2011-2015云南压轴题精选题之4、二次函数与存在等腰三角形(含答案)

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1、二次函数与存在等腰三角形云南省近3年真题展示:1、(2013 大理 T233)如图，四边形 ABCD是等腰梯形，下底 AB在x轴上，点D在y轴上，直线 AC与y轴交 于点E (0, 1),点C的坐标为(2, 3).(1)求A、D两点的坐标；(2)求经过A、D、C三点的抛物线的函数关系式；(3)在y轴上是否在点P,使 ACP是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.%=1解得, K lb=ly=x+1,当 y=0 时，x=- 1, 点A的坐标为(-1, 0). 四边形ABCD是等腰才!形，C (2, 3), 点D的坐标为(0, 3).(2)设过A ( - 1,

2、0)、D (0, 3)、C (2, 3)三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,则有:a - b+c=O c=3a=l,解得b= - 2i c-3，抛物线的关系式为：y=x2 - 2x+3.(3)存在.作线段AC的垂直平分线，交 y轴于点P1,交AC于点F. .OA=OE,. OAE为等腰直角三角形，/ AEO=45,FEP = /AEO=45,. FEP|为等腰直角三角形. A (- 1, 0), C (2, 3),点 F 为 AC 中点， F1 1 3)F(? 2h等腰直角三角形4 FEP斜边上的高为. EP1=1,P1 (0, 2);以点A为圆心，线段 AC长电步径画弧，交 y轴于点

3、P2, P3.可求得圆的半径长 AP2=AC=3次.连接 AP2,则在 RtA AOP2 中，OP2y_ U=，(监)2 _ 12=百,P2 (0, Vn).点P3与点P2关于x轴对称，P3 (0, - V17)以点C为圆心，线段 CA长为半径画弧，交 y轴于点P4, P5,则圆的半径长 CF4=CA=3/2 ,在 RtCDE 中，CP|=3&, CD=2,DP4=，CPj _ 苏=己(m)2 _ 产旧,OP4=OD+DF4=3+、/H,P4 (0, 3+V14)；同理，可求得：P5 (0, 3-V14).综上所述，满足条件的点P有5个，分别为：Pi(0,2),P2(0, 旧)，P3(0,-

4、旧)，P4(0,3+JH),P59、y=-x交于A、B两点.(0, 3-714).2、(2013 德宏 T233)如图，已知直线 y=x与抛物线(1)(2)求交点A、B的坐标；y2.若yiy2,求x的取值范围;记一次函数y=x的函数值为yi,二次函数 产微工？的函数值为(3)在该抛物线上存在几个点， 使得每个点与 AB构成的三角形为等腰三角形？并求出不少于3个满足条件的点P的坐标.解：(1)如图，二直线y=x与抛物线y=x八 1 2,解得(肝。或卜二2行歹I尸0 I尸2A (0, 0), B (2, 2);(2)由(1)知，A (0, 0), B (2, 2).,一次函数y=x的函数值为yi,

5、二次函数y=*2的函数值为y2.，当yiy2时，根据图象可知 x的取值范围是：0vx0)与x轴的另一个交点为 A,过P (1, - m)作PM，x轴 与点M,交抛物线于点 B.点B关于抛物线对称轴的对称点为C.(1)若m=2,求点A和点C的坐标；(2)令m1,连接CA,若4ACP为直角三角形，求 m的值；(3)在坐标轴上是否存在点 E,使彳PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点 E的坐标；若 不存在，请说明理由.解：(1)若 m=2,抛物线 y=x2 - 2mx=x2- 4x,，对称轴 x=2,令 y=0 ,贝U x2 - 4x=0,解得 x=0, x=4, :. A (4,

6、0),. P (1, - 2),令 x=1 ,贝U y=- 3, B (1, - 3),，C ( 3, - 3).(2) ; 抛物线 y=x2- 2mx (m0),，A (2m, 0)对称轴 x=m,. P (1, - m),令 x=1 ,则 y=1 - 2m,.B (1, 1 -2m),C (2m- 1, 1 - 2m),PA2= ( - m) 2+ ( 2m - 1) 2=5m2- 4m+1 , PC2= (2m - 2) 2+ (1 - m) 2=5m2 - 10m+5. AC2=1+(1 2m) 2=2 - 4m+4m2, . ACP 为直角三角形，FA2=pc2+AC2,即 5m2-

7、 4m+1=5m2 - 10m+5+2 - 4m+4m2,aq整理得：2m2-5m+6=0,解得：m=-, m=1 (舍去)，故 m=-.(3) P(1, - m), C (2m-1, 1-2m),设直线 PC 的解析式为 y=kx+b,广-irrk+bi, 门 抄 c 1，解得k=1 - 2nP (2m_ 1) k+b2 PEXPC, 直线 PE 的斜率=2,设直线PE为y=2x+b,- m=2+b,解得 b = 2 - m,. .直线 PE ： y= - 2x- 2 - m,人1,L 、令 y=0 ,则 x= - 1 - ttit, . E ( 1 - m, 0),PE2= ( - m)

8、2+ (-2 m) 2=25-矛C2 24在x轴上不存在E点，令 x=0 ,则 y= - 2 - m,E (0, - 2- m)PE2= (- 2-2m) 2+1%PC2,，y轴上不存在E点，故坐标轴上不存在点 E,使得 PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形.4.(2014 资阳 T24)如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为 A (3, 0),与y轴的交点为 B (0, 3),其 顶点为C,对称轴为x=1.(1)求抛物线的解析式；(2)已知点M为y轴上的一个动点，当 ABM为等腰三角形时，求点 M的坐标；(3)将 AOB沿x轴向右平移 m个单位长度(0vmv3)得到另一个

9、三角形，将所得的三角形与ABC重叠部分的面积记为S,用m的代数式表示解：(1)由题意可知，抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为(-1, 0),则9a+3b+c0a= - 1a - b+c=O，解得” b二2 .故抛物线的解析式为 y= - x2+2x+3.(2)当 MA=MB 时，M (0, 0);当 AB=AM 时，M (0, 3);当 AB=BM 时，M (0, 3+3&)或 M (0, 33丫巧).点 M 的坐标为：(0, 0)、(0, -3)、(0, 3+3如)、(0, 3-3、匹).(3)平移后的三角形记为 PEF设直线AB的解析式为y=kx+b,则(3k+b=Ofk=

10、1)，解得，.则直线AB的解析式为y= - x+3.Lb=3b-3 AOB沿x轴向右平移 m个单位长度(0vmv3)得到 PEF,易得直线EF的解析式为y= - x+3+m .设直线AC的解析式为y=k x+b；则2J 则直线AC的解析式为y=- 2x+6.卜二6连ZBE,直线BE交AC于G,则G (2，3).2在 AOB沿x轴向右平移的过程中.当0vmE时，如图1所示.设PE交AB于K, EF交AC于M. 2则 BE=EK=m , PK=PA=3 - m ,y= - 2k+6(算二3 - m联立，解得1，即点M (3-m, 2m).尸-x+3+my=2m故 S=S pEfr_ Sa pak

11、S AFM=i PE 3pK AF?h= (3-m) _m?2m= -m +3m2222 222当m4,故此种情形不存在；2若PF=EF,则PF=1fe? 一 &PEPF+ PF 2,整理得PE=&PF，即a=3+a,不成立，故此种情形不存在；若 PE=EF,贝 U PE=rpe2 一点PE 叩 F+PF 2,整理得 PF=MPE 即返(3+a)班 a,解得 a=3.，P (0, 3).b)当点P在BC边上时，如答图2-2所示，此时PE=4.设 CP=a (0与2,故此种情形不存在;2若 PF=EF,贝U PF=、；fe二 . E-PF+PF.整理得 PE=2PF,即 4他成(7 a),解得

12、a=32,若PE=EF,贝U PE=q匠二赢诟而已 整理得PF=JPE,即亚(7a) =4、/L 解得a= - 1, 2故此种情形不存在;故此种情形不存在.,A (4, 0), B (2, 4), 可求得直线 AB解析式为：y=-2x+8;联立 y= 2x+8 与 y=x 3,解得 x=, y.33设直线BC与直线l交于点K,则K (二民，2).3 3c)当点P在线段BK上时，如答图2-3所示.设 P (a, 8 2a)(2与,则 Q (a, a-3),”8-2a,3PF=”3a).与 a)同理，可求得：EF=/pe2 - /2PE*PF+ PF 2若PE=PF,贝U 8-2a= (11-3a

13、),解得a=1 - 2H,故23此种情形不存在.d)当点P在线段KA上时，如答图2-4所示.PE、PF夹角为135, .只可能是 PE=PF成立.，点 P在/ KGA的平分线上.设此角平分线与 y轴交于点M,过点M作MNL直线l于点N,则OM=MN, MD班MN,由 OD=OM+MD=3,可求得 M (0, 3-3).又G (3, 0),可求得直线 MG的解析式为：y=(加-1) x+3-372.联立直线 MG: y=(1-1) x+3-3近与直线 AB: y=- 2x+8,可求得：P (1+2&, 6-4赤).e)当点P在OA边上时，此时PE=0,等腰三角形不存在.综上所述，存在?t足条件的

14、点巳点P坐标为：(0, 3)、(3, 2)、(1+2加，6-472).6. (2014 潜江仙桃 T25)已知抛物线经过 A (-2, 0), B (0, 2), C( 3, 0)三点，一动点 P从原点出发以12个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接 BP,过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q设点P的运动时间为t秒.(1)求抛物线的解析式；1 (2)当BQ: AP时，求t的值；2(3)随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M使4MPN等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点 M的坐标；若不存在，请说明理由.管用图解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,.抛物线经过 A (-2, 0),

15、 B (0, 2), C(2 0)三点,22b+c=0y= - -x32 - _lx+2.3- -1a+-|b+c=O，解得 lc=2(2) . ACL PR BOL AR . . Z AOQZ BOR90 , / PAR/ PBQ. AGBG2,AOCR BOP . . O(=OI=t .如图1,当tW2时，点Q在点B下方，此时BC=2 - t , AP=2+t.,BC:AR . . 2-t J (2+t) ,.t.如图2,当t2时，点Q在点B上方，此时BC=t - 2, AP=2+t .BQ=3AP,t -2=1 (2+t) ,，t =6.综上所述，t=Z或 6 时，BC=1aP.2232

16、(3)当t=、8- 1时，抛物线上存在点 M (1, 1);当t=3+3、网时，抛物线上存在点 M(- 3, -3).7. (2014 贵阳 T25)如图，经过点A (0, 6)的抛物线y=1x2+bx+c与x轴相交于B(2, 0), C两点.2(1)(2)抛物线(3)求此抛物线的函数关系式和顶点将(1)中求得的抛物线向左平移D的坐标；1个单位长度，再向上平移 m (m 0)个单位长度得到新抛物线 y1,若新y1的顶点P在ABCft,求 在(2)的结论下，新抛物线m的取值范围；y1上是否存在点 Q使彳# QA盟以AB为底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的解：(1)将

17、A (0, 6), B (一 20)代入 y=x2+bx+c,得,-6二 c0=2 - 2b+c.解得% ;-2c=- 6 y=x2 - 2x - 6.，顶点坐标为(2, -8);(2)将(1)中求得的抛物线向左平移 1个单位长度，再向上平移 m(m0)个单位长度得到新抛物线 yi= (x-2+1)2-8+m P (1, - 8+m .在抛物线 y=x2-2x-6 中易得 C (6, 0), 直线 Ag y2=x - 6.当 x=1 时，y2= - 5,- 5 - 8+m 0.解得：3 me 8;(3) A (0, 6), B ( 2, 0),线段AB的中点坐标为(-1, - 3),直线AB的

18、解析式为y=-3x- 6.，过AB的中点且与AB垂直的直线的解析式为：y=x-.直线y=x-与x=1的交点坐标为(1,-).，此时的点P的坐标为(1,-).，此时向上平移了 8- =U个单位.3.当3vmn时，存在两个 Q点，可作出两个等腰三角形；3当m=4Z时，存在一个点 Q可作出一个等腰三角形；3当JJvm 8时，Q点不存在，不能作出等腰三角形.38. (2014 绵阳 T25改编)如图，抛物线y=ax2+bx+c (a*0)的图象过点 M(-2,立)，顶点坐标为且与x轴交于A B两点，与y轴交于C点.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上的动点，当 PBC等腰三角形时，求点

19、P的坐标;解：(1)由抛物线顶点坐标为 N( - 1,可设其解析式为 y=a (x+1) 2+3立.33将 M( 2,0)代入，得 V5=a ( 2+1) 2+93 解得 a= -1. 33故所求抛物线白解析式为 y=- 返x2-延x+H 33(2)y=-9x2px+,，x=0 时，y=/3. C (0, V3).当 y=0 时，一x2 - 2x+=0.解得 x=1 或 x=- 3. 33. A (1, 0), B( - 3, 0) . BC=qB2+oc 2=25/3.设P ( - 1, g,显然P5PC所以当CP=CB时，有CP=J+ (m-行 2=2相,解得 瓜;当 BP=BC时，有 B

20、P=J (-1+3) 2 + 口2=24，解得 n=2&.综上，当 PBC为等腰三角形时，点 P的坐标为(-1,娟+1), (-1,英-瓜), (-1, 2g (T, - 2赤).9. (2014 遵义 T27改编)如图，二次函数 y=3x+bx+c的图象与x轴交于3C.若点巳Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿 AB, 点也随之停止运动.(1)求该二次函数的解析式及点 C的坐标；(2)当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在 x轴上是否存在点 等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由.崛-l(?”3%解：(1) ,一次函数 y=1x+bx+c的图象与x轴交于A

21、 (3, 0), B (- 1 , 0L1吗先+c 年-,428解得 *3.y=x2 - x - 4. C (0, -4).Oll - b+cc=- 433(2)存在.如图1,过点Q作QDXOA于D,此时QD/ OC 汕JA (3, 0), B ( - 1, 0),与 y 轴交于点AC边运动，其中一点到达端点时，另一E,使得以A, E, Q为顶点的三角形为),.: A (3, 0), B(1, 0), C (0, 4), O (0, 0)，AB=4, OA=3,OC=4.，A气不+产5, AQ=4. QD/OC,L _ j.QD=OC AO AC 4 3 5512AD*.5彳AQ的垂直平分线，

22、交 AO于E,此时AE=EQ,即 AEQ为等腰三角形,12设 AE=x,贝U EQ=x, DE=AD- AE=-x, 5在 RtEDQ中，（亚x） 2+ （J） 2=x2,解得 x虫.553OA-AE=3- 15=- I.-. E （ - 1, 0）. 333以Q为圆心，AQ长半径画圆，交 x轴于E,此时QE=QA=4,. ED=AD=1, . . AE=J?i . . OA AE=3幽=2. . E （一2 0）. 55555当 AE=AQ=4 时，: OA AE=3 - 4= - 1 , . E （ 1 , 0）.综上所述，存在?t足条件的点E,点E的坐标为（-40）或（-9, 0）或（-1, 0）.35