高等数学77常系数齐次线性微分方程特征根方程解的情况的讨论课件

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1、高 等 数 学 77常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方程 特 征 根 方 程 解 的 情 况 的 讨 论 1 一 、 定 义 )(1)1(1)( xfyPyPyPy nnnn n阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程 的 标 准 形 式0 qyypy二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 方 程 的 标 准 形 式)(xfqyypy 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 方 程 的 标 准 形 式 7. 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 高 等 数 学 77常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方程 特 征 根 方 程 解 的 情 况 的 讨 论 2 二 、 二 阶 常 系 数 齐

2、次 线 性 方 程 解 法-特 征 方 程 法,rxey 设 将 其 代 入 上 方 程 , 得0)( 2 rxeqprr ,0rxe故 有 02 qprr 特 征 方 程,2 422,1 qppr 特 征 根 0 qyypy 高 等 数 学 77常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方程 特 征 根 方 程 解 的 情 况 的 讨 论 3 (1) 有 两 个 不 相 等 的 实 根 ,2 421 qppr ,2 422 qppr ,11 xrey ,22 xrey 两 个 线 性 无 关 的 特 解得 齐 次 方 程 的 通 解 为 ;21 21 xrxr eCeCy )0( 特 征 根 为

3、高 等 数 学 77常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方程 特 征 根 方 程 解 的 情 况 的 讨 论 4 (2) 有 两 个 相 等 的 实 根 ,11 xrey ,221 prr )0( 一 特 解 为得 齐 次 方 程 的 通 解 为 ;)( 121 xrexCCy 代 入 原 方 程 并 化 简 ，将 222 yyy ,0)()2( 1211 uqprrupru ,0u知 ,)( xxu 取 ,12 xrxey 则,)( 12 xrexuy 设 另 一 特 解 为特 征 根 为 高 等 数 学 77常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方程 特 征 根 方 程 解 的 情 况 的

4、讨 论 5 (3) 有 一 对 共 轭 复 根 ,1 ir ,2 ir ,)(1 xiey ,)(2 xiey )0( 重 新 组 合 )(21 211 yyy ,cos xe x )(21 212 yyiy ,sin xe x 得 齐 次 方 程 的 通 解 为 ).sincos( 21 xCxCey x 特 征 根 为 高 等 数 学 77常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方程 特 征 根 方 程 解 的 情 况 的 讨 论 6 定 义 由 常 系 数 齐 次 线 性 方 程 的 特 征 方 程 的 根确 定 其 通 解 的 方 法 称 为 特 征 方 程 法 .044 的 通 解求 方

5、 程 yyy解 特 征 方 程 为 ,0442 rr解 得 ,221 rr故 所 求 通 解 为 .)( 221 xexCCy 例 1 高 等 数 学 77常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方程 特 征 根 方 程 解 的 情 况 的 讨 论 7 .052 的 通 解求 方 程 yyy解 特 征 方 程 为 ,0522 rr解 得 ,2121 ir ，故 所 求 通 解 为 ).2sin2cos( 21 xCxCey x 例 2 高 等 数 学 77常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方程 特 征 根 方 程 解 的 情 况 的 讨 论 8 三 、 n阶 常 系 数 齐 次 线 性 方 程

6、解 法 01)1(1)( yPyPyPy nnnn 特 征 方 程 为 0111 nnnn PrPrPr 特 征 方 程 的 根 通 解 中 的 对 应 项rk重 根若 是 rxkk exCxCC )( 1110 ik 复 根 重 共 轭若 是 xkk kk exxDxDD xxCxCC sin)( cos)( 1110 1110 若 是 单 根 r ,rxCe 高 等 数 学 77常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方程 特 征 根 方 程 解 的 情 况 的 讨 论 9 注 意n次 代 数 方 程 有 n个 根 , 而 特 征 方 程 的 每 一 个根 都 对 应 着 通 解 中 的 一

7、项 , 且 每 一 项 各 一 个任 意 常 数 . nnyCyCyCy 2211 高 等 数 学 77常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方程 特 征 根 方 程 解 的 情 况 的 讨 论 10特 征 根 为 ,1 54321 irrirrr 故 所 求 通 解 为 .sin)(cos)( 54321 xxCCxxCCeCy x 解 ,0122 2345 rrrrr特 征 方 程 为 ,0)1)(1( 22 rr .022 )3()4()5( 的 通 解求 方 程 yyyyyy例 3 高 等 数 学 77常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方程 特 征 根 方 程 解 的 情 况 的 讨

8、论 11 小 结二 阶 常 系 数 齐 次 微 分 方 程 求 通 解 的 一 般 步 骤 :（ 1） 写 出 相 应 的 特 征 方 程 ;（ 2） 求 出 特 征 根 ;（ 3） 根 据 特 征 根 的 不 同 情 况 ,得 到 相 应 的 通 解 . (见 下 表 ) 高 等 数 学 77常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方程 特 征 根 方 程 解 的 情 况 的 讨 论 12 02 qprr0 qyypy 特 征 根 的 情 况 通 解 的 表 达 式 实 根 21 rr 实 根 21 rr 复 根 ir 2,1 xrxr eCeCy 21 21 xrexCCy 2)( 21 )s

9、incos( 21 xCxCey x 高 等 数 学 77常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方程 特 征 根 方 程 解 的 情 况 的 讨 论 13 思 考 题求 微 分 方 程 的 通 解 . yyyyy ln22 高 等 数 学 77常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方程 特 征 根 方 程 解 的 情 况 的 讨 论 14 思 考 题 解 答,0y ,ln2 2 yy yyy ,ln yyy ,ln yyy x ,lnln yy 令 yz ln 则 ,0 zz 特 征 根 1通 解 xx eCeCz 21 .ln 21 xx eCeCy 求 的 通 解 . yyyyy ln22 高

10、 等 数 学 77常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方程 特 征 根 方 程 解 的 情 况 的 讨 论 15 一 、 求 下 列 微 分 方 程 的 通 解 : 1、 04 yy ； 2、 025204 22 xdtdxdt xd ； 3、 0136 yyy ； 4、 0365)4( yyy . 二 、 下 列 微 分 方 程 满 足 所 给 初 始 条 件 的 特 解 : 1、 0,2,044 00 xx yyyyy ； 2、 3,0,0134 00 xx yyyyy . 三 、 求 作 一 个 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 ,使3,2,1 xxx eee 都 是

11、它 的 解 . 四 、 设 圆 柱 形 浮 筒 ,直 径 为 m5.0 ,铅 直 放 在 水 中 ,当 稍向 下 压 后 突 然 放 开 ,浮 筒 在 水 中 上 下 振 动 的s2周 期 为 ,求 浮 筒 的 质 量 . 练 习 题 高 等 数 学 77常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方程 特 征 根 方 程 解 的 情 况 的 讨 论 16 练 习 题 答 案 一 、 1、 xeCCy 421 ； 2、 tetCCx 2521 )( ； 3、 )2sin2cos( 213 xCxCey x ； 4、 xCxCeCeCy xx 3sin3cos 432221 . 二 、 1、 )2(2 xey x ； 2、 xey x 3sin2 .三 、 0 yy . (提 示 : 为 两 个xe,1 线 性 无 关 的 解 ) 四 、 195M kg. 高 等 数 学 77常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方程 特 征 根 方 程 解 的 情 况 的 讨 论 17 作 业P310:1（ 偶 ） ， 2（ 奇 ） ， 5