线性规划在管理中的应用课件

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1、线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用 11 3452 线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用 线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用 2 线 性 规 划 问 题 的 建 模 过 程 1. 理 解 要 解 决 的 问 题 ， 了 解 解 题 的 目 标 和条 件 ； 2. 定 义 决 策 变 量 （ x1 ， x2 ， ， xn） ， 每 一组 值 表 示 一 个 方 案 ； 3. 用 决 策 变 量 的 线 性 函 数 形 式 写 出 目 标 函数 ， 确 定 最 大 化 或 最 小 化 目 标 ； 4. 用 一 组 决 策 变 量 的 等 式 或 不 等 式 表 示 解决 问

2、题 过 程 中 必 须 遵 循 的 约 束 条 件 。 线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用 3 人 力 资 源 分 配 的 问 题 （ 1） 例 1 某 昼 夜 服 务 的 公 交 线 路 每 天 各 时 间 段 内 所 需 司 机 和 乘务 人 员 数 如 下 ： 设 司 机 和 乘 务 人 员 分 别 在 各 时 间 段 一 开 始 时 上 班 ， 并 连 续工 作 八 小 时 ， 问 该 公 交 线 路 怎 样 安 排 司 机 和 乘 务 人 员 ， 既 能 满 足 工 作 需 要 ， 又 配 备 最 少 司 机 和 乘 务 人 员 ? 线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用

3、 4 人 力 资 源 分 配 的 问 题 （ 1）解 ： 设 xi 表 示 第 i 班 次 时 开 始 上 班 的 司 机 和 乘 务 人 员 数 ， 这 样 我 们 建 立 如下 的 数 学 模 型 ： 目 标 函 数 ： min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约 束 条 件 ： s.t. x1 + x6 60 x1 + x2 70 x 2 + x3 60 x3 + x4 50 x4 + x5 20 x5 + x6 30 x1, x2, x3, x4, x5, x6 0最 优 解 ： x1 = 50， x2 = 20， x3 = 50， x4 = 0， x5 = 2

4、0， x6 = 10， 共 150 人 。 线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用 5 人 力 资 源 分 配 的 问 题 （ 2） 例 2 一 家 中 型 的 百 货 商 场 ， 它 对 售 货 员 的 需 求 经 过 统 计 分析 如 下 表 所 示 。 为 了 保 证 售 货 人 员 充 分 休 息 ， 售 货 人 员 每周 工 作 5天 ， 休 息 两 天 ， 并 要 求 休 息 的 两 天 是 连 续 的 。 问 应该 如 何 安 排 售 货 人 员 的 作 息 ， 既 满 足 工 作 需 要 ， 又 使 配 备的 售 货 人 员 的 人 数 最 少 ？ 时 间 所 需 售 货

5、员 人 数星 期 日 28星 期 一 15 星 期 二 24星 期 三 25星 期 四 19 星 期 五 31星 期 六 28 线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用 6 人 力 资 源 分 配 的 问 题 （ 2）解 ： 设 xi ( i = 1, 2, , 7) 表 示 星 期 一 至 日 开 始 休 息 的 人 数 ， 这 样 我 们 建 立 如下 的 数 学 模 型 。 目 标 函 数 ： min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 约 束 条 件 ： s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 28 x2 + x3 + x4 + x5 +

6、 x6 15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7 24 x 4 + x5 + x6 + x7 + x1 25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2 19 x6 + x7 + x1 + x2 + x3 31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4 28 x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 0最 优 解 ： x1 = 12， x2 = 0， x3 = 11， x4 = 5， x5 = 0， x6 = 8， x7 = 0， 共 36 人 。 线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用 7 生 产 计 划 的 问 题 （ 1） 例 3 某 公 司 面 临 一

7、个 是 外 包 协 作 还 是 自 行 生 产 的 问 题 。 该 公 司 生 产 甲 、乙 、 丙 三 种 产 品 ， 都 需 要 经 过 铸 造 、 机 加 工 和 装 配 三 个 车 间 。 甲 、 乙两 种 产 品 的 铸 件 可 以 外 包 协 作 ， 亦 可 以 自 行 生 产 ， 但 产 品 丙 必 须 本 厂铸 造 才 能 保 证 质 量 。 数 据 如 表 。 问 ： 公 司 为 了 获 得 最 大 利 润 ， 甲 、 乙 、丙 三 种 产 品 各 生 产 多 少 件 ？ 甲 、 乙 两 种 产 品 的 铸 造 中 ， 由 本 公 司 铸 造和 由 外 包 协 作 各 应 多

8、 少 件 ？ 线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用 8 生 产 计 划 的 问 题 （ 1）解 ： 设 x1, x2, x3 分 别 为 三 道 工 序 都 由 本 公 司 加 工 的 甲 、 乙 、 丙 三 种 产 品 的 件 数 ， x4, x5 分 别 为 由 外 协 铸 造 再 由 本 公 司 加 工 和 装 配 的 甲 、 乙 两 种 产 品 的 件 数 。 求 xi 的 利 润 ： 利 润 = 售 价 - 各 成 本 之 和 产 品 甲 全 部 自 制 的 利 润 23-(3+2+3)=15 产 品 甲 铸 造 外 协 、 其 余 自 制 的 利 润 23-(5+2+3)=1

9、3 产 品 乙 全 部 自 制 的 利 润 18-(5+1+2)=10 产 品 乙 铸 造 外 协 、 其 余 自 制 的 利 润 18-(6+1+2)=9 产 品 丙 的 利 润 16-(4+3+2)=7 可 得 到 xi （ i = 1,2,3,4,5） 的 利 润 分 别 为 15、 10、 7、 13、 9 元 。 线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用 9 生 产 计 划 的 问 题 （ 1）通 过 以 上 分 析 ,可 建 立 如 下 的 线 性 规 划 模 型 :目 标 函 数 ： max 15x1 + 10 x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 约 束 条 件 ： 5

10、x1 + 10 x2 + 7x3 8000 6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 12000 3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 10000 x 1, x2, x3, x4, x5 0最 优 解 ： x1 = 1600， x2 = x3 = x4 = 0， x5 = 600 线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用 10 生 产 计 划 的 问 题 （ 2） 例 4 永 久 机 械 厂 生 产 、 、 三 种 产 品 ， 均 要 经 过 A、 B两 道 工 序 加 工 。 设 有 两 种 规 格 的 设 备 A1、 A2能 完 成 A 工 序 ；有 三

11、种 规 格 的 设 备 B1、 B2、 B3能 完 成 B 工 序 。 可 在 A、B的 任 何 规 格 的 设 备 上 加 工 ； 可 在 任 意 规 格 的 A设 备 上 加工 ， 但 对 B工 序 ， 只 能 在 B1设 备 上 加 工 ； 只 能 在 A2与 B2设 备 上 加 工 。 数 据 如 表 。 问 ： 为 使 该 厂 获 得 最 大 利 润 ， 应如 何 制 定 产 品 加 工 方 案 ？ 线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用 11 生 产 计 划 的 问 题 （ 2）解 ： 设 xijk 表 示 第 i 种 产 品 ， 在 第 j 种 工 序 上 的 第 k 种 设

12、 备 上 加 工 的 数 量 。约 束 条 件 为 ： s.t. 5x111 + 10 x211 6000 （ 设 备 A1 ） 7x112 + 9x212 + 12x312 10000 （ 设 备 A2 ） 6x121 + 8x221 4000 （ 设 备 B1 ） 4x 122 + 11x322 7000 （ 设 备 B2 ）7x123 4000 （ 设 备 B3 ）x111+ x112 = x121 + x122 + x123 （ 产 品 在 A、 B工 序 加 工 的 数 量 相 等 ）x211+ x212 = x221 （ 产 品 在 A、 B工 序 加 工 的 数 量 相 等 ）

13、x312 = x322 （ 产 品 在 A、 B工 序 加 工 的 数 量 相 等 ） xijk 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3 线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用 12 生 产 计 划 的 问 题 （ 2）目 标 函 数 为 计 算 利 润 最 大 化 ， 利 润 的 计 算 公 式 为 ： 利 润 = （ 销 售 单 价 - 原 料 单 价 ） * 产 品 件 数 之 和 -（ 每 台 时 的 设 备 费 用 * 设 备 实 际 使 用 的 总 台 时 数 ） 之 和 。这 样 得 到 目 标 函 数 ：max (1.25 0.25)(x 111

14、+x112) + (2 0.35)x221 + (2.8 0.5)x312 300/6000(5x111+10 x211) 321/10000(7x112+9x212+12x312) 250/4000(6x121+8x221) 783/7000(4x122+11x322) 200/4000(7x123)经 整 理 可 得 ： max 0.75x111 + 0.7753x112 + 1.15x211 + 1.3611x212 + 1.9148x312 0.375x121 0.5x221 0.4475x122 1.2304x322 0.35x123解 得 ： x111 = 1200， x112 =

15、 230.049， x211 = 0， x212 = 500， x312 = 324.138， x121 = 0， x 221 = 500， x122 = 858.6206， x322 = 324.138， x123 = 571.4286 线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用 13 生 产 计 划 的 问 题 （ 2） 另 解 ： 设 yijk 表 示 在 第 j 种 设 备 上 完 成 工 序 A、 在 第 k 种 设 备 上 完 成 工 序 B的 第 i 种 产 品的 数 量 。 目 标 函 数 为 ： max (1.25 0.25) (y111 + y112 + y113 + y1

16、21 + y122 + y123) + (2 0.35) (y211 + y221) + (2.8 0.5) y322 300/6000 5(y111 + y112 + y113) + 10 y211 321/10000 7(y121 + y122 + y123) + 9 y221 +12 y322 250/4000 6(y111 + y121) + 8(y211 + y221) 783/7000 4(y 112 + y122) + 11 y322 200/4000 7(y113 + y123) 约 束 条 件 为 ：s.t. 5(y111 + y112 + y113) + 10 y211 6

17、000 （ 设 备 A1 ） 7(y121 + y122 + y123) + 9 y221 +12 y322 10000 （ 设 备 A2 ） 6(y111 + y121) + 8(y211 + y221) 4000 （ 设 备 B1 ） 4(y112 + y122) + 11 y322 7000 （ 设 备 B2 ） 7(y113 + y123) 4000 （ 设 备 B3 ） y ijk 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3 线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用 14 套 裁 下 料 问 题 例 5 某 工 厂 要 做 100套 钢 架 ， 每 套 用

18、长 为 2.9m， 2.1m，1.5m 的 圆 钢 各 一 根 。 已 知 原 料 每 根 长 7.4m， 问 ： 应 如 何 下料 ， 可 使 所 用 原 料 最 省 ？解 ： 共 可 设 计 下 列 5 种 下 料 方 案 ， 见 下 表设 x 1, x2, x3, x4, x5 分 别 为 上 面 5 种 方 案 下 料 的 原 材 料 根 数 。 线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用 15 套 裁 下 料 问 题 最 优 解 ： x 1=30， x2=10， x3=0， x4=50， x5=0 约 束 条 件 中 ， 用 “ =”还 是 “ ” ？目 标 函 数 ： min x1

19、 + x2 + x3 + x4 + x5 约 束 条 件 ： s.t. x1 + 2x2 + x4 100 2x3 + 2x4 + x5 100 3x1 + x2 + 2x3 + 3x5 100 x1, x2, x3, x4, x5 0 线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用 16 配 料 问 题 （ 1） 例 6 某 工 厂 要 用 三 种 原 料 1、 2、 3混 合 调 配 出 三 种 不 同 规 格 的 产 品 甲 、乙 、 丙 ， 数 据 如 下 表 。 问 ： 该 厂 应 如 何 安 排 生 产 ， 使 利 润 收 入 为 最 大 ？ 解 ： 设 xij 表 示 第 i 种 （

20、 甲 、 乙 、 丙 ） 产 品 中 原 料 j 的 含 量 。目 标 函 数 ： 利 润 最 大 ， 利 润 = 收 入 原 料 支 出 约 束 条 件 ： 规 格 要 求 4 个 ； 供 应 量 限 制 3 个 。 线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用 17 配 料 问 题 （ 1）目 标 函 数 ：max 50 (x11+x12+x13 ) + 35 (x21+x22+x23) + 25 (x31+x32+x33) 65 (x11+x21+x31) 25 (x12+x22+x32) 35(x13+x23+x33)= 15x11 + 25x12 + 15x13 30 x21 + 10

21、 x22 40 x31 10 x33 约 束 条 件 ： 从 第 1个 表 中 有 ： x 11 0.5(x11 + x12 + x13) x12 0.25(x11 + x12 + x13) x21 0.25(x21 + x22 + x23) x22 0.5(x21 + x22 + x23) 从 第 2 个 表 中 有 ： x11 + x21 + x31 100 x12 + x22 + x32 100 x13 + x23 + x33 60 线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用 18 配 料 问 题 （ 1） 线 性 规 划 模 型 为 ：目 标 函 数 ： max z = 15x11+2

22、5x12+15x13 30 x21+10 x22 40 x31 10 x33 约 束 条 件 ： s.t. 0.5 x11 0.5 x12 0.5 x13 0 （ 原 材 料 1不 少 于 50%） 0.25x11+0.75x12 0.25x13 0 （ 原 材 料 2不 超 过 25%） 0.75x 21 0.25x22 0.25x23 0 （ 原 材 料 1不 少 于 25%） 0.5 x21+0.5 x22 0.5 x23 0 （ 原 材 料 2不 超 过 50%） x11 + x21 + x31 100 (供 应 量 限 制 ） x12 + x22 + x32 100 (供 应 量 限

23、 制 ） x13 + x23 + x33 60 (供 应 量 限 制 ） xij 0， i = 1,2,3； j = 1,2,3解 得 ： x11 = 100， x21 = 50， x31 = 50 线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用 19 配 料 问 题 （ 2） 例 7. 汽 油 混 合 问 题 。 一 种 汽 油 的 特 性 可 用 两 种 指 标 描 述 ， 用 “ 辛 烷 数 ”来 定 量 描 述 其 点 火 特 性 ， 用 “ 蒸 汽 压 力 ” 来 定 量 描 述 其 挥 发 性 。 某 炼 油厂 有 1、 2、 3、 4种 标 准 汽 油 ， 其 特 性 和 库 存 量

24、 列 于 下 表 中 ， 将 这 四 种标 准 汽 油 混 合 ， 可 得 到 标 号 为 1， 2的 两 种 飞 机 汽 油 ， 这 两 种 汽 油 的 性 能指 标 及 产 量 需 求 也 列 于 下 表 中 。 问 应 如 何 根 据 库 存 情 况 适 量 混 合 各 种 标准 汽 油 ， 既 满 足 飞 机 汽 油 的 性 能 指 标 ， 又 使 2号 汽 油 满 足 需 求 ， 并 使 得 1号 汽 油 产 量 最 高 ？标 准 汽 油 辛 烷 数 蒸 汽 压 力 (g/cm 2) 库 存 量 (L)1 107.5 7.1110-2 3800002 93.0 11.38 10-2

25、2652003 87.0 5.6910-2 4081004 108.0 28.45 10-2 130100飞 机 汽 油 辛 烷 数 蒸 汽 压 力 (g/cm2) 产 量 需 求1 不 小 于 91 不 大 于 9.96 10-2 越 多 越 好2 不 小 于 100 不 大 于 9.96 10 -2 不 少 于 250000 线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用 20 配 料 问 题 （ 2） 解 ： 设 xij为 飞 机 汽 油 i 中 所 用 标 准 汽 油 j 的 数 量 (L)。 目 标 函 数 为 飞 机 汽 油 1的 总 产 量 ： x11+ x12+ x13+ x14

26、库 存 量 约 束 为 ： x11+ x21 380000 x12+ x22 265200 x13+ x23 408100 x 14+ x24 130100 产 量 约 束 为 飞 机 汽 油 2的 产 量 ： x21+ x22+ x23+ x24 250000 线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用 21 配 料 问 题 （ 2） 物 理 上 的 分 压 定 律 ： 得 到 有 关 蒸 汽 压 力 的 约 束 条 件 ：即同 理 有 ： 同 理 ， 得 到 有 关 辛 烷 数 的 约 束 条 件 ：1n j jjpV p v 1n jjj vp p V 2 2 2 2 211 12 13

27、 14 11 12 13 147.11 10 11.38 10 5.69 10 28.45 10 9.96 10 x x x xx x x x 11 12 13 142.85 1.42 4.27 18.49 0 x x x x 21 22 23 242.85 1.42 4.27 18.49 0 x x x x 11 12 13 14 21 22 23 2416.5 2.0 4.0 17.0 07.5 7.0 13.0 8.0 0 x x x xx x x x 线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用 22 配 料 问 题 （ 2） 线 性 规 划 模 型 ： 11 12 13 1421 22

28、 23 2411 21 12 2213 2314 2411 12 13 1421 22 23 2411 12 13 1421 22max 2500003800002652004081001301002.85 1.42 4.27 18.49 02.85 1.42 4.27 18.49 016.5 2 4 17 07.5 7x x x xx x x xx xx xx xx xx x x xx x x xx x x xx x 23 2413 8 00,( 1,2; 1,2,3,4) ij x xx i j 线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用 23 投 资 问 题 （ 1） 例 8 某 部 门

29、 现 有 资 金 200万 元 ， 今 后 五 年 内 考 虑 给 以 下 的 项 目 投 资 ： 项 目 A： 从 第 一 年 到 第 五 年 每 年 年 初 都 可 投 资 ， 当 年 末 能 收 回 本 利 110%； 项 目 B： 从 第 一 年 到 第 四 年 每 年 年 初 都 可 投 资 ， 次 年 末 能 收 回 本 利 125%， 但规 定 每 年 最 大 投 资 额 不 能 超 过 30万 元 ； 项 目 C： 需 在 第 三 年 年 初 投 资 ， 第 五 年 末 能 收 回 本 利 140%， 但 规 定 最 大 投 资额 不 能 超 过 80万 元 ； 项 目 D：

30、需 在 第 二 年 年 初 投 资 ， 第 五 年 末 能 收 回 本 利 155%， 但 规 定 最 大 投 资额 不 能 超 过 100万 元 。 据 测 定 每 万 元 每 次 投 资 的 风 险 指 数 如 下 表 ： 问 ： （ 1） 应 如 何 确 定 这 些 项 目 的 每 年 投 资 额 ， 使 得 第 五 年 年 末 拥 有 资 金 的 本 利金 额 为 最 大 ？ （ 2） 应 如 何 确 定 这 些 项 目 的 每 年 投 资 额 ， 使 得 第 五 年 年 末 拥 有 资 金 的 本 利在 330万 元 的 基 础 上 使 得 其 投 资 总 的 风 险 系 数 为 最

31、 小 ？项 目 风 险 指 数 （ 次 /万 元 ）A 1B 3C 4D 5.5 线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用 24 投 资 问 题 （ 1） 注 意 两 个 问 题 ： 连 续 投 资 闲 置 资 金 决 策 变 量 ：设 xij ( i = 1 5， j = 1 4)表 示 第 i 年 初 投 资 于 A (j=1)、 B (j=2)、C (j=3)、 D (j=4)项 目 的 金 额 。 这 样 我 们 建 立 如 下 的 决 策 变量 ： A x 11 x21 x31 x41 x51B x12 x22 x32 x42C x33 D x24 线 性 规 划 在 管 理 中

32、的 应 用 25 投 资 问 题 （ 1） 约 束 条 件 ： 第 一 年 ： A当 年 末 可 收 回 投 资 ， 故 第 一 年 年 初 应 把 全 部 资 金 投 出 去 ，于 是 x11+ x12 = 200； 第 二 年 ： B次 年 末 才 可 收 回 投 资 ， 故 第 二 年 年 初 有 资 金 1.1 x11， 于 是 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； 第 三 年 ： 年 初 有 资 金 1.1x21+ 1.25x12， 于 是 x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x 12； 第 四 年 ： 年 初 有 资 金 1.1x31+ 1.25x

33、22， 于 是 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； 第 五 年 ： 年 初 有 资 金 1.1x41+ 1.25x32， 于 是 x51 = 1.1x41+ 1.25x32； B、 C、 D的 投 资 限 制 ： xi2 30 ( i =1、 2、 3、 4 )， x33 80， x24 100 非 负 条 件 ： xij 0 ( i = 1 5， j = 1 4) 目 标 函 数 ： max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用 26 投 资 问 题 （ 2） 决 策 变 量 ： 同 上

34、目 标 函 数 ： min f = x11+x21+x31+x41+x51 + 3(x12+x22+x32+x42) + 4x33 + 5.5x24 约 束 条 件 ：问 题 （ 1） 中 的 条 件“ 第 五 年 末 拥 有 资 金 本 利 在 330万 元 ” 的 条 件 ： 1.1x 51 + 1.25x42+ 1.4x33+ 1.55x24 330 线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用 27 投 资 问 题 （ 2） 决 策 变 量 ： 设 xij ( i = 1 5， j = 1 4)表 示 第 i 年 初 投 资 于 A (j=1)、 B (j=2)、 C (j=3)、 D

35、(j=4)项 目 的 金 额 。 设 si ( i = 1 5)表 示 第 i 年 的 闲 置 资 金 。A x11 x21 x31 x41 x51B x12 x22 x32 x42C x33 D x 24闲 置 s1 s2 s3 s4 s5 线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用 28 投 资 问 题 （ 2） 约 束 条 件 ： 第 一 年 ： 投 资 额 与 闲 置 资 金 之 和 为 总 资 金 ， 于 是 x11+ x12 + s1 = 200； 第 二 年 ： B次 年 末 才 可 收 回 投 资 ， 故 第 二 年 年 初 有 资 金 1.1 x11 + s1 ， 于 是 x

36、21 + x22+ x24 + s2 = 1.1x11 + s1 ； 第 三 年 ： 年 初 有 资 金 1.1x21+ 1.25x12 + s2 ， 于 是 x31 + x32+ x33 + s3 = 1.1x21+ 1.25x12 + s2 ； 第 四 年 ： 年 初 有 资 金 1.1x 31+ 1.25x22 + s3 ， 于 是 x41 + x42 + s4 = 1.1x31+ 1.25x22 + s3 ； 第 五 年 ： 年 初 有 资 金 1.1x41+ 1.25x32 + s4 ， 于 是 x51 + s5 = 1.1x41+ 1.25x32 + s4 ； B、 C、 D的 投

37、 资 限 制 ： xi2 30 ( i =1、 2、 3、 4 )， x33 80， x24 100 第 五 年 末 拥 有 资 金 本 利 在 330万 元 ： 1.1x51 + 1.25x42+ 1.4x33+ 1.55x24 + s5 330 非 负 条 件 ： xij 0 ( i = 1 5， j = 1 4)， si 0 ( i = 1 5) 目 标 函 数 ： min f = x11+x21+x31+x41+x51 + 3(x12+x22+x32+x42) + 4x33 + 5.5x24 线 性 规 划 在 管 理 中 的 应 用 29 作 业 2. (1) (3) 3. (1) 4. (1) 5 7 9