抛物线的简单几何性质

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1、X 定 义 ： 在 平 面内 ,与 一 个 定 点F和 一 条 定 直线 l(l不 经 过 点F)的 距 离 相 等的 点 的 轨 迹 叫抛 物 线 . 抛 物 线 的 定 义 及 标 准 方 程 准 线 方 程焦 点 坐 标标 准 方 程图 形 xFOyl xF Oy l xF Oy l xFOy l )0,2p( 2px )0,2p( 2px)2p0( ， 2py ) 2p0( ， 2py 一 、 温 故 知 新 范围1、 yo x)0,2( pF由 抛 物 线 y2 =2px（ p0）22 0px y 有 0p 0 x 所 以 抛 物 线 的 范 围 为 0 x 二 、 探 索 新 知如

2、何研究抛物线y2 =2px（p0）的几何性质?抛 物 线 在 y轴 的 右 侧 ， 当 x的 值 增 大 时 ， y 也增 大 ， 这 说 明 抛 物 线 向 右 上 方 和 右 下 方 无 限 延 伸 。 对称性2、 yo x)0,2( pF( , )x y 关 于 x轴对 称 ( , )x y即 点 (x,-y) 也 在 抛 物 线 上 ,故 抛 物 线 y2 = 2px(p0)关 于 x轴 对 称 .则 (-y)2 = 2px若 点 (x,y)在 抛 物 线 上 , 即 满 足 y2 = 2px， 顶点3、 yo x)0,2( pF 定 义 ： 抛 物 线 与它 的 轴 的 交 点 叫

3、做 抛物 线 的 顶 点 。y2 = 2px (p0)中 ，令 y=0,则 x=0.即 ： 抛 物 线 y2 = 2px (p0)的 顶 点 （ 0， 0） .注 :这 与 椭 圆 有 四 个 顶 点 ,双 曲 线 有 两 个 顶 点 不 同 。 离心率4、 yo x)0,2( pF P(x,y) 抛 物 线 上 的 点 与焦 点 的 距 离 和 它 到 准线 的 距 离 之 比 ， 叫 做抛 物 线 的 离 心 率 。 由 定 义 知 ， 抛 物 线 y2 = 2px (p0)的 离 心 率 为 e=1. 下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。 （二）归纳：抛物线的几何性质图 形

4、方 程 焦 点 准 线 范 围 顶 点 对 称 轴 el Fy xO lF y xO lFy xO lFy xO y2 = 2px（ p0）y2 = -2px（ p0）x2 = 2py（ p0）x2 = -2py（ p0） )0,2( pF )0,2( pF )2,0( pF )2,0( pF 2px 2px 2py 2py x0y Rx0y Ry0 x Ry 0 x R (0,0) x轴y轴 1 特 点 ：1.抛 物 线 只 位 于 半 个 坐 标 平 面 内 ,虽 然 它 可 以 无限 延 伸 ,但 它 没 有 渐 近 线 ;2.抛 物 线 只 有 一 条 对 称 轴 ,没 有对 称 中

5、心 ;3.抛 物 线 只 有 一 个 顶 点 、一 个 焦 点 、 一 条 准 线 ;4.抛 物 线 的 离 心 率 是 确 定 的 ,为 1;思 考 ： 抛 物 线 标 准 方 程 中 的 p对 抛 物 线 开 口 的 影 响 .yo x)0,2( pF P(x,y)P越 大 ,开 口 越 开 阔 补 充 （ 1） 通 径 ：通 过 焦 点 且 垂 直 对 称 轴 的 直 线 ，与 抛 物 线 相 交 于 两 点 ， 连 接 这两 点 的 线 段 叫 做 抛 物 线 的 通 径 。|PF|=x 0+p/2 xO y F P通 径 的 长 度 ： 2P P越 大 ,开 口 越 开 阔（ 2）

6、焦 半 径 ： 连 接 抛 物 线 任 意 一 点 与 焦 点 的 线 段 叫做 抛 物 线 的 焦 半 径 。焦 半 径 公 式 ： ),( 00 yx（标准方程中2p的几何意义）利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。 因 为 抛 物 线 关 于 x轴 对 称 ， 它 的 顶 点 在 坐 标 原点 ， 并 且 经 过 点 M（ ， ） ，2 2解:所 以 设 方 程 为 ： )0(22 ppxy又 因 为 点 M在 抛 物 线 上 ：所 以 ： 2( 2 2) 2 2p 2p 因 此 所 求 抛 物 线 标 准 方 程 为 ： 2 4y x2 2三 、 典 例

7、 精 析 坐 标 轴当 焦 点 在 x(y)轴 上 ,开 口 方 向 不 定 时 ,设 为 y2=2mx(m 0)(x2=2my (m0),可 避 免 讨 论例 ： 已 知 抛 物 线 关 于 x轴 对 称 ， 它 的 顶 点 在 坐 标原 点 ， 并 且 经 过 点 M（ ， ） ， 求 它 的 标 准 方 程 . 例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。xyO BA (40,30)解:所在平面内建立直角坐标系,使反射镜的顶点与原点重合, x轴垂直于灯口直径.在探照灯的轴截面设抛物线的标准方程

8、为:y2=2px由条件可得A (40,30),代入方程得:30 2=2p40解之: p= 445故所求抛物线的标准方程为: y2= x,245焦点为( ,0)845 练习：1、 已 知 抛 物 线 的 顶 点 在 原 点 ， 对 称 轴 为 x轴 ， 焦 点 在直 线 3x-4y-12=0上 ， 那 么 抛 物 线 通 径 长 是 .162、 已 知 点 A（ -2， 3） 与 抛 物 线 的 焦 点 的 距 离 是 5， 则 P= 。 2 2 ( 0)y px p 4 法 一 :直 接 求 两 点 坐 标 ,计 算 弦 长 (运 算 量 一 般 较 大 ); 法 二 :设 而 不 求 ,运

9、用 韦 达 定 理 ,计 算 弦 长 (运 算 量 一 般 ); 法 三 :设 而 不 求 ,数 形 结 合 ,活 用 定 义 ,运 用 韦 达 定 理 ,计 算 弦 长 . 例 3、 斜 率 为 1的 直 线 经 过 抛 物 线 的焦 点 F， 且 与 抛 物 线 相 交 于 A， B两 点 ， 求 线段 AB的 长 。 l 2 4y x AAB BFO xy AAB BFO xy 432 .图 .:, , 101 122 xlF pp准 线焦 点 由 题 意 可 知解 如 ., ,. BA ddlBA yxByxA的 距 离 分 别 为到 准 线 设图 2211432 .|,| 11 21

10、 xdBFxdAF BA由 抛 物 线 的 定 义 可 知 .| 221 xxBFAFAB于 是 11 01. , xy ABF方 程 为 的所 以 直 线为由 已 知 得 抛 物 线 的 焦 点 . ,xx xy41 21 2 2 得 代 入将 AAB BFO xy 432 .图.0162 xx化 简 得 .| , 82 223223 21 21 xxAB xx于 是由 求 根 公 式 得 621 xx或 由 韦 达 定 理 得 ., 8的 长 是线 段所 以 AB 四 、 归 纳 总 结抛 物 线 只 位 于 半 个 坐 标 平 面 内 ， 虽 然 它 也 可以 无 限 延 伸 ， 但 没 有 渐 近 线 ；抛 物 线 只 有 一 条 对 称 轴 ,没 有 对 称 中 心 ;抛 物 线 的 离 心 率 是 确 定 的 ， 等 于 ；抛 物 线 只 有 一 个 顶 点 ， 一 个 焦 点 ， 一 条 准 线 ；抛 物 线 的 通 径 为 2P, 2p越 大 ， 抛 物 线 的 张 口越 大 .1、 范 围 ：2、 对 称 性 ：3、 顶 点 ：4、 离 心 率 ：5、 通 径 ：