四年级,加法原理与乘法原理

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1、我 是 小 精 灵 小 多 多 来了我 是 蓝 博 士我 叫 小 马 虎 例 1、 从 长 沙 去 广 州 ， 可 乘 火 车 ，也 可 以 乘 汽 车 ， 还 可 以 乘 飞 机 。 如 果 某天 中 ， 从 长 沙 去 广 州 有 5班 火 车 、 4班 汽车 和 3班 飞 机 。 那 么 这 一 天 从 长 沙 去 广州 可 以 有 多 少 种 不 同 的 走 法 ？乘 火 车 有 5种 走 法 ，乘 汽 车 有 4种 走 法 ， 5+4+3=12，乘 飞 机 有 3种 走 法 ， 一 、 智 慧 开 启 亮 亮 亮 完 成 一 件 工 作 共 有 N类 不 同 的 方 法 ，在 第 一

2、 类 方 法 中 有 m1种 不 同 的 方 法 ， 在第 二 类 方 法 中 有 m2种 不 同 的 方 法 ， ，在 第 N类 方 法 中 有 mn种 不 同 的 方 法 ， 那么 完 成 这 件 工 作 共 有 N m1 m2 m3 mn种 不 同 方 法 。秘 诀 ： 加 法 原 理 就 是 一 步 到 位 加 法 原 理 ： 例 2、 由 甲 村 去 乙 村 有 3条 道 路 ， 由 乙 村 去 丙 村 有 4条 道 路 。甲 村 经 乙 村 到 丙 村 共 有 多 少 种 不 同 的 走 法 ？所 有 走 法 : A1 B1 A2 B1 A3 B1 A1 B2 A2 B2 A3 B

3、2 A1 B3 A2 B3 A3 B3A1 B4 A2 B4 A3 B4 由 甲 村 去 乙 村 有 3种 走 法 ， 由 乙 村 去 丙 村 有 2种 走 法 ，所 以 从 甲 村 到 乙 村 再 到 丙 村 ， 共 有 3 4=12种 不 同 的 走法 。 完 成 一 件 工 作 共 需 N个 步 骤 ： 完 成 第 一 个步 骤 有 m1种 方 法 ， 完 成 第 二 个 步 骤 有 m2种 方 法 ， ， 完 成 第 N个 步 骤 有 mn种 方 法 ，那 么 ， 完 成 这 件 工 作 共 有 ， 秘 诀 ： 乘 法 原 理 就 是 分 步 到 位 nmmmN 21乘 法 原 理 ：

4、 例 3、 有 1分 、 2分 、 5分 币 各 一 枚 ， 可 以 从 中 组成 多 少 种 币 值 的 人 民 币 ?解 法 1: 含 有 1分 的 ： 1+2=3 解 法 2： 1+5=6 由 2种 分 币 组 成 ： 3 2 2=3 1+2+5=8 由 3种 分 币 组 成 ： 1 含 有 2分 的 ： 2+5=7 共 4种 共 4种 二 、 探 宝 揭 秘 新 新 新 例 4、 若 取 1、 2、 3、 4四 个 数 字 ， 从 小 到 大 排 成 一 行 ， 在这 四 个 数 中 间 ， 任 意 插 入 乘 号 ， 可 以 得 到 多 少 个 不 同 的 乘积 (最 少 插 一 个

5、 乘 号 )? 1 2 3 4 插 入 1个 乘 号 ： 1 234= 234， 12 34=408 123 4=492 插 入 2个 乘 号 ： 1 2 34=68， 12 3 4=144 1 23 4=92 插 入 3个 乘 号 ： 1 2 3 4=24 用 印 有 数 字 0、 2、 4、 7、 8的 五 张 卡 片 能 组 成 多 少 不同 的 三 位 数 ？ 能 组 成 多 少 个 不 同 的 三 位 偶 数 ？ 由 乘 法 原 理 ， 共 可 组 成 4 4 3=48（ 个 ） 不 同 的 三 位 数 。 而 要 组 成一 个 三 位 偶 数 ， 其 个 位 只 能 取 0、 2、

6、 4、 8， 而 这 又 受 到 百 位 是 否 取 到 2、4、 8的 影 响 ， 因 此 必 须 分 情 况 讨 论 。 第 一 类 ， 百 位 取 7（ 没 有 取 到 2、 4、8） ， 有 1种 方 法 ； 个 位 取 0、 2、 4、 8中 的 任 意 一 个 ， 有 4种 方 法 ； 十 位取 除 了 百 位 和 个 位 已 用 去 两 张 卡 片 外 的 剩 余 3张 卡 片 中 的 任 意 一 张 ， 有 3种 方 法 ； 十 位 取 除 了 百 位 和 个 位 已 用 去 两 张 卡 片 外 的 剩 余 3张 卡 片 中 的任 意 一 张 ， 有 3种 方 法 。 【 小

7、结 】 分 步 也 是 进 行 “ 不 重 复 、 不 遗 漏 ” 计 数的 基 本 方 法 ， 此 时 应 采 用 乘 法 原 则 。 分 步 时 要 注 意 两大 要 点 ： 一 是 不 同 步 骤 的 先 后 顺 序 会 影 响 到 解 题 的 难易 度 ， 要 认 真 思 考 ， 不 可 随 意 （ 比 如 本 题 究 竟 先 确 定百 、 十 、 个 位 中 的 哪 一 个 ， 会 直 接 影 响 到 解 题 过 程 ） ；二 是 当 某 一 步 中 的 选 取 方 法 受 到 前 一 步 中 的 选 取 方 法的 影 响 时 ， 就 必 须 对 前 一 步 进 行 分 类 ， 从

8、而 将 加 法 原理 与 乘 法 原 理 结 合 起 来 使 用 。 小 马 虎 要 买 一 本 数 学 书 ， 一 本 语 文 书 ， 一 本 英语 书 ， 在 书 店 里 他 发 现 有 4种 数 学 书 ， 3种 语 文 书 ，5种 英 语 书 可 供 选 择 ， 他 有 多 少 种 不 同 的 选 择 方 法 ？解 ： 4 3 5=60（ 种 ）答 ： 他 有 60种 不 同 的 选 择 方 法 。 三 、 开 心 闯 关 想 想 想第 一 关 ： 基 础 巩 固 7个 相 同 的 球 放 入 A、 B、 C、 D、 E五 个 不 同 的 盒 内 ，若 要 求 每 个 盒 内 都 不

9、空 ， 问 共 有 多 少 种 不 同 的 方 法 ？ 解 ： 每 盒 至 少 放 一 球 ， 余 下 的 2球 可 任 意 放 入 5 个盒 子 中 ， 共 有 5+4+3+2+1=15（ 种 ）答 ： 共 有 15种 不 同 的 方 法 甲 和 乙 玩 掷 骰 子 游 戏 。 骰 子 是 一 个 小 正 方 体 ， 每 一 个面 上 分 别 刻 有 1、 2、 3、 4、 5、 6点 ， 骰 子 掷 出 后 ， 每 个 面向 上 的 可 能 性 是 一 样 的 。 现 有 两 枚 骰 子 ， 一 起 掷 出 ， 若 两枚 骰 子 向 上 的 面 上 的 点 数 和 为 7， 则 甲 胜 ：

10、 若 点 数 和 为 8，则 乙 胜 。 问 甲 乙 谁 获 胜 的 可 能 性 大 ？解 ： 和 为 7的 情 况 共 有 6种 ： 1+6， 2+5， 3+4， 4+3， 5+2=7,6+1； 和 为 8的 情 况 共 有 5种 ： 2+6， 3+5， 4+4， 5+3， 6+2； 故 甲 获 胜 的 可 能 性 大答 ： 甲 获 胜 的 可 能 性 大 。 第 二 关 ： 小 试 牛 刀 有 10对 夫 妇 共 20人 参 加 一 次 春 节 晚 会 ， 其 中 每 位 男 宾 都与 除 了 自 己 夫 人 以 外 的 其 他 每 个 人 握 一 次 手 ， 但 女 宾 与 女 宾之 间

11、 不 是 握 手 而 是 拥 抱 ， 问 晚 会 上 这 20个 人 之 间 共 互 相 握 了多 少 次 手 ？解 ： 18+17+16+1=135（ 次 ）答 ： 晚 会 上 这 20个 人 之 间 共 互 相 握 了 135次 手 ？ 一 本 书 有 366也 ， 页 码 编 号 为 1， 2， 3， ， 366,问 数 字 3在 页 码 中 共 出 现 了 多 少 次 ？解 ： 3出 现 在 个 位 上 ， 有 10+10+10+10+7=37（ 次 ） ； 3出 现 在 十 位 上 ， 有 10+10+10+10=40（ 次 ） ； 3出 现 在 百 位 上 ， 有 66+1=67（

12、 次 ） 。 共 出 现 144次 。 答 ： 数 字 3在 页 码 中 共 出 现 了 144次 。 解 : 当 分 子 为 1时 ， 分 母 取 从 2到 59的 自 然 数 ， 都 能 形 成 真 分数 ， 有 58个 。 当 分 子 为 2时 ， 分 母 取 从 3到 59但 不 是 2的 倍 数 的 自 然 数 ，有 59-3+1=57， 57 2=281， 57-28=29 个 。 当 分 子 为 3时 ， 分 母 取 从 4到 59但 不 是 3的 倍 数 的 自 然 数 ，有 59-4+1=56， 56 3=182, 56-18=38 个 。分 子 小 于 6， 分 母 小 于

13、 60的 不 可 约 真 分 数 有 多 少 个 ？第 三 关 ： 自 我 提 高 当 分 子 为 4时 ， 分 母 取 从 5到 59但 不 是 2、 4的 倍 数 的 自 然数 ， 有 59-5+1=55， 55 2=271， 55-27=28 个 。当 分 子 为 5时 ， 分 母 取 从 6到 59但 不 是 5的 倍 数 的 自 然 数 ，有 59-6+1=54， 54 5=104， 54-10=44 个 。 所 求 不 可 约 真 分 数 共 有 58+29+38+28+44=197个 。 第 四 关 ： 思 维 碰 撞 用 印 有 数 字 0、 2、 4、 7、 8的 五 张 卡

14、 片 能 组 成 多 少 不同 的 三 位 数 ？ 能 组 成 多 少 个 不 同 的 三 位 偶 数 ？解 :由 乘 法 原 理 ， 共 可 组 成 443=48（ 个 ） 不 同 的 三 位 数 。 而要 组 成 一 个 三 位 偶 数 ， 其 个 位 只 能 取 0、 2、 4、 8， 而 这 又 受到 百 位 是 否 取 到 2、 4、 8的 影 响 ， 因 此 必 须 分 情 况 讨 论 。 第一 类 ， 百 位 取 7（ 没 有 取 到 2、 4、 8） ， 有 一 种 方 法 ； 个 位取 0、 2、 4、 8中 的 任 意 一 个 ， 有 4种 方 法 ； 十 位 取 除 了

15、百 位和 个 位 已 用 去 两 张 卡 片 外 的 剩 余 3张 卡 片 中 的 任 意 一 张 ， 有 3种 方 法 ； 十 位 取 除 了 百 位 和 个 位 已 用 去 两 张 卡 片 外 的 剩 余 3张 卡 片 中 的 任 意 一 张 ， 有 3种 方 法 。 由 加 法 原 理 和 乘 法 原 理 ， 共 可 组 成 143+333=39（ 个 ） 不 同的 三 位 偶 数 。 用 四 种 不 同 颜 色 给 右 图 5个 区 域 染 色 ， 每 个 区 域 一 种 颜 色 ， 相 邻 区 域 不 同 的 颜 色 ， 问 共 有 多 少 种 不 同 的 染 色 方 法 ？A B

16、C D E4种 3种 1种 （ 与 A同 色 ） 2种 2种4种 3种 2种 （ 与 A异 色 ） 1种 2种解 ： 方 法 一 ： 若 按 ABCDE的 顺 序 染 色 。 则 染 C时 必 须 分 类 ， 每 一 步 的 染 色 方 法 下 表 所 示 ： 故 共 有 不 同 的 染 色 方 法 数 为 ： 4 3 （ 1 2 2+2 1 2） =96 方 法 二 ： 若 按 AEDBC的 顺 序 染 色 ， 则 每 一 步 的 染 色 方 法 数 一 次 为 4、 3、 2、 2、 2， 故 共 有 不 同 的 染 色 方 法 数 为 ： 4 3 2 2 2=96答 ： 共 有 96种

17、不 同 的 染 色 方 法 。 1、 如 果 完 成 一 件 事 有 几 类 不 同 的 方 法 ， 只 要 选 择 任 一 类 方 法 中 的 一 种方 法 ， 这 件 事 就 可 以 完 成 ， 而 且 其 中 任 何 两 种 方 法 都 不 相 同 ， 那 么 ， 完 成这 件 事 的 方 法 总 数 ， 就 等 于 各 类 方 法 的 总 和 。 这 个 原 理 就 称 为 加 法 原 理 。2、 如 果 完 成 某 一 件 事 要 分 几 步 进 行 ， 那 么 ， 完 成 这 件 事 的 方 法 总 数 ，就 等 于 完 成 各 步 方 法 数 的 乘 积 。 这 个 原 理 就

18、称 为 乘 法 原 理 。3、 分 步 也 是 进 行 “ 不 重 复 、 不 遗 漏 ” 计 数 的 基 本 方 法 。 分 步 时 要 注 意两 大 要 点 ： 一 是 不 同 步 骤 的 先 后 顺 序 会 影 响 到 解 题 的 难 易 度 ， 要 认 真 思 考 ，不 可 随 意 ； 二 是 当 某 一 步 中 的 选 取 方 法 受 到 前 一 步 中 的 选 取 方 法 的 影 响 时 ，就 必 须 对 前 一 步 进 行 分 类 ， 从 而 将 加 法 原 理 与 乘 法 原 理 结 合 起 来 使 用 。 （ 1 ） 第 7 1 页 ， 第 1 、 2 题 （ 2 ） 第 7

19、3页 ， 第 5、 6题 四 、 拓 展 视 野 妙 妙 妙 五 、 勇 夺 高 峰 闪 闪 闪 李 四 光 小 学 举 行 六 一 节 庆 祝 活 动 ， 小 精 灵 他 们 班 排 行9个 同 学 参 加 小 合 唱 ， 如 果 这 9个 同 学 都 站 成 一 排 ， 想 一 想 ： 共 有 多 少 种 不 同 的站 法 ？ 如 果 这 9个 同 学 站 成 两 排 ： 前 排 站 4人 ， 后 排 站 5人 ， 共 有多 少 种 不 同 的 站 法 ？解 ： 9 8 7 6 5 4 3 2 1=362880（ 种 ） （ 9 8 7 6） （ 5 4 3 2 1） =362880（ 种 ）