八年级数学下册《三角形的证明》

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1、 上册第一章复习 知识归纳知识归纳1等腰三角形的性质性质(1)：等腰三角形的两个底角 .性质(2)：等腰三角形顶角的 、底边上的 、底边上的高互相重合2等腰三角形的判定(1)定义：有两条边 的三角形是等腰三角形(2)等角对等边：有两个角 的三角形是等腰三角形相 等平 分 线 中 线相 等 相 等 上册第一章复习 知识归纳3用反证法证明的一般步骤(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；(3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确4等边三角形的判定(1)有一个角等于60的 三角形是等边三角形；等 腰 上册第

2、一章复习 知识归类(2)三 边 相 等 的 三 角 形 叫 做 等 边 三 角 形 ；(3)三 个 角 相 等 的 三 角 形 是 等 边 三 角 形 ；(4)有 两 个 角 等 于 60 的 三 角 形 是 等 边 三 角 形 5直角三角形的性质在 直 角 三 角 形 中 ， 如 果 一 个 锐 角 等 于 30 ， 那 么 它 所 对 的 直角 边 等 于 斜 边 的 .6勾股定理及其逆定理勾 股 定 理 ： 直 角 三 角 形 两 条 直 角 边 的 平 方 和 等 于 斜 边 的 .一 半 平 方 上册第一章复习 知识归类逆 定 理 ： 如 果 三 角 形 两 边 的 平 方 和 等

3、于 第 三 边 的 平 方 ， 那么 这 个 三 角 形 是 三 角 形 7线段的垂直平分线的性质定理及判定定理性 质 定 理 ： 线 段 的 垂 直 平 分 线 上 的 点 到 这 条 线 段 两 个 端 点的 距 离 .判 定 定 理 ： 到 一 条 线 段 两 个 端 点 距 离 相 等 的 点 ， 在 这 条 线段 的 上 点拨 线 段 的 垂 直 平 分 线 可 以 看 作 和 线 段 两 个 端 点 距 离 相等 的 所 有 点 的 集 合 直 角相 等垂 直 平 分 线 上册第一章复习 知识归类8三线共点三角形三条边的垂直平分线相交于 ，并且这一点到三角形三个顶点的距离 .9角平

4、分线的性质定理及判定定理性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离 .判定定理：在一个角的内部，且到角的两边 相等的点，在这个角的平分线上相 等 相 等距 离一 点 上册第一章复习 知识归类注意 角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆定理必须加上“在角的内部”这个条件10三角形三条角平分线的性质三 角 形 的 三 条 角 平 分 线 相 交 于 一 点 ， 并 且 这 一 点 到 三 条 边的 距 离 .相 等 考 点 一 线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质 的 应 用上册第一章复习 考点攻略考点攻略 例1 如 图 S1 1， 在 ABC中 ， DE垂 直 平 分 AC交 AB于 E

5、， A 30 ， ACB 80 ， 则 BCE _.50 上册第一章复习 考点攻略解析 根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以EAEC， A ACE30，又 ACB80，故 BCE803050. 上册第一章复习 考点攻略 上册第一章复习 考点攻略 考 点 二 全 等 三 角 形 的 证 明例2如图S12，在ABC和DEF中，B，E，C，F在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明ABDE，ACDF， ABC DEF，BECF. 上册第一章复习 考点攻略解：答案不惟一，命题一：在ABC和DEF中，B

6、，E，C，F在同一直线上，ABDE，AC DF，BECF.求证： ABC DEF. 命题二：在ABC和DEF中，B，E，C，F在同一直线上，ABDE， ABC DEF，BECF.求证：ACDF.下面证明命题一：已知：如题图，在ABC和DEF中，B，E，C，F在同一直线上，ABDE，AC DF，BECF.求证： ABC DEF. 上册第一章复习 考点攻略证明：在ABC和DEF中， BECF， BCEF.又 ABDE，ACDF，ABCDEF(SSS) ABC DEF. 上册第一章复习 考点攻略 上册第一章复习 考点攻略 考 点 三 勾 股 定 理 的 应 用 上册第一章复习 考点攻略解 析 这 个

7、 有 趣 的 问 题 是 勾 股 定 理 的 典 型 应 用 ， 此 问 题 看 上去 是 一 个 曲 面 上 的 路 线 问 题 ， 但 实 际 上 能 通 过 圆 柱 的 侧 面 展 开 而转 化 为 平 面 上 的 路 线 问 题 ， 值 得 注 意 的 是 ， 在 剪 开 圆 柱 侧 面 时 ，要 从 A开 始 并 垂 直 于 AB剪 开 ， 这 样 展 开 的 侧 面 才 是 个 矩 形 ， 才能 得 到 直 角 ， 再 利 用 勾 股 定 理 解 决 此 问 题 上册第一章复习 考点攻略解 ： 将 圆 柱 的 侧 面 展 开 ， 如 图 S1 4， 圆 柱 的 底 面 周 长 为

8、2r 2 4， 取 其 一 半 ： 4 2， 圆 柱 的 高 为 2， 根 据 勾股 定 理 ， 得 AC2 22 22 8， 所 以 AC 2 . 上册第一章复习 考点攻略 上册第一章复习 考点攻略 考 点 四 等 腰 三 角 形 的 判 别 例4已知：在ABC中， A90，ABAC，D为BC的中点(1)如图S14，E，F分别是AB，AC上的点，且BEAF，求证：DEF为等腰直角三角形；(2)若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BEAF，其他条件不变，那么，DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论 上册第一章复习 考点攻略解 析 要 证 明 DEF为 等 腰 三 角 形 ， 需 要

9、证 DE DF.连 接AD， 利 用 全 等 可 得 这 一 结 论 至 于 在 延 长 线 上 ， 可 利 用 同 样 的方 法 上册第一章复习 考点攻略解 ： (1)证 明 ： 连 接 AD， 如 图 S1 6： AB AC， BAC 90 ， D为 BC的 中 点 ， AD BC， BD AD， B DAC 45 ，又 BE AF， BDE ADF(SAS)， ED FD， BDE ADF， EDF EDA ADF EDA BDE BDA 90 ， DEF为 等 腰 直 角 三 角 形 上册第一章复习 考点攻略(2)若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图S17所示：连接AD， ABA

10、C， BAC90，D为BC的中点， ADBD，AD BC， DAC ABD45， DAF DBE135.又AFBE，DAFDBE(SAS)， 图 S1 7 上册第一章复习 考点攻略 FDED， FDA EDB， EDF EDB FDB FDA FDB ADB90，DEF仍为等腰直角三角形 上册第一章复习 考点攻略 上册第一章复习 考点攻略 考 点 五 角 平 分 线 与 “ 截 长 补 短 ”例5 如 图 S1 8， AD BC， 点 E在 线 段 AB上 ， ADE CDE， DCE ECB.求 证 ： CD AD BC. 图 S1 8 上册第一章复习 考点攻略解析 结论是CDADBC，可考

11、虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CFCB，只要再证DFDA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的 上册第一章复习 考点攻略图S19证 明 ： 在 CD上 截 取 CF BC， 如 图 S1 9，在 FCE与 BCE中 ， FCE BCE(SAS)， 2 1. AD BC， ADC BCD 180 .又 ADE CDE， 上册第一章复习 考点攻略 DCE CDE 90 ， 2 3 90 ， 1 4 90 ， 3 4.在 FDE与 ADE中 ， FDE ADE(ASA)， DF DA. CD DF CF， CD AD BC. 上册第一章复习 考点攻略 1 以 下

12、 命 题 中 ， 是 真 命 题 的 是 ( )A 两 条 直 线 只 有 相 交 和 平 行 两 种 位 置 关 系B 同 位 角 相 等C 两 边 和 一 角 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等D 等 腰 三 角 形 底 边 中 点 到 两 腰 的 距 离 相 等D 上册第一章复习 习 题 讲 析 2 下 列 说 法 中 ， 正 确 的 是 ( )A 等 腰 三 角 形 边 上 的 中 线 也 是 高B 等 腰 三 角 形 的 内 角 平 分 线 的 交 点 到 三 个 顶 点 的 距 离 相 等C 等 边 三 角 形 每 条 角 平 分 线 都 平 分 对 边D 直 角 三

13、角 形 一 边 上 的 中 线 等 于 这 边 的 一 半C 上册第一章复习 习 题 讲 析 3 在 直 角 三 角 形 中 ， 一 条 直 角 边 长 为 a， 另 一 条 边 长 为 2a，那 么 它 的 三 个 内 角 之 比 为 ( )A 1 2 3 B 2 2 1C 1 1 2 D 以 上 都 不 对D 上册第一章复习 习 题 讲 析 4 如 图 S1 9， ABC中 ， ACB 90 ， BA的 垂 直 平 分线 交 CB边 于 D， 若 AB 10， AC 5， 则 图 中 等 于 60 的 角 的 个数 为 ( )A 2 B 3 C 4 D 5D 图 S1 10上册第一章复习

14、习 题 讲 析 5 如 图 S1 11， 在 Rt ABC中 ， C 90 ， B 15 ，DE是 AB的 中 垂 线 ， 垂 足 为 D， 交 BC于 点 E， 若 BE 4， 则 AC_.2 图 S1 11上册第一章复习 习 题 讲 析 6 若 点 P是 ABC内 一 点 ， PD AB于 D， PE BC于 E，PF AC于 F， 且 PD PE PF， 则 点 P是 ABC的 ( )A 三 条 高 的 交 点B 三 条 中 线 的 交 点C 三 条 角 平 分 线 的 交 点D 三 条 中 垂 线 的 交 点 C上册第一章复习 习 题 讲 析 7 在 平 面 内 ， 到 A， B， C

15、三 点 距 离 相 等 的 点 有 ( )A 只 有 一 个 B 有 两 个C 有 三 个 或 三 个 以 上 D 有 一 个 或 没 有 D上册第一章复习 习 题 讲 析 8 小 明 家 有 一 块 ABC的 土 地 ， 如 图 S1 12所 示 ， 其 三 边 长AB 70米 ， BC 90米 ， AC 50米 ， 现 要 把 ABC分 成 面 积 比 为5 7 9的 三 部 分 ， 分 别 种 植 不 同 的 农 作 物 ， 请 你 设 计 一 种 方案 图 S1 12上册第一章复习 习 题 讲 析 解：如图S113所示，分别作 ACB和 ABC的平分线，相交于点D，连接AD，则SADC

16、 SADB SBDC5 7 9. 图 S1 13 上册第一章复习 习 题 讲 析 9.如 图 S1 14， 在 四 边 形 ABCD中 ， AD BC， E为 CD的 中点 ， 连 结 AE， BE， BE AE， 延 长 AE交 BC的 延 长 线 于 点 F.求 证 ： (1)FC AD；(2)AB BC AD.上册第一章复习 习 题 讲 析 证明：(1)因为E是CD的中点，所以DECE.因为AD BC，所以 ADE FCE， DAE CFE.所以ADEFCE.所以FCAD.(2)因为ADEFCE，所以AEFE.又因为BE AE，所以BE是线段AF的垂直平分线，所以ABFB.因为FBBCF

17、CBCAD.所以ABBCAD.上册第一章复习 习 题 讲 析 10.如 图 S1 15 ， 点 C为 线 段 AB上 一 点 ， ACM， CBN是 等 边 三 角 形 ， 直 线 AN， MC交 于 点 E， 直 线 BM， CN交 于 F点 (1)求 证 ： AN BM；(2)求 证 ： CEF为 等 边 三 角 形 ；(3)将 ACM绕 点 C按 逆 时 针 方 向 旋 转 90 ， 其 他 条 件 不 变 ，在 图 中 补 出 符 合 要 求 的 图 形 ， 并 判 断 第 (1)(2)两 小 题 的 结 论 是否 仍 然 成 立 (不 要 求 证 明 )上册第一章复习 习 题 讲 析 上册第一章复习 习 题 讲 析 解：(1)证明：易证CMBCAN，则ANBM.(2)证明：CMBCAN， ANC MBC.又 MCN FCB60，BCCN，ECNFCB， CECF.又 ECF60，ECF是等边三角形(3)如图所示，(1)小题的结论仍然成立，(2)小题不成立上册第一章复习 习 题 讲 析