圆锥曲线的综合问题突破策略

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1、圆锥曲线综合问题之重点突破类型1:关于弦的中点以及弦的垂直平分线问题的策略这种问题主要是需要用到弦 AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差法或者韦达 走理产生弦AB的中点坐标 M,结合弦AB与它的垂直平分线 L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线 L的方程，然后解决相关问题。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦 AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形(即|DA|=|DB| )、曲线上存在两点 AB关于直线m对称等等.2【题1】椭圆C：二2 a2二 1(a b 0)的两个焦点为R、F2,点P在椭圆C上，且 b2PF1 F1F2,PF1PF214万(1)求椭圆

2、C的方程; 2(2)若直线l过圆X4x2y0的圆心M ,交椭圆C于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.【题1】解：(1) 2aPFiPF2又 F1F2F1F2PF2PF1202c.5故 b2 a2，椭圆C的方程为(2)圆的方程可化为:(X 2)2(y 1)25,故圆心 M ( 2,1)7分9分所求直线方程为y k(x 2) 1联立椭圆方程，消去 y ,得2222_(4 9k )x (36k18k)x 36k36k 27 0 A、B关于M对称2,Xi x218k 9k0八一 丁 2 12 分24 9k8 k - l :8x 9y 25 0 14分9,请同学们尝试点评点关于点对称的问

3、题，实质是“中点弦”问题，还可以用“点差法” 体会，并且比较两种解法的特点2【题2】知椭圆y2 1的左焦点为F,。为坐标原点.设过点F且不与坐标轴垂直的直 2求点G横坐标的取值范围.线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与X轴交于点G【题2】解：设直线 AB的方程为y k(x 1)(k 0),代入y2 i,整理得(1 2k2)X22_ 2_4kx 2k 2 0.Q直线AB过椭圆的左焦点 F,方程有两个不等实根.记 A(Xi, yi), B(X2, y2), AB 中点 N(%, y0),则 XX24k22P-AB的垂直平分线NG的方程为y1 .y0-(xX0).令y0,得XgXokyo2k

4、22k2 1k22k2 1k22 k2 112 Z4k2 2Xg0,点G横坐标的取值范围为1(2,0).AB的垂直平分线”点评注意AB中点M以及两直线的垂直关系求出“线段X2y2【题3】设F1、F2分别是椭圆 一+工=1的左、右焦点. 54(1)若P是该椭圆上的一个动点，求PF1 PF2的最大值和最小值；(2)是否存在过点 A (5, 0)的直线l与椭圆交于不同的两点C、D,使得|F2c|=|F2D|?若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由 .【题 3】解：(1)易知 a V5, b2,c1,Fi( 1,0)才2(1,0),设p (x,y),一ooo 4 o1 o则 PF1 PF2 (1

5、 x, y) (1 x,y)x2y21 = x2 4 x21- x2355x V5,国，当x 0,即点P为椭圆短轴端点时，PF1 PF2有最小值3;x ,5, .5.当xJ5,即点P为椭圆长轴端点时，PF1 PF2有最大值4点评本小题体现“消元”的思想和“函数”的思想，注意定义域(2)假设存在满足条件的直线 1 ,易知点A (5, 0)在椭圆的外部,当直线l的斜率不存在时,直线l与椭圆无交点，所在直线 l斜率存在，设为k,直线l的方程为yk(x5)22x y由方程组 54y k(x15)得(5k24)x250k2x 125k2 20 0依题意一 一 一 220(16 80k ) 0,设交点C(

6、Xi, yj、DM，y2),CD的中点为R(x0,y),yoX2k(X0又 |F2c|=|F2D|50k2Xi2 , x0 一5k 4_25) kSF2Rl kX225)kF2R25k25k2 420k5k2 4220k2,214 20 k20k )k kF2Rk5k2 425k25k2 4 -20k2=20k2-4,而 20k2=20k24 不成立, 综上所述，不存在直线1,使得|F2c|=|F2D|点评要注意从判别式得到k的范围，对于条件 |2C|=|F2D不要轻易将点 F2和C、D的坐标用两点间距离公式表示，否则陷入计算繁杂的圈套类型2:关于定点和定值问题策略【题4】已知点P与点F (2

7、, 0)的距离比它到直线 X+4 = 0的距离小2,若记点P的轨迹 为曲线C.直线L与曲线C相交于 A B两点，且 OAL OB.(1)求曲线C的方程。(2)求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标【题4】(1)解法1:点P与点F (2, 0)的距离比它到直线 x+4=0的距离小2,所以点P与点F (2, 0)的距离与它到直线 x+2 = 0的距离相等.由抛物线定义得：点 P在以F为焦点直线X +2=0为准线的抛物线上,抛物线方程为y2 8x.解法2：设动点 P(x, y),则，(x 2)2 y2 |x4| 24时，(x 2)2 y2 ( x 6)2,化简得:8(x 2),显然x 2,而x 4,

8、此时曲线不存在.4时，(x 2)2 y2 (x 2)2,化简得:8x.点评解法1巧妙地利用圆锥曲线的定义判断曲线轨迹,解法2直接利用题目的条件建立等量关系，体现了 “分类讨论”的思想方法(2)设直线L： y=kx+b与抛物线交于点(x1, y1 )、(x2, y2),若直线的斜率存在设为广, y=kx b 2则【2 8x，ky2 8y8b0,6432kb 02 所以小:又；28x1_ ，行 x1x28x222yV264b2 i?由OA OB,得“七x1 x28k,直线为y k(x 8),所以L过定点(8,0)若直线L的斜率不存在，则直线 OA(或OB的斜率为1 y x得x 8,直线L过定点(8

9、、0)y 8x综上所述，直线恒过定点(8,0).点评直线过定点问题，要将直线方程求出来利用直线方程的点斜式或者直线系方程判断是 否经过定点22【题5】已知Fi、F2分别为椭圆Ci:5，且|MFJ -.当 与 1(a b o)的上、下焦点，其中F1也是抛物 a b线C2：x2 4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点(1)求椭圆C1的方程.已知点P(1,3)和圆O：x2 y2uuu在线段AB上取一点Q ,满足：APb2,过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点 A, B ,uur uuupb,aquurQB,(1).24分33求证：点Q总在某定直线上.【题5】(1)方法一：由C2 ： x24y

10、 知 Fi(0,1)，设 M(%,yo)(xo因M在抛物线一 -2，_C2上,故xo4yo5，由解得xo32.63,yo方法二：由C22：x 4y 知 F1(o,1),设 M(xo,yo)(xo o),因M在抛物线2C2上，故Xo4yo5又 |MFJ 3,则 yo 122，6由解得xo2-6, yo(2)2 呼)248而点 M 椭圆上，故有卫一 一32一 1即一亍 一亍1, a b9a2 3b2又c 1,则b2 a2 1由可解得2. . 2a 4,b 3,，椭圆Ci的方程为2y41.4分(2)设 A(xi, yi), B(x2,y2),Q(x,y),uur 由APuuuPB可得：(1 xi,3

11、 yi)d i,y2 3),即yix iy2 3(iio分)uuur由AQULUTQB 可得：(x xi, yyi)xi(x2 x, y2 y),即 yix2 (i)xy2 (i)y故得：xi22x22 (i 2)x22 22、yiy23y(i )两式相加得(xi2y；)2(x22y22) (i 2)(x 3y)又点A, B在圆x2y2 3上，且i,所以 xi2yi23,x220 3即x 3y 3, 点Q总在定直线xuuuuuu uuur点评关键是向量APPB , AQ3 (舍去)43y 3 uuuQB的条件“坐标化”，要证点Q总在某定直线上,则点Q的坐标Q(x,y)满足一个固定的二元一次方程

12、【题6】已知椭圆C以过点A (i, 3),两个焦点为(i, 0) (i, 0)。2(1) 求椭圆C的方程；(2) E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数， 证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值 .22【题6】解：(i)由题意，c= i,可设椭圆方程为 上丁 i b2 4b2因为A在椭圆上，所以-92 i,解得b2 = 3, b2i b2 4b222所以椭圆方程为 -y-i.43(2)设直线A E方程：得y k(x 1) 3,代入 24(3+4k2) x2+4k(3322k)x 4(- k)2 12 02设 E ( Xe , yE),3-)在椭圆上，所以2k)2

13、 12Xe3 4k2yEkxE又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以yFkxF-k。24(2 k)2 12Xf2，3 4k2所以直线EF的斜率kEFyF yEXfXek(xF xE) 2kXf Xe即直线EF的斜率为定值,12分点评圆锥曲线中有关定值的问题，关键要利用相关参数将式子的表达式求出，再利用“整体”的思想，消去参数得到定值.【题7】已知抛物线 C：y2 2px(p 0)上横坐标为4的点到焦点的距离为 5.设直线y kx b与抛物线C交于两点A(x1,y1)，B(x2, y?),且| y1常数).过弦AB的中点M作平行于x轴的直线交抛物线于点D,连结AD、BD得到 ABD

14、.求证： a2k2 16(1 kb)； ABD的面积为定值.【题7】依题意得：4 p 5,解得p 2.所以抛物线方程为y2 4x .y kx b,2由方程组 2 消去x得：ky2 4y 4b 0. (X) y 4x,依题意可知：k 0.由已知得 y2丫也当.kk由 y V2 a,得(y y2)2 4y1y2 a2,r - 1616b22 2即-a ,整理得 16 16kb a k .k2k所以 a2k2 16(1 kb).2 bk 212可以求出AB中点M (2-bk,2),所以点D(4，-), k2 kk2 k依题意知 SV ABD 2 DM | yi y2 2 |k2| a .V 16 1

15、6kb 0,得 1 kb 0.a2k2a ，由(n)可知 1 bk a-, 163a.32又因为方程所以SVABD所以SVABD中判别式1 bkk22 a16又a为常数，故SVABD的面积为定值.类型3:关于不等式证明、求参数的取值范围问题题8已知点P到(0,J3), (0, B 的距离之和为4,设P的轨迹是C,并交直 线y kx 1于A、B两点.(1)求C的方程；(2)若以AB为直径的圆过 。点,求此时k的值；uuu |UUU(3)若A在第一象限，证明：k 0 OA OB ._2【题8】(1)得P的轨迹是椭圆，c 33, a 2,故b2 1,故方程为： 与 x2 14uuu uur(2)依题

16、意设A(x1,y1)，B(X2, y2) , 以AB为直径的圆过 。点，则OA OB uur uuur1 OA OB 0x1x2 y1y2 0 4分y kx 1联立：v2消元得(4+k2)x2 2kx 3 0x2幺1402kx1 x224 k_3_x1x2-J24 k742 (kx1 1)(kx2，2、,1) k x1x2 k(x1 x2) 1_2_223k 2k 4 kk24k2 44 k2XiX2y1y2224k 4 3 1 4k4 k24 k210分k 1 11 分2uuu uuiir点评将“AB为直径的圆过点 O”巧妙地转化为 OA OB 0 ,体现 以数论形”的思想.uuu 222U

17、UU222OA =X1y1 ,OB =X2 y12分UUU 2 UUU22222OA - OB=X1y1-(x2y2)=(X1X2)(X1X2)(y1y2)(y1y2)13分(X1 X2)(x X2) k(x X2) 2k(x x?)(X1 X2)(1 k2)(x X2) 2 k/ 6k(X1 X2)24 k.A点在第一象限，X1 x2 0 又k 0UUU 2 UUU2uuuOA - OB =(OAuuu uuuOB)( OA槌)uuuOAuuuOBuurOAuuuOB14分2【题9】椭圆C:3 a点评圆锥曲线与不等式证明的综合，注意作差比较法证明不等式的思路和步骤，利用曲线上点的坐标的范围讨

18、论y=1(a b0)的离心率为 工色,短轴一个端点到右焦点的距离为0）的自然曲线C的交点为M = W M, Pl /J *- 4m = C A = Stiff1 +m）0y = 4xI浅f.乂瓦j，5l.yj.刖二.13再而0q（芍-1X。-M*A& -号 + jrs） + i + PM 0乂丈-乙,T足不等式零阶产4. - + 苫居.+1 0*太为*行*益乃J2 M lu4由式.不等式苫份f府*=6口卜144产对任克实数八 府的殿小依为0,所以不等式对于一切成立笥除jh: *6m +1 0 - np3- Jt/2 Ai J + 2V2 .由此时知,有在龙效将I时过点”出.0且与曲ac有两个父

19、点4 8的任一过也都有瑞而vO中只切的取依范阳是（3-2万*3 + 2隹）.点评本题对于过点 M （m, 0）直线方程的设为x=ty+m 是简化计算的一个技巧，对不等式恒成立问题一般利用最值的方法处理.类型4:关于直线与圆锥曲线的综合问题中涉及线段分比的策略这类问题主要是研究过一个定点P作直线与曲线产生两个交点 AB,进而研究P分两个I AP I|BP|交点AB所成的比例关系.往往是两种形式出现，一种是以比例：1| , 一种是向量：AP PB ,有时候是求直线方程，有时候是求分比的值或取值范围等等，这种问题主要是抓住分比与坐标xi、X2(yi、y2)的关系，判断在联立方程时应该消去x或y,以减

20、少运算量，然后把问题转化到韦达定理的应用上【题11如图所示，已知圆 C : (x 1)2 y2 8,定点A(1,0), M为圆上一动点，点 P在AM上，点N在CM匕 且满足 AM 2AP,NP AM 0,点N的轨迹为曲线 E.(1)求曲线E的方程;(2)若过定点F (0, 2)的直线交曲线E于不同的两点 G H (点G在点F、H之间)，且满足FG FH ,求的取值范围【题 11(1) AM 2AP,NP AM 0.NP 为 AM 的垂直平分线，|NA|二|NM|又 |CN | |NM | 2,2, |CN | | AN | 2 2 2.，动点N的轨迹是以点 C (1, 0), A (1, 0)

21、为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为2a 2J2,焦距2c=2.a b0）a b抛物线方程化为x2 4y ,其焦点为（0,1）,则椭圆C的一个顶点为（0,1）,即22xa 5 ,椭圆C的方程为 一5（2）证明：右焦点F（2,0）,设A（x1,由c a2 b22.5b 1 由 e J，a 】a25y2 1y1), B(x2, y2), M (0, y0),2显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为 y并整理，得(1 5k2)x2 20k2x 20k2 5 020k220k2 5 x1 x22，为*2215k15kuuiruuru又 MA (x,% y。)，MB gv? V。)，Auuriur iurlur而 MA1AF , MB2BF ,即(x1 0, y1 y0)1(2 x1，y1)，(x2 0, y：1 2x2 2x1所以 12 2k(x 2),代入方程一 y2 1 5LiruurF (2 x1, %), BF (2 x2, y2),2 y0)2(2 x2, y2)x1x22(x1 x2) 2x1x2x12 x24 2(x1 x2) x x2