 间例 3： 中 一 切 形 如 nF Faaaa in ,0, 121 的 向 量 作 成 的 一 个 子 空 间 nF例 4： 中 次 数 不 超 过 一 个 给 定 的 整 数 n的 多 项 式全 体 连 同 零 多 项 式 一 起 作 成 的 一 个 子 空 间 . xF xF例 5： （ 补 充 ） 数 域 F上 齐 次 线 性 方 程 组 0002211 2222121 1212111 nxaxaxa xaxaxa xaxaxa mnmm nn nn 的 全 体 解 向 量 作 成 F上 的 一 个 线 性 空 间 ， 称 为 这 个 齐次 线 性 方 程 组 的 解 空 间 ，

15、它 是 的 一 个 子 空 间 .nF下 面 ， 我 们 给 出 了 一 个 非 空 集 合 是 否 是 子 空 间 的 判 别法 则 .定 理 6.2.2 数 域 F上 向 量 空 间 V的 一 个 非 空 子 集 W是 的一 个 子 空 间 ， 必 要 且 只 要 对 于 WFba , 和 任 意Wba 都 有证 如 果 W是 子 空 间 ， 那 么 由 于 W对 于 标 量 与 向 量 的 乘 法是 封 闭 的 ， 所 以 对 于 都 有WFba ,WbWa , .又 因 为 W对 于 F的 加 法 是 封 闭 的 ， 所 以 Wba 反 过 来 ， 如 果 对 于 任 意 WFba ,

16、Wba 都 有 就 有取 1 baW 0b取 Wa 就 有这 就 证 明 了 W对 于 V的 加 法 以 及 标 量 的 乘 法的 封 闭 性 .4 子 空 间 的 交 与 和 交 ： 子 空 间 的 交 仍 是 子 空 间 （ 利 用 定 理 6.2.2）推 广 到 有 限 、 无 限 子 空 间 的 交 ， 结 论 仍 然 成 立 .即 ： 设 是 向 量 空 间 V的 一 组 子 空 间 （ 个 数可 以 有 限 ， 也 可 以 无 限 ） .令 iW ii W表 示 这 些 子 空 间 的 交 ， 则 ii W 仍 是 V的 子 空 间 . 和 ： 若 是 21 ,WW 是 向 量 空

17、 间 的 子 空 间 22112121 ,| WWWW 则仍 是 V的 子 空 间 叫 做 与 的 和 1W 2W推 广 到 任 意 有 限 个 的 情 形 ： 设 nWWW , 21 V是的 子 空 间 ， 则 iiin WWWW |21 仍 是 V的 子 空 间 ， 称 为 子 空 间 的 和nWWW , 21注 ： 子 空 间 的 并 ， 不 一 定 是 子 空 间 .1例 如 在 中 令2R RaaW |0,1 RbbW |,02 却 不 是 的 子 空 间 。 显 然 与 都 是 的 子 空 间 ， 但 21 WW 2R21,.2 WW 是 向 量 空 间 V的 子 空 间 ， 则

18、21 WW 是 V的 子 空 间 2121 WWWW 或 课 堂 练 习 5.例 题 讲 解P225 习 题 4证 明 ： （ 分 两 种 情 况 讨 论 ）（ ） 若 是 V的 真 子 空 间 ， 且 21,WW 1221 WWWW 或 结 论 显 然 成 立 .（ ） 若 互 不 包 含 ， 用 反 证 法 ， 21,WW21 WWV 0V 由 于 互 不 包 含 ，21,WW故 必 有 1221 WWWW 但，但 .下 考 虑 ， 显 然 有 21 WW 但.若 不 然 ， 若 21 WW ， 则 有 21 WW 或不 妨 假 设 11, WW 则 ， 这 与 12 WW 但矛 盾 ，

19、所 以 不 能 属 于 V即 证 V 不 能 表 成 21 WW P225 习 题 5证 明 ： 21 WW （ 显 然 ） 122212 WxWxWW ， 让， 对 12222 WWWWWWWx 又 11 WxWx ， 12. xxxst 2122121 , WxxxWxWW 又 112 WxWWWWx 12 Wx 习 题 6： （ ） 用 反 证 法 ， 若 Fk 都 有 22, WWk 222, WWkkWk 即2W与 矛 盾（ ） 用 反 证 法 ， 若 至 少 有 两 个 Fk st 1Wk 1211 , WkWk 矛 盾与 11121 , WWWkk 作 业 ： P225 1， 2， 3