2020年高三数学练习题及答案（三）

《2020年高三数学练习题及答案（三）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高三数学练习题及答案（三）（24页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、一、单项选择题： 1已知集合 ， ，若 ，则实数 的|Axa 2121|log4log5BxxABa 取值范围为 A B,50,4 C D,1,1 【答案】D 【解析】由 ，得 ， 2121|log4log5Bxx2401,4,55xx 若 ，则 故答案为 DA.a 2 “C5”是“点(2，1)到直线 3x4yC0 的距离为 3”的() A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由题意知点 到直线 的距离为 等价于 ，(2,1)340 xyC32 413C 解得 或 ，所以“ ”是“点 到直线 的距离为 ”的充分5C5(2,1)40 xy 不必

2、要条件，故选 B. 3已知随机变量 服从正态分布 ，则 （ ）)49,1(N)4(P A B C D 01. 026.028. 056. 【答案】C 【解析】正态曲线的对称轴是 ， , 若 XN(， 2)，有1x5.0P231， P(X)0682 6，P(2X 2 )0954 4，P(3 0 xxe， =0 xe 无零点。故选：A。 ()xef 7若点 P 是曲线 yx 2ln x 上任意一点，则点 P 到直线 yx2 的最小距离为() A B1 C D2 2 2 【答案】C 【解析】因为点 P 是曲线 yx 2ln x 上任意一点，所以当点 P 处的切线和直线 yx 2 平行时，点 P 到直

3、线 yx 2 的距离最小 因为直线 y x2 的斜率等于 1，曲线 yx 2ln x 的导数 y2x ， 1 令 y1，可得 x1 或 x (舍去) ，所以在曲线 yx 2ln x 上与直线 yx2 平2 行的切线经过的切点坐标为(1,1)， 所以点 P 到直线 yx2 的最小距离为 ， |12| 故选：C. 8已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ a ） A B C D 10,21,2 【答案】A 【解析】函数 在 上为减函数， 1()xxfe(,0 函数 的图像开口向下，对称轴为 ， 2yx1x 所以函数 在区间 上为减函数， 21fx(0,) 且 .02e 所以函数 在 上为减函数.

4、fx(,) 由 得 .解得 .(1)(faf1a 12a 故选 A. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9四边形 内接于圆 ， ，下列结论正确的有（ ABCDO,60ABCDBCD ） A四边形 为梯形 B圆 的直径为 7BCDO C四边形 的面积为 D 的三边长度可以构成一个等差数列 534A 【答案】ACD 【解析】 5,3,60ABCDBC120 可证 120BADC8/ 显然 不平行ABCD 即四边形 为梯形，故 正确；A 在 中由余弦定理可得22

5、cosBDABD2253cos1049BD7 圆的直径不可能是 ，故 错误；7B 在 中由余弦定理可得BCD22cosDCBCD 解得 或 （舍去）2275cos60B83 11315sin20224BADS0si658BCD1343ABCDBADSS 故 正确； 在 中， ， ， ，满足3572ADB 的三边长度可以构成一个等差数列，故 正确；ABD 故选： C 10我们通常称离心率为 的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆 512 ， 为顶点， 为焦点， 为椭圆上一点，满足下 2:1(0)xyCab12,AB12,FP 列条件能使椭圆 为“ 黄金椭圆” 的有（ ） A 为等比数列12|,|,

6、|FA B 1290 C 轴，且1PFx21/POAB D四边形 的内切圆过焦点12AB12,F 【答案】BD 【解析】 2:1(0)xyCab ，1212,0,AaB12,0,Fc 对于 ： 为等比数列12|,|,|FA 则 1212|Aac2 不满足条件，故 错误； 13eA 对于 ：B1290F2112A 22acab 即 解得 或 （舍去）满足条件220c210e 512e512e 故 正确；B 对于 ： 轴，且C1PFx21/POAB2,bca 即 解得21POABk bcacab 不满足题意，故 错误； 2ceC 对于 ：四边形 的内切圆过焦点D12AB12,F 即四边形 的内切圆

7、的半径为 ，12 c2abc42430 解得 （舍去）或421e 235e235e5 故 正确D 故选： BD 11如图，在正方体 中，点 在线段 上运动，则 （ ）1ABCDP1BC A直线 平面1BD1AC B三棱锥 的体积为定值1P C异面直线 与 所成角的取值范围是A1 45,90 D直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为1P1CD 63 【答案】ABD 【解析】对于选项 A,连接 ,由正方体可得 ,且 平面 ,则1B11ACBD11DCBA ,所以 平面 ,故 ；同理,连接 ,易证得 ,则1BAC1D1 平面 ,故 A 正确；D 对于选项 B, ,因为点 在线段 上运动,所以 ,面积

8、为11PACDAPV1BC112ADP SB 定值,且 到平面 的距离即为 到平面 的距离, 也为定值,故体积为定值, 故1A B 正确； 对于选项 C,当点 与线段 的端点重合时, 与 所成角取得最小值为 ,故 C 错P1BCP1D60 误； 对于选项 D,因为直线 平面 ,所以若直线 与平面 所成角的正弦值最大,则1D1A1C1A 直线 与直线 所成角的余弦值最大,则 运动到 中点处, 即所成角为 ,设1CP1BDP1BC1CBD 棱长为 1,在 中, ,故 D 正确1Rt 1126cos3CB 故选：ABD 12已知函数 是偶函数，且 ，若 ，()fx(5)()fxf()singxfx

9、，则下列说法正确的是（ ）()coshxf A函数 是偶函数()ygx B10 是函数 的一个周期f C对任意的 ，都有xR(5)()gx D函数 的图象关于直线 对称()yh 【答案】BCD 【解析】函数 是偶函数，且 ，()fx(5)()fxf ，(5)5)fff ，即 ，(fxfx()10)fx 10 是函数 的一个周期，B 对；()f 又 是偶函数，且 ，()fx()singxfx ，singfif()sin()fxg 函数 是奇函数，A 错；()yx ，(5gsin(5)fx()sin(5)fx(5)sinfx ，(5)gx()sin(5)fx()sin(5)fx(5)sinfx 又

10、 ，ff ，故 C 对；(5)()gx 是偶函数，且 ，()f ()coshxfx ，5hx()cs5f()(5)fx(5)cosfx ，()o()fxcosff ，5hx()cs5f()(5)fxx(5)cosfx 又 ，()ff ，5hx() 函数 的图象关于直线 对称，D 对；y5x 故选：BCD 3、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13在三角形 中，点 是线段 的中点， ，则ABCMBC 20,|ABCA _.M 【答案】 5 【解析】因为 ，故 ，|ABCA 22|BAC 化简得到 ，故 为直角三角形且 为斜边.0 又 ，故 ，因为 为斜边上的中线，故 .

11、20BC25AM5AM 故答案为： . 14已知数列 满足 ，则 _.na212loglnna 531a 【答案】4 【解析】因为 ，所以 ，即数列 是以 2 为公比 12122logllognnnaa12nana 的等比数列，所以 . 253114qa 故答案为：4. 15在直角三角形 ABC 中，点 D 是斜边 AB 上的点，且满足 ，ACD4545B， 设 ，则 ， 满足的相等关系式是_ ；三角形AC,2xBy， xy ABC 面积的最小值是_ 【答案】 ， 2 1xy 【解析】作 ,DEACFB1DE 11,BDAxyxy112xyx ，面积最小值为 2 42S 16如图，平行四边形形

12、状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的，将它沿虚线 折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为_； 若该六面体内有一小球，则小球的最大体积为_ 【答案】 328679 【解析】 （1）因为 ，所以该六面体的表面积为 . 13()22S32 （2）由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时， 每个三角形面积是 ，六面体体积是正四面体的 2 倍，所以六面体体积是 . 34 26 由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和 五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设球的半径为 ，R 所以 ， 21366()49R 所以球的体积

13、. 33()827V 故答案为： ； .2 8679 4、解答题：本小题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 10 分）已知数列 满足： ， na123 132naN （1）求数列 的通项公式；na （2）若数列 满足 ，求 的前 n 项和 nb31lognnanbnT 【答案】 （1） ；（2）13na 24nnT 【解析】 （1）令 123 132nnSa 当 时，n1a 当 时，2 13nnS-= 当 时，满足 ，1 1a1na 所以 的通项公式为 n 13n （2）由（1）得 1133loglognnnba 12213nnnT0 12

14、3213nnn 由减去得 nnT- 所以 的前 n 项和 nb 2134nn 18 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平PABCDABPA 面 ， ，点 、 分别在线段 、 上，且 ，ABCD 12PABEMPEMC 其中 ，连接 ，延长 与 的延长线交于点 ，连接 0CF,F （）求证： 平面 ；MEPFD （）若 时，求二面角 的正弦值； 12AE （）若直线 与平面 所成角的正弦值为 时，求 值PEBC 5 【答案】 （）证明见解析；（） ；（） . 6338 【解析】 （）在线段 上取一点 ，使得 ， ，PDN PDNPMC 且 ，/MNDC 1 ， AEB

15、， 且 ， 1/CABD 且 ，AEMN 四边形为平行四边形， ，/ 又 平面 ， 平面 ，ANPFDMEPFD 平面 /E （）以 为坐标原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系AAFBPxyz ，0， ， ，0， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ，()(P1)(0)(1C)(1D) ， ，1， ， ，0，2 (E)(F) 设平面 的一个法向量为 ，PA,nxyz ， ，(0,1)E (0,1) ，令 ， ， ， nPyzAz1y(0,1)m 设平面 的一个法向量为 ，EF(,)xz ， ，(0,1)P (1,0)P ， mEyzFx 令 ， ， ， ，1z1(,1)m ，

16、 3cos,|2nm ， 26sin,1cos,3n 二面角 的正弦值为 APEF （）令 ， ， ， ， ，(0h)02h(0,1)PEh 设平面 的一个法向量为 ，PEA1,nxyz ， ，(0,21)B (,0)C ，令 ， 120nPByzx1y ，z1(0,2)n 由题意可得： ， 112|5|cos,PEnh ， 34h ， AE38B 19 （本小题满分 12 分）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为 12, ，三人各射击一次，击中目标的次数记为 .(01) （1）求 的分布列及数学期望； （2）在概率 ( =0，1，2，3)中, 若 的值最大, 求实数 的取值范围.(=

17、) (=1) 【答案】 （1） ， 的分布列为 4+12 0 1 2 3 P (1a) 212 (1a 2)12 (2a a2)12 22 （2） (0, 12 【解析】 (1)P()是“ 个人命中，3 个人未命中”的概率其中 的可能取值为 0、1、2、3. P(0) (1a) 2 (1a) 2； 01(112)02 12 P(1) (1a) 2 a(1a) (1a 2)； 111202 01(112)12 12 P(2) a(1a) a2 (2aa 2)； 111212 01(112)22 12 P(3) a2 . 111222 22 所以 的分布列为 0 1 2 3 P (1a) 212

18、(1a 2)12 (2a a2)12 22 的数学期望为 E()0 (1 a)21 (1a 2)2 (2aa 2)3 . 12 12 12 22 4+12 (2)P(1)P(0) (1a 2)(1a) 2a(1a)； 12 P(1)P( 2) (1a 2)(2a a 2) ； 12 122 P(1)P( 3) (1a 2)a 2 . 12 1222 由 和 0a1，得 0a ，即 a 的取值范围是 . (1)0,12 2 0,122 2 0 12 (0,12 20 （本小题满分 12 分）在 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c，且 223,3asinCcosAbc 求 A 和 B

19、 的大小；1 若 M，N 是边 AB 上的点， ，求 的面积的最小值2 ,43MCNbCMN 【答案】 （1） ， （2）6 AB 【解析】 ，3asinCcos 由正弦定理得： ，iAincsA ， ，00sin 可得 ，即 ;3siAco 3taA ,0 ,6 A 由 223acbac 由余弦定理可得： ， 223bosBac ，0B 6 如图所示:2 设 ， ,MCA 03 在 中由正弦定理,得 , CMAsini 由 可知 , ,1 A64ab 所以: , 2CM6sin 同理 , 2Ncos 由于 , MC3 故 ， CMN13334CN112 2266Ssinsincosin 此时

20、 6 故 的面积的最小值为 CMN 43 21 （本小题满分 12 分）在直角坐标系 中，曲线 C：y= 与直线xoy 24x （ 0）交与 M,N 两点，ykxa （）当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； （）y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPM=OPN？说明理由. 【答案】 （） 或 （）存在0axy0axy 【解析】 （）由题设可得 ， ，或 ， .(2,)M(2,)Na(2,)Ma(2,)Na ，故 在 = 处的导数值为 ，C 在 处的切线方程为 12yx24yxa(,) ，即 .()aa0y 故 在 =- 处的导数值为- ，C 在 处的切线方

21、程为 24xyaa(2,)a ，即 .()a0 xy 故所求切线方程为 或 .aa （）存在符合题意的点，证明如下： 设 P（ 0，b）为复合题意得点， ， ，直线 PM，PN 的斜率分别为1(,)Mxy2(,)Nxy .12,k 将 代入 C 得方程整理得 .yxa240 xka .12124,k = = . 1212ybx1212()kxabx()kab 当 时，有 =0，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，ba12k 故OPM=OPN ，所以 符合题意.(0,)Pa 22 （本小题满分 12 分）已知函数 . 21()ln()fxaxR （1）若 在定义域上不单调，求 的取

22、值范围；()fx （2）设 分别是 的极大值和极小值，且 ，求 的取值范围. 1,aemn()fxSmnS 【答案】(1) ；(2) .2, 4210,e 【解析】由已知 ， ,fxaxR （1）若 在定义域上单调递增，则 ，即 在 上恒成立，fx0fx 1ax0, 而 ，所以 ； 2,x2a 若 在定义域上单调递减，则 ，即 在 上恒成立，fx0fx 1ax0, 而 ，所以 . 12,xa 因为 在定义域上不单调，所以 ，即 .f 2,a （2）由（1）知，欲使 在 有极大值和极小值，必须 .fx0,2a 又 ，所以 . ae12ae 令 的两根分别为 ， ， 210 xfx 1x2 即 的两根分别为 ， ，于是 .210 xa1x2 12ax 不妨设 ，12x 则 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，fx10, 12,x2,x 所以 ， ，1mf2nf 所以 2212112lnlnSfxfxaxax211212lnxa . 2112112112 2ll lnxxxx 令 ，于是 ， 120,xtlnStt ， 2112212 1,xxt ae 由 ，得 ， 21te221te 又 ，所以 .01t2 te 因为 ， 2210Stt 所以 在 上为减函数， lnt2,e 所以 . 4210,eS