浙江省五校联盟2023～2024学年高三数学下学期3月联考试题

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1、浙江省五校联盟2023-2024学年高三下学期3月联考 数学试卷 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. 1.若全集,集合A,B及其关系如图所示,则图中阴影部分表示的集合是( ) A. B. C. D. 2.已知,且,则与的夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 3.设b,c表示两条直线,表示两个平面,则下列说法中正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 4.已知角的终边过点,则( ) A. B. C

2、. D. 5.设等比数列的公比为,前项和为,则“”是“为等比数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知实数x,y满足,且,则的最小值为( ) A. B.8 C. D. 7.已知双曲线的左、右焦点分别为,点为双曲线的左顶点,以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P,Q两点,且,则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 8.在等边三角形ABC的三边上各取一点D,E,F,满足,则三角形ABC的面积的最大值是( ) A. B.

3、 C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.在学校组织的《青春如火,初心如炬》主题演讲比赛中,有8位评委对每位选手进行评分(评分互不相同),将选手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分,则下列说法中正确的是( ) A.剩下评分的平均值变大 B.剩下评分的极差变小 C.剩下评分的方差变小 D.剩下评分的中位数变大 10.在三棱锥中,已知,点M,N分别是AD,BC的中点，则( ) A.MN⊥AD B.异面直线AN,C

4、M所成的角的余弦值是 C.三棱锥的体积为 D.三棱锥的外接球的表面积为 11.已知函数,则( ) A.的零点为 B.的单调递增区间为 C.当时,若恒成立,则 D.当时,过点作的图象的所有切线,则所有切点的横坐标之和为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.直线的一个方向向量是. 13.甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军,比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局的概率为. 14.已知函数及其导函数的定义域均为,记,若均为偶函数,且当时,,则. 四、解答题:本题共5小题,共77分.

5、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)如图,斜三棱柱的底面是直角三角形,,点在底面ABC内的射影恰好是BC的中点,且. (I)求证:平面平面; (II)若斜棱柱的高为,求平面与平面夹角的余弦值. 16.(本小题满分15分)己知函数,其中. (I)若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等,求的值; (II)是否存在实数,使得在上的最大值是-3?若存在,求出的值;若不存在,说明理由. 17.(本小题满分15分)记复数的一个构造:从数集中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部.重复次这样的构造,可得到个复数,将它们的乘积记为. 已知复数具有运算性质:

6、,其中. (I)当时,记的取值为,求的分布列; (II)当时,求满足的概率; (III)求的概率. 18.(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy中,我们把点称为自然点.按如图所示的规则,将每个自然点进行赋值记为,例如,. (I)求; (II)求证:; (III)如果满足方程,求的值. 19.(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy中,过点的直线与抛物线交于M,N两点在第一象限). (I)当时,求直线的方程; (II)若三角形OMN的外接圆与曲线交于点(异于点O,M,N), (i)证明:△MND的重心的纵坐标为定值，并求出此定值; (ii)求凸四边形OMDN的面

7、积的取值范围. 参考答案 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D B C A C A 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 BC ABD ACD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.(答案不唯一) 13. 14.-6 四、解答题:本大题共5小题,共77分

8、.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)(第I问,6分;第II问,7分) 解:(I)取BC中点为,连接在底面内的射影恰好是BC中点, 平面ABC,又平面, 又, 平面平面, 又平面平面平面. (II)以为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,, , , 设平面的法向量为, 则有,令,则, 设平面的法向量为, 则有,令则, , 平面与平面夹角的余弦值为. 16.(本小题满分15分)(第I问,6分;第II问,9分) (I),则, 故曲线在处的切线为, 即, 当时,此时切线为,不符合要求 当时,令,有, 令,有,故,即,故

9、 (II), ①当时,在上单调递增, 的最大值是,解得,舍去; ②当时,由,得, 当,即时,时,时,, 的单调递增区间是,单调递减区间是, 又在上的最大值为; 当,即时,在上单调递增,, 解得,舍去.综上,存在符合题意,此时 17.(本小题满分15分)(第I问,6分;第II问,4分;第III问,5分) (I)由题意可知,可构成的复数为, 的可能取值为, ， ， 所以分布列为: X 1 2 3 4 (II)共有种, 满足的情况有: ①3个复数的模长均为1,共有种; ②3个复数中,2个模长均为1,1个模长为或者

10、2,共有种; 所以. (III)当或2时,显然都满足,此时; 当时,满足共有三种情况: ①个复数的模长均为1,则共有; ②个复数的模长为1,剩余1个模长为或者2,则共有; ③个复数的模长为1,剩余2个模长为或者2,则共有. 故, 此时当均成立. 所以. 18.(本小题满分17分)(第I问,4分;第II问,7分;第III问,6分) 解:(I)根据图形可知, (II)固定,则为一个高阶等差数列,且满足 所以 所以,,所以 P(x+1,y-1)+P(x,y+1)+P(x+1,y)+P(x+1,y+1)=2024 等价于, 等价于 即, 化简得, 由

11、于增大,也增大, 当时,, 当时,, 故当时,,即 19.(本小题满分17分)(第I问,4分;第II问,5分;第III问,8分) 解:(I)设直线 联立,消去,得, 所以, ,则 ,则,又由题意, 直线的方程是; (II)(i)方法1:设 因为O,M,D,N四点共圆,设该圆的方程为, 联立,消去,得, 即， 所以即为关于的方程的3个根, 则, 因为, 由的系数对应相等得,,所以的重心的纵坐标为0. 方法2:设,则, 因为O,M,C,N四点共圆,所以,即, 化简可得:, 所以的重心的纵坐标为0. (ii)记的面积分别为,由已知得直线MN的斜率不为0设直线,联立,消去,得,所以, 所以, 由(i)得,, 所以,即, 因为, 点到直线MN的距离, 所以, 所以 在第一象限,即, 依次连接O,M,D,N构成凸四边形OMDN,所以,即, 又因为,即,即, 所以,即,即, 所以, 设,则, 令,则, 因为,所以,所以在区间上单调递增,所以, 所以的取值范围为.