高中数学《函数模型及其应用》学案3苏教版必修1

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1、函数模型及其应用（ 1）【本课重点】：能根据实际问题建立适当的数学模型，重点掌握一次、二次、反比例以及分段函数模型；体会数学建模的基本思想【预习导引】：1、某地 高 山 上 温 度 从 山 脚起 每升 高 100米 降 低 0.7 。已 知 山 顶的 温 度是 14.1，山 脚的温 度 是 26。则 此 山 高米。2、某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200 万元，生产每台计算机的可变成本为 3000 元，每台计算机的售价为5000 元，则生产 x 台计算机的总成本 C=_（万元），单位成本 P=（万元），销售收入 R=（万元），利润 L=（万元），若要创利不低于 100 万元，则

2、至少应生产这种计算机 _( 台 ) 。3、某汽车运输公司购买了豪华型大客车投入客运，据市场分析，每辆客车的总利润y 万元与营运年数 x(x N *) 的函数关系式为y=-x2+12x-25,则每辆客车营运年使其营运年平均利润最大。【典例练讲】 ：例1、 某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km ，慢车到终点需要16min，快车比慢车晚发 3min ，且行使 10min 后到达终点站。试分别写出两车所行路程关于慢车行使时间的函数关系式。两车在何时相遇？相遇时距始发站多远？例 2、某地上年度电价为0.8元，年用电量为1 亿度，本年度计划将电价调至0.55 0.75元之间， 经测算， 若电价调

3、至 x 元，则本年度新增用电量 y 亿度与 (x-0.4) 成反比例，又当 x=0.65 元时， y=0.8 。（ 1）求 y 与 x 之间的函数关系式。（ 2）若每度电的成本价为 0.3 元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？ 收益 =用电量（实际电价- 成本价） 例 3、在经济学中，函数f x 的边际函数 Mfx 定义为 Mf xf x 1f x ，某公司每月最多生产 100 台报警系统装置 ,生产 x 台 xN 的收入函数为R x3000x 20x2（单位：元），其成本函数为C(x)500x4000（单位：元），利润是收入与成本之差。用心爱心专心1(1) 求利润

4、函数 P x 及边际利润函数 MP x ；(2) 利润函数 P x 与边际利润函数 MP x 是否具有相同的最大值？例 4、经市场调查，某商品在过去100 天内的销售和价格均为时间t（天）的函数，且销售量 近 似 地 满 足g （ t ） =1 t100 (1 t100,tN )。 前40 天 价 格 为33f ( t)1 t 22 (1 t40, t N) ，后 60 天价格为 f (t)1 t52(41 t100,t N ) 。试写42出该种商品的日销售额S 与时间 t 的函数关系，并求最大销售额。【课后检测】 ：1、李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下

5、修车耽误了一段时间，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校，在课堂上，李老师请学生画出自行车行进路程S（ km ）与行驶时间t(h)的函数图象的示意图，你认为正确的是（）（ A ）（ B ）（ C）（ D）用心爱心专心22、将进货单价为80 元的商品400 个，按 90 元每个售出能全部售出（未售出商品可以原价退货）。已知这种商品每个涨价一元，其销售量就减少20 个，为了获得最大利润，售价应定为（）A 、每个 110 元B 、每个 105 元C、每个 100 元D 、每个 95 元3、某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6 元，行程不超过2km 者均按此价收费，行程超过

6、 2km ,按 1.8 元/km 收费。另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6 分钟折算 1km 计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17 元，车上仪表显示等候时间为11 分30 秒，那么陈先生此趟行程介于（）A 、 57kmB、 911kmC、 79kmD、 35km4、假设某做广告的商品的销售收入R 与广告费A 之间的关系满足RaA（ a 为正常数），那么广告效应为DaAA ，则当广告费A=_ 时，取得最大广告效应。5、某列火车从北京西站开往石家庄，全程 277km,火车 10 分钟行驶 13km 后，以 120km/h 匀速行驶，试写出火车行驶路程 S(km) 与匀速行驶的时间

7、t （ h）之间的函数关系式，并求出火车离开北京 2h 内行驶的路程。_6、 某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，当顾客在商场内消费一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围200,400)400,500)500,700)700,900).获得奖券的金额（元）3060100130.根据上述促销方法， 顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价为 400元的商品，则消费金额为 320 元，获得的优惠额为400 0.2+30=110 元设购买商品得到的优惠率购买商品的优惠额。试问商品的标价（1）购买一件标价为1000 元的商品，优惠率是多少？（2）对于

8、标价在 500，800 内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于1 的3优惠率？_7、电信局为了方便客户不同需要，设有A, B 两种优惠方案，这两种方案应付电话费（元）用心爱心专心3与通话时间（分钟）之间的关系如图所示实线部分（注：图中MN / CD ）试问：（1）若通话时间为2 小时，按方案A, B 各付话费多少元？（ 2） 方案 B 从 500 分钟后，每分钟收费多少元？（ 3） 通话时间在什么范围内，方案B 才会比方案 A优惠？_函数模型及其应用（2）【本课重点】 ：能根据实际问题建立适当的数学模型，重点掌握指、对数函数模型；体会数学建模的基本思想【预习导引】 ：1、已知某商品

9、的价格为a 元，讲价10%后，又降价10%，销售量猛增，商品决定提价20%，提价后这种商品的价格是2、计算机成本不断降低，若每隔3 年计算机价格降低1 ，现在价格为 8100 元的计算机， 93年后的价格可降为（）A、 2400 元B、900 元C、 300 元D、 3600 元3、某企业生产总值的月平均增长率为p , 则年平均增长率为（）A 、 (1p)11B、 (1p)12C 、 (1p)121D、 (1p)1114、某种细菌经30 分钟繁殖为原来的2 倍，且知细菌的繁殖规律为yekt ，其中 k 为常数，t 表示时间，y 表示细菌 y 粒，则 k，经过 5 小时，一个细菌繁殖为个。【典例

10、练讲】 ：例 1、某商人购货，进价已按原价 a 扣去 25，他希望对货物订一个新价，以便按新价让利 20销售后仍可获得售价 25的纯利，则此商人经营这种货物的件数 x 与按新价让利总额y 之间的函数关系是_用心爱心专心4例 2、某城市现有人口总数100 万人，如果年自然增长率为1.2% ，试解答下列问题：（ 1）写出该城市人口总数y （万人）与年份（x 年）的函数关系式。（ 2）计算 10 年后该城市人口总数（精确到0.1 万人）（ 3）计算大约多少年后该城市人口将达到120 万人（精确到1 年）例 3、物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0 经过一定时间 t

11、后的温度是 T , 则 T T (T0T )(1) ht ，其中 T 表示环境温度， h称为半衰期。 现2有一杯用 880 C 热水冲的速容咖啡，放在240 C 的房间中，如果咖啡降温到400 C 需要20 min ，那么降温到 350 C 时，需要多长时间？例 4、某公 司 准备 投 入 资 金 100万 元进 行 新产 品 开发 和 生产，公司 策 划部 门 提 出 两种 方案 供 公 司决 策 层 选 择 。方 案 一：年 利 率 为 10%，按 单利 计算 ，5 年后 收 回本 金和 利 息，方案 二 ：年 利率 为 9%，按 每年 复 利一 次 计 算 ，5 年 后可 收 回本 金

12、和利 息 。问 哪 一种 投资方 案 更有 利（ 即最 终 获得 的 利 润 大 ）？这 种 投 资方 案 比另 一 种投 资方 案 在 5 年 后 可多获 利 多少 元 ？（ 结 果精 确 到 0 . 01 万 元 ）用心爱心专心5【课后检测】 ：1、某城市地区的绿化面积平均每年上一年增长10.4%，经过 x 年，绿化面积与原有的绿化面积之比为y，则函数y=f （ x）的图象大致形状为()yyyy1x ox1xooxo2、某人2004 年 7 月 1 日到银行存入一年期款a 元。若年利率为 x,按复利计算 ,到 2007年 7月 1日取回的款为()A 、 a(1 x) 3 元B、 a(1 x

13、) 4 元C、 a a(1x) 3 元D 、 a(1x3 ) 元3、某工厂产品前两年每年递增20%，经过引进先进的技术设备并实施科学管理，后两年产品成本每年递减20%。那么该企业产品成本现在与原来比较（）A 、不增不减B、约增 8%C、约减 5%D 、约减 8%4、某纯 净 水制 造厂 在 净化 水 的过 程 中，每 增加 一次 过 滤可 以 减少 水 中杂 质 20%，要 使水 中 杂质 减 少到 原来 的 5% 以 下 ，则 至少 需 要过 滤 的 次 数为（参 考 数 据 lg2=0.3 010 ，lg3 = 0.4771 ）（）A、5B、10C、14D、155、职工收入有工资性收入和其

14、他收入两部分构成，2003 年某地区职工均收入为3150 元（其中工资性收入为1800 元，其他收入为1350 元），预计该地区自2004 起的 5 年内，职工的工资性收入将以每年 6% 的增长率增长，其他收入每年增长160 元，根据以上数据2008年该地区职工人均收入介于（）A、 4200 4400 元 B、 4400 4600 元C 、 4600 4800 元 D、 4800 5000 元6、一种产品的产量原来是a 件，在今后的 m 年内，计划使年产量平均每年比上一年增加p%，则年产量 y 随经过的年数 x 变化的函数关系式7、某工厂第一季度某产品月生产量分别为1 万件、 1.2 万件、

15、1.3 万件。 为了估城测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y 与月份 x 的关系。模拟函数可以选用二次函数或函数xy ab c (其中 a,b,c 为常数)。已知 4 月份的产量为 1.36 万件，问：用以上哪个函数作为模拟函数较好？说明理由。_用心爱心专心6_（选做题） 心理学家研究发现： 一般情况下， 学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化。讲课开始时， 学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想状态，随后学生的注意力开始分散。经过实验分析可知，学生的注意力y 随时间 t 的变化规律有如下t 224t100, (0t 10)关系式：

16、 y240,(10 t20)7t380, (20 t45)（ 1）讲课开始后第 5 分钟时与讲课开始后第 25 分钟时比较，何时学生的注意力更集中？（ 2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（3）一道数学综合题， 需要讲解 24 分钟， 为了效果较好， 要求学生的注意力最低达到180，那么经过安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？如果不能讲解完，说明理由；如果能够讲解，说明老师应该在哪个时间段讲解。_函数模型及其应用（3）【本课重点】 ：能根据实际问题建立适当的数学模型，体会数学建模的基本思想【预习导引】 ：1 、 某 产 品 的 总 成 本M （ 万

17、 元 ） 与 产 量x （ 台 ） 之 间 有 函 数 关 系 式M300020x0.1x 2 ( 0x240) ，如果每台产品售价25 万元，那么不亏本 （即销售收入不少于总成本）时的最低产量x=2、扇形的周长为10cm，扇形的面积S 是半径 R 的函数，则此函数的值域是3、某地区植被被破坏 ,土地沙漠化越来越严重。最近三年测得沙漠增加值分别为.2 万公顷 ,0.4 万公顷和 0.76万公顷。则沙漠增加数y 公顷关于年数 x 的函数关系可近似的认为是（）A 、 y0.2xB、 y2 xx 22xxC、 yD、 y 0.2 log 1610104、行驶中的汽车由于惯性，刹车时要继续往前滑行一段

18、距离，这段距离叫做刹车距离。在某条道路上，一辆汽车的刹车距离y （ m）与汽车的行驶速度x （ km/h）满足下列关系用心爱心专心y715y210 y1nxx2y, n N 。 现 做 了 两 次 刹 车 实 验 ， 有 关 数 据 如 图 所 示 ， 其 中1004005 y17,13 y2 15 ，则 n=_54070x【典例练讲】 ：例 1、某工厂 2000 年生产某种产品2 万件 ,计划从 2001 年开始 ,每年的产量比上一年增长20%.求 : 从哪一年开始,该家工厂生产这种产品的年产量超过12 万件 ?(已知lg2=0.3010 ，lg3=0.4771)例 2、某房地产公司在荒地

19、ABCDE 上划出一块长方形地建立一栋公寓，问如何设计才能使公寓面积最大？并求出最大面积。 （尺寸如图，单位： cm）E100D6080AB70C例 3 、已知函数 f （ x）的图象如图所示，试写出三个可能的解析式 y4（ 1，2）ox例4、某公司为了实现100 万元利润的目标，准备制定一个刺激销售的部门销售方案：在销售利润达到10 万元时，开始按销售利润进行奖励，且奖金y （万元）随销售金额x（万元） 的增加而增加， 但奖励总数不超过5 万元，同时奖金不超过利润的25% ，用心爱心专心8现有三个奖励模型：y0.25x; ylog 7 x1; y1.002 x ，其中哪个模型能符合公司要求。

20、【课后检测】 ：1、某种商品 2001年提价 25%,2002年要恢复原价 ,则应降价（）A 、30%B、 25%C、 20%D、 15%2、下列函数的部分图象用来描述如图所示的曲线较合适的是y（）A 、 y 3 2 xB 、 y (x 2) 22C、 y0.5(x 2) 22 D、 ylog 2 x2Ox3、如图是某厂8年来某产品的产量C 与时间 t( 年 )的函数关系 .则下面四种说法正确的是_y（ 1）前三年中产量增长的速度越来越快;（ 2）前三年中产量增长的速度越来越慢;（3）第三年后该产品停止生产;o35x（4）第三年后，年产量保持不变;(5 ) 第三年后，年产量增长的速度保持4、有

21、一批材料拟建成 200 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形。求：所围成矩形的面积的最大值。_5、甲地有一批时令性很强的反季节蔬菜运往乙地销售，现有飞机、火车、汽车三种运输方式，现在只可以选择其中的一种运输方式，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示：运输工具途中速度途中费用装卸费用装卸时间（千米 / 小时）（元 / 千米）（元）（小时）飞机2001610002用心爱心专心9火车100420004汽车50810002若这批蔬菜在运输（包括装卸）过程的损耗为200 元/ 小时，设甲、乙两地之间的距离x 千米。请问用哪种方式，才能使运输时的总

22、支出最少。_6、我国是水资源比较匮乏的国家之一，各地采取价格调控的手段来达到节约用水的目的，某市用水的收费标准是“水费=基本费用 +超额费用 +损耗费用” 。若每月用水量不超过最低限量 am3 时，只付基本费8 元和每户每月的定额损耗费c 元；若每月的用水量超过最低限量am3 时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过的部分每立方米付b 元的超额费，已知每户每月的定额损耗费用不超过5 元，该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示：月份用水量 /立方米水费 /元一99二1519三2233（1） 根据上表求： a,b,c 的值；（ 2）若用户四月份用水20 立方米，则应该交水费多少？_用心爱心专心10