高中数学《椭圆》文字素材2新人教A版选修1-1

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1、高中数学椭圆文字素材2 新人教 A 版选修 1-1一、 相关性质由于平面截圆锥（或圆柱）得到的图形有可能是椭圆，所以它属于一种圆锥截线。例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）：将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压， 它们碰到截面的时候停止， 那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。设两点为F1、 F2对于截面上任意一点P，过 P 做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2则 PF1=PQ1、 PF2=PQ2，所以 PF1+PF2=Q1Q2由定义 1 知：截面是一个椭圆，且以F1、 F2 为焦点用同样的方法，也可以证

2、明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆椭圆有一些光学性质：椭圆的面镜 （以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180 度形成的立体图形，其外表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）二、椭圆的第二定义及其推导过程定义：当点 M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ec (0 e 1)a时，这个点的轨迹是椭圆一般称之为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率其具体推导过程如下：c点 M (x， y

3、) 与 定 点 F (c，0 ) 的 距 离 和 它 到 定 直 线 l : x(ac0) ，求点 M的轨迹a2的 距 离 的 比 是 常 数ca解：设 d 是点 M到直线 l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合由此得( xc) 2y2c a2xacMFc P M |da将上式两边平方，并化简，得(a2c2 )x2a2 y2a2 (a2c2 ) 设 a2c2b2 ，就可化成x2y 21(ab 0)a2b2这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆三、第二定义的应用用心爱心专心1例椭圆x2y21 上有一点 P ，它到椭圆的左准线的距离等于10，求点 P 到它的10064右焦点的距离解： a2100， b264 ， ca2 b2100 64 6c63 e10a5x，则 x3依椭圆的第二定义，设P 点到椭圆左焦点的距离为 x 6 点 P 到椭圆右焦点距离为 2 106 14 105评述：椭圆第二定义的巧妙运用可以使问题化繁为简用心爱心专心2