浙江省温州市2023～2024学年高一数学下学期5月期中联考试题

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1、绝密★考试结束前 浙江省温州市2023-2024学年高一数学下学期5月期中联考试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。 4.考试结束后，只需上交答题纸。 选择题部分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知，则复数的虚部为（ ） A.2 B. C. D. 2.若向量，，则与共线的向量可以是（ ） A. B. C. D. 3.若的外

2、接圆的半径，，则（ ） A.1 B. C.2 D. 4.已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5.设是给定的平面，、是不在内的任意两点，则下列命题中正确的是（ ） A.在内一定存在直线与直线相交 B.在内一定存在直线与直线异面 C.一定存在过直线的平面与平行 D.存在无数过直线的平面与垂直 6.在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7.如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为.若，山坡与地平面的夹角为，则等于（

3、 ） A. B. C. D. 8.在三棱锥中，底面，，，的面积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本小题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是（ ） A. B.若，则 C. D.若是关于的方程的根，则 10.对于任意的两个平面向量、，下列关系式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 11.如图所示，在等腰梯形中，已知，，将沿直线翻折成，则（ ） A.翻折过程中存在某个位置，使

4、得 B.当二面角为时，点到平面的距离为 C.直线与所成角的取值范围为 D.当三棱锥的体积最大时，以为直径的球被平面所截的截面面积为 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若向量，则与垂直的一个单位向量______. 13.已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为，则该棱台的体积为______. 14.已知平面向量，，满足，，且，则的最大值为______. 四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知复数，，满足：，且的实部为正. （1）若在复平面内对应的点在第二象

5、限，求的取值范围； （2）当时，、对应复平面内的点分别为、，为复平面原点，求证：. 16.（本小题满分15分）如图，和都垂直于平面，且，是的中点. （1）求证：平面； （2）若是正三角形，且，求直线与平面所成角的正弦值. 17.（本小题满分15分）在中，角，，的对边分别为，，，且满足_______.从条件①、条件②这两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知， （1）求角； （2）若的面积为，为的中点，求的最小值. 条件①：；条件②：. 18.（本小题满分17分）如图，在平行四边形中，，分别是线段，的中点，记，，且，，. （1）试用向量，表示，； （2）①求，的值；

6、 ②设为的内心，若，求的值. 19.（本小题满分17分）在三棱锥中，，，，，的中点为，点在线段上，且满足. （1）求证：； （2）当平面平面时， ①求点到平面的距离； ②若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 2023学年第二学期温州十校联合体期中联考 高一年级数学学科参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 B A C D B C D B 二、多选题：本小题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目

7、要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 ACD ABD BD 8.解析：如图，取的外接圆圆心，过点作平面的垂线， 则三棱锥的外接球的球心在该垂线上，且. 在中，，即. ，即. （当且仅当时取等号） 设外接圆半径为，由正弦定理得，即. 外接球的半径，故三棱锥的外接球表面积的最小值为. 11.解析：由条件易得，. 对于选项A：假设翻折过程中存在某个位置，使得.又因为，，可得平面，所以，即.显然与不垂直，所以假设不成立，即翻折过程中不存在某个位置，使得.故选项A错误. 对于选项B：取的中点，的中点，连接，，过点作直线的垂线交直

8、线于点.易说明为二面角的平面角，即.线段的长即为点到平面的距离，.因为为的中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离的2倍，即.故选项B正确. 对于选项C：连接，易得四边形是平行四边形，所以.直线与所成角即为直线与所成角.在翻折过程中，绕着旋转，可以看成以为顶点、为轴的圆锥的母线，为底面圆的直径.原问题转化为母线与底面直径所成角的取值范围.母线与轴的夹角为，结合最小角定理，可得母线与底面直线所成角的取值范围是，故选项C错误. 对于选项D：当平面平面时，三棱锥的体积最大.又因为，平面平面，所以平面.的中点为球心，取的中点，则为的中位线，所以，平面.以为直径的球被平面所截的截面为圆面，

9、由以上分析可知点为该圆的圆心，其半径，该圆面面积为.故选项D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.或写出一个即可 13. 14. 四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.【解】（1）由题意得 解得. （2）设，则， 展开得 则解得 所以 当时，，故在复平面内， 则，，，， 16.【解】（1）证明：（1）取的中点，连接，， 是的中点，，， 和都垂直于平面， ，，， 四边形为平行四边形，从而， 平面，平面，（没写全扣1分） 平面. （2）解：为正三角形，为中点， . 平面，平面，，，

10、 又，平面， 平面. 又，则平面， 得为在面上的射影， 为直线与平面所成角. 在中，，，， 得， 直线与平面所成角的正弦值为. 17.【解】（1）若选①由正弦定理得， ，， ， 若选②：由正弦定理得， ， 即， 又，有，， 由，得. （2），又，， 在中由余弦定理 ，（由余弦定理得出边的关系就给2分） 当且仅当时取等号， 的最小值为. 18.【解】（1）； （2）①由（1）知：，则， 又， ②为的内心，， . 19.【解】（1）取的中点，连接，， ，为的中点，. ，为的中点， 平面， 又平面， （2）①过点作于，连， 平面平面，，平面. 令，则，. 平面，. 在中，由，得，， ， 故点到平面的距离为. ②记平面与平面的夹角为，作交于点，连接， 易证平面为平面与平面的公共垂面，故， 在中，，，可求得， 又，，则.