浙江省2023～2024学年高一数学下学期6月联考试题[含答案]

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1、考生须知： 1. 本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3. 所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4. 考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有1项符合题目要求. 1. 已知向量，点，则点B的坐标为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设为坐标原点，则， 因为，所以，又， 所以， 所以点B的坐标为， 故选：A. 2. 在中，内角A，B，C

2、所对的边分别是a，b，c，已知，，，则（） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】因为，，， 所以正弦定理可得：，所以， 则. 故选：C. 3. 已知向量，，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算即可. 【详解】因为，则，故ABC错误； 所以， 所以. 故选：D. 4. 已知平面平面，直线满足，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析

3、】利用空间线面、面面垂直与平行的关系即可判断出结论． 【详解】平面α⊥平面β，则“”⇒“或m⊂β或m与β相交”， 反之，平面α⊥平面β，令平面α⊥平面β=，在l上任取一点A，在α内过A作AB⊥l， 则AB⊥平面β，又m⊥β，可得，∴； 则“”是“m⊥β”的必要不充分条件． 故选B． 【点睛】本题考查了空间线面面面垂直与平行的关系、简易逻辑的判定方法，考查了面面垂直的性质定理的应用，考查了推理能力，属于基础题． 5. 已知圆锥侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥母线长为l，底面半径

4、为r，根据题意可求得母线l，底面半径r，根据勾股定理，可求得圆锥的高h，代入体积公式，即可求得答案. 【详解】设圆锥母线长为l cm，底面半径为r cm，如图所示， 由题意得：，所以母线cm， 所以侧面展开半圆的弧长为cm， 所以底面圆的周长为，即，所以底面半径cm， 所以该圆锥的高cm， 所以圆锥的体积. 故选：C 6. 若数据、、⋯的平均数是5，方差是4，数据、、⋯、的平均数是4，标准差是，则下列结论正确的是（） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】先设出数据的平均数和标准差，利用平均数的定义求解A，B，利用标准差和方差的关系

5、求解C，D即可. 【详解】根据题意，设数据的平均数为,标准差为， 数据、、⋯、平均数是4, 则， 解得而数据的平均数是5, 可得，由方差公式可得， ， ， 解得，故D正确. 故选：D. 7. 在正三棱柱中，面ABC，，则异面直线与所成角余弦值为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别取的中点，可得是异面直线与所成角即为与所成角（或其补角），在中，由余弦定理求解即可. 【详解】分别取的中点， 连接，所以， 所以异面直线与所成角即为与所成角（或其补角）， 即，设，所以， ， 所以在中，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为

6、. 故选：A. 8. 在等腰中，，若点M为的垂心，且满足，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】合理作图，建立平面直角坐标系，利用垂心的性质得到之间的关系，进而求出，再利用二倍角公式求出，最后求出即可. 【详解】 如图，在等腰中，找底边的中点， 作，，交点即为垂心， 以为原点建立平面直角坐标系， 设，，故，，， 故，，， 故， 设，故，则， 故， 又，故，而，则，解得， 故，故，解得，可得， 易得，，可得，可得，解得， 由三线合一性质得平分，故，而， 由二倍角公式得，故，故C正确. 故选：C 【点睛】关键点点

7、睛：本题考查平面向量，解题关键是建立平面直角坐标系，然后表利用垂心的性质结合二倍角公式求出，最后得到即可． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若复数，为虚数单位，则下列说法正确是（） A. 在复平面内对应的点位于第四象限 B. C. （是z的共轭复数） D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】化简复数，由复数的几何意义可判断A；由复数的乘法运算和共轭复数的定义可判断BC；由复数模的几何意义可判断D. 【详解】因为， 对于A，z在复平面

8、内对应的点为，位于第四象限，故A正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，，，故C正确； 对于D，，则点表示以为圆心，为半径的圆， 表示点到原点的距离，所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 10. 下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（） A. 这10年粮食年产量的极差为15 B. 这10年粮食年产量的平均数为33 C. 这10年粮食年产量的中位数为29 D. 前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差 【答案】AC 【解析】 【分析】由折线图提供的数据进行计算估值判断． 【详解】由折线图知最大值是40，最小值是25

9、，极差是15，A正确； 平均值为，B错； 10年数据按从小到大排序为：，中位数为，C正确； 前5年数据波动比后5年数据波动要小，因此前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差，D错． 故选：AC． 11. 如图，已知正方体的棱长为1，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（） A. 存在点P，使平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为 D. 若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等体积法可计算出三棱锥的体积，可判断选

10、项B，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，设，根据线面平行的向量表示和垂直得向量数量积为列式，从而判断选项B，C，利用线面垂直的判定定理得平面，再证明四点共面，从而得平面，再由面面平行的性质可得平面截正方体的截面为正六边形，根据正六边形的性质计算面积即可判断选项D. 【详解】对于B，由等体积法，三棱锥的高为， 底面积，所以， 所以三棱锥的体积为定值，B正确； 对于A，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以， 若平面，则， 所以，即表示线段， 则当点在线段时，平面， 所以存在点，使得平面，A正确；

11、 对于C，，若， ，即， 所以点的轨迹就是线段， 轨迹长为，C正确； 对于D，如图取中点，连接， 由题可得，平面， 连接，因为，平面， 则，，又，     平面，则平面， 又取中点为，则， 有四点共面，则平面即为平面， 又由两平面平行性质可知，，，， 又都是中点，故是中点，是中点， 则平面截正方体的截面为正六边形， 又正方体棱长为，则， 故截面面积为，D错误. 故选：ABC 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，，，则最小角的余弦值＝______. 【答案

12、】## 【解析】 【分析】根据性质大边对大角确定三角形的最小角，再由余弦定理求最小角的余弦值. 【详解】因，，， 所以， 所以， 又， 所以最小角的余弦值为， 故答案为：. 13. 若虚数是关于的实系数方程的一个根，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据虚根成对原理可知方程的另一个虚根为，再由韦达定理计算可得. 【详解】因为是关于的实系数方程的一个根， 所以方程的另一个虚根为， 所以，解得，， 所以. 故答案为： 14. 我国历史悠久，各地出土文物众多.甲图为湖北五龙宫遗址出土的道家篆书法印.图乙是此印章中抽象出的几何图形的示意图.如图乙所示，在

13、边长为2的正八边形ABCDEFGH中，P是正八边形边上任意一点，则的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式求，取AC中点，根据向量运算法则化简可得，求，再求的最大值，可得结论. 【详解】正八边形内角和为， 则，取AC中点， 则， 所以， 又， 所以 由对称性可得，所以， 过点分别作，垂足为， 则都为等腰直角三角形，且， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，，，，的夹角为. （1）； （2）若，求实数； （3）

14、若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）利用数量积定义求，结合向量的模的性质和数量积运算律求； （2）根据向量垂直关系列方程，结合数量积运算律化简方程可求； （3）根据数量积性质由条件列不等式求的范围. 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴ 【小问2详解】 ∵, ∴ ，得 【小问3详解】 由已知，且与不共线， 由可得，， 所以， 若与共线，则可得， 所以， 所以由与不共线可得， 所以且， 所以的取值范围为，且. 16. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面ABC，，，M，N分别为，AC的中

15、点. （1）求证：平面； （2）求直线MN与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取BC中点K，借助三角形中位线性质及线面平行的判定推理即得. （2）根据给定条件，作出在平面上的射影，再在直角三角形中求解即可. 【小问1详解】 取BC中点K，连接NK，，由M为的中点，得，且， 又N为AC的中点，则，且， 因此四边形是平行四边形，即，平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 在三棱柱中，过点M作于，接NQ，而平面ABC， 则平面ABC，即平面，平面， 于是，平面，则平面， 直线MN与平面所成角为，由，， 得是等

16、腰直角三角形，，而， 则，， 因此， 所以直线MN与平面所成角的正弦值为. 17. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流. （1）应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ （2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示. （i）估计该直播平台商

17、家平均日利润的75百分位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）； （ii）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数. 【答案】（1）小吃类28家，生鲜类12家 （2）（i）75百分位数为487.5元，平均数为440元，（ii）个数为280 【解析】 【分析】（1）由题意求出小吃类所占的百分比，进而求出应抽取小吃类、生鲜类商家的数目； （2）（i）由频率分布直方图中各个小矩形的面积之和，求出，再由百分位数和平均数的计算公式求解即可；（ii）先求出平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”所占的比列，即可得出答案.

18、 【小问1详解】 根据分层抽样知： 应抽取小吃类家，生鲜类家， 所以应抽取小吃类28家，生鲜类12家. 【小问2详解】 （i）根据题意可得，解得， 设75百分位数为x，因为， 所以，解得， 所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元. 平均数为， 所以该直播平台商家平均日利润的平均数为440元. （ii）， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280. 18. 在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求角； （2）若点M在边上BC满足，且，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理化角

19、为边，再根据余弦定理即可得解； （2）法一：先量化结合基本不等式求出的最大值，再根据三角形的面积公式即可得解.法二：利用双余弦定理结合基本不等式求出的最大值，再根据三角形的面积公式即可得解. 【小问1详解】 由， 由正弦定理得， 即，所以， 又，所以； 【小问2详解】 法一：由M在边BC上满足，可得， 两边平方可得， 所以，所以， 当且仅当时取“”， 所以，所以， 即面积的最大值为. 法二：由，则， 由余弦定理可得， 即， 可得， 又因为， 所以， 当且仅当时取“＝”， 所以，所以， 即面积的最大值为. 19. 《九章算术》中，将底面为长方形且

20、有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马中，侧棱底面ABCD，且，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE. （1）证明：平面.试判断四面体是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； （2）设H点是AD的中点，若面EDB与面ABCD所成二面角的大小为，求四棱锥的外接球的表面积. 【答案】（1）证明见解析，是鳖臑，四个面的直角分别是，，， （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，，由线面垂直判定定理证明平面，由此证明，再证明，根据线面垂直判定定理证明平面，通过判断四面体的各面形状，判断是否为鳖

21、臑，并写出直角； （2）找中点，连接，过作，连接，证明就是面与面所成二面角的平面角，设，解三角形可得，利用正弦定理求的外接圆半径，由此确定的外接圆圆心，根据球的截面性质确定球心和球的半径，利用球的表面积公式可得结论. 【小问1详解】 因为底面，平面 所以， 因为为长方形，所以， 因为，平面 所以平面， 因为平面， 所以， 因为，点E是PC的中点， 所以， 因为，平面， 所以平面， 由平面PCD，平面PBC， 可知四面体的四个面都是直角三角形， 即四面体是一个鳖臑， 其四个面的直角分别是，，，； 【小问2详解】 找中点，连接，过做，连接； 因为E，F是PC，DC中点， 所以平面，面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面，所以就是面与面所成二面角的平面角； 设， 又因为， 所以，所以， 所以，又，得 所以，解得， 因为，，所以，，； 所以，； 设的外接圆半径为，外接圆圆心为， 则，， 过点作，，垂足分别，连接， 则，， 又，所以，所以， 设球心为，设， 若球心和点位于平面异侧， 则， ， 四棱锥的外接球的半径为， ， 若球心和点位于平面同侧，则 ， 解得（舍去）.