北京市海淀区2017年高三一模数学(理科)试卷及答案

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1、北京市海淀区高三年级第二学期期中练习2017.4数学(理科)本试卷共4页，150分。考tO寸长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1 .已知集合,集合 B x x 0 ,则 All B 二A. x xB.C. x x 02 .已知复数z i(a bi)(a,b R),则“ z为纯虚数”的充分必要条件为22A. a b 0B. ab 0C. a 0,b 0D . a 0,b 03.执行右图所示的程序框图，输出的A . 0x的值为B.C. 6D.4

2、.设 a,bR,若b,则B.2a 2bx 0C. 1g a5.已知alg b1xdx01x2dxD.sin asinbC. b6.已知曲线C:-It2则实数a的取值范围为A.2 _22,2Vxdx,B.D.(t为参数)B. 1,11,0a , b , c的大小关系是结束J,B 1,0 .若曲线C上存在点P满足AP BP 0 ,C. .2, 2D . 2,27.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为A. 12B. 40C. 60D. 808.某折叠餐桌的使用步骤如图所示.有如下检查项目:图1项目：折叠状态下(如图 项目：打开过程中(如图图31),检查四条桌腿长相等；2

3、),检查 OM ON OM ON ;项目：打开过程中(如图2),检查 OK OL OK OL;项目：打开后(如图 3),检查 1= 2= 3= 4=901；项目：打开后(如图 3),检查AB AB CD CD.卜列检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行”的是A.B.C.D.、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9 .若等比数列an满足a2a4%8 ,则公比q=_;前n项和S10 .已知 Fi( 2,0), F2(2,0),满足 |PFi|PF2|2的动点P的轨迹方程为11 .在 ABC 中，c acosB . A1 一;右 sin C ，则 cos(兀 B)312 .若非

4、零向量a,b满足a (ab)0, 2|a| |b|,则向量a,b夹角的大小为13.已知函数f(x)cos TX , x0,0.若关于X的方程f(x a) 0在(0,)内有唯一实根，则实数最小值是14.已知实数u,v, x,y满足u2y 1 0,2y 2 0,则z ux vy的最大值是2,三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15 .(本小题满分13分)已知是函数f(x) 2cos2 x asin2x 1的一个零点.3(I )求实数a的值；(n)求f(x)单调递增区间.16 .(本小题满分13分)中巴雉, 460亿美元协议打造经济走廊据报道，巴基斯坦由中方投资运营

5、的 瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠 8- 10万吨邮轮的深水港.通过这一港口，中国 船只能够更快到达中东和波斯湾地区.这相 当于给中国平添了一条大动脉！在打造中 巴经济走廊协议(简称协议)中，能源投资 约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁 路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤 通讯投资约0.4亿美元.有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和.下表记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量(单位：百万吨)：1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月天津242226232426272528242526上

6、海322733313031323330323030(I)根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；(II)从上表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过 55百万吨的概率；(出)将(n)中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设 X为瓜达尔港未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出 X的数学期望(不需要计算过程).17 .(本小题满分14分)如图，由直三棱柱 ABC ABC和四棱锥D BBQC构成的几何体中，ZBAC=90, AB 1 ,BC BB1 2, CD CD V5 ,平面 CCQ 平面 ACC1A.(I )求证：AC DC1

7、；(n )若M为DC1中点，求证：AM /平面DBB1 ；(m)在线段BC上(含端点)是否存在点 P,使直线DP与平面DBB1所成的角为 -?若存在，求 史 的值，若不存3BC在，说明理由.18 .(本小题满分13分)已知函数f(x) x2 2ax 4(a 1)ln(x 1),其中实数a 3.(I)判断x 1是否为函数f(x)的极值点，并说明理由； (n)若f(x) 0在区间0,1上恒成立，求a的取值范围.19 .(本小题满分14分)2已知椭圆G：L y2 1,与x轴不重合的直线l经过左焦点F1,且与椭圆G相交于A, B两点, 2弦AB的中点为M,直线OM与椭圆G相交于C, D两点.(I )若

8、直线l的斜率为1 ,求直线OM的斜率；(II)是否存在直线 l,使得AM |2 CM | |DM |成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.20 .(本小题满分13分)已知含有n个元素的正整数集 a a1,a2, a (& a?an,n 3)具有性质P :对任意不大于S(A)(其中S(A) a1%4)的正整数k,存在数集A的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k.(I)写出为的值；(n)证明：a1,a2j|,an成等差数列”的充要条件是“S(A) 皿尸”；(出)若S(A) 2017,求当n取最小彳t时，的最大值.海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科）2017.4、选择

9、题（本大题共 8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案ADBBCCDB二、填空题（本大题共 6小题,每小题5分，有两空的小题，第一空 3分，第二空2分,共30分）9.2, 2n 1210. x2 13；111. 90, 一 312. 120：13.1214. 242三、解答题（本大题共6小题，共80分）21 .（本小题满分13分）解：（I）由题意可知 f（） 0,即 f（寸 2cos2g asin-2 1 0即f）2 1 泽1 0,解得a 3 .（n）由（I）可得 f（x） 2cos2x . 3sin 2x 1cos2x 3sin 2x 25兀2sin（2 x ） 2 6函数y

10、sin x的增区间为2kn =2kn,k Z. 221-|-兀c5 7t c.Tt由 2k tt2x 2k % ,k Z ,262得 ku x ku , k Z , 36所以，f（x）的单调递增区间为k兀 红水兀-,k Z. 3616.（本小题满分13分）解：（I）本次协议的投资重点为能源，因为能源投资340亿，占总投资460亿的50%以上，所占比重大，（II）设事件 A:从12个月中任选一个月，该月超过 55百万吨.1 分根据上面提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是:56, 49, 59, 54, 54, 57, 59, 58, 58, 56, 55, 56,其中超过

11、55百万吨的月份有8个，所以，p（a）2；12 3（出）X的数学期望EX 8.17.（本小题满分14分）解：说明：本题下面过程中的标灰部分不写不扣分（I ）在直三棱柱 ABC AB1C1中，CCi 平面ABC ,故 AC CC1,由平面CC1D 平面ACC1A1且平面 CCDn平面ACC1A尸CC1,所以AC平面CC1D,又D C1?平面CC1D,所以AC DC1.（n）在直三棱柱 ABC AB1C1中，AA1平面ABC ,所以 AA1 AB , AA1 AC ,又/BAC=90 ,所以，如图建立空间直角坐标系A- xyz,依据已知条件可得 A（0, 0, 0） , C（0,点,0） , C1

12、 （2,73,0）,B(0, 0,1), B1(2,0, 1) , D(1,V3, 2), 所以 BB1 (2,0,0) , BD (1,73,1),设平面DBB1的法向量为n (x,y,z),由n BB 0,即 xn BD 0,2x 0, ,3y z 0.点，x 0 ,于是n （0, 1,点）,因为M为DC1中点，所以M (m J3,1),所以AM (-,73,1), 22由 AM n (3,石,1) (0,1, V3) 0 可得 IM n ,2所以AM与平面DBB1所成角为0、，又AM 平面DBB1 ,所以AM /平面DBB1 .（出）由（n）可知平面BRD的法向量为n （0, 1,疝）.

13、设 BP BC ,0,1 ,DP ( 1, 3.3, 1).则 p(o, 3 ,1),说明(n)（出）说明(n)(m)说明(D)若直线DP与平面DBBi成角为-,则3cos n,DPn DP|n| DP0,1,故不存在这样的点.1:如果学生如右图建系,Bb12,32,42452，关键量的坐标如下:(0,2,0) , BD (73,1,1),四0,即LBD 0,3xn (1,0,百),M (73,3,1),所以2由（n）可知平面设 BP BC ,则 P( 3 ,0, 1aMDBB10,1DP2:如果学生如右图建系,(2,0,0) , BDB1B 0,即BD 0,n (0, 1,两，2y 0, y

14、 z 0.（石万，1）,的法向量为n （1,0,.3）(.33, 1, 1). 关键量的坐标如下:M3,1）,M (1, V3,1),所以 aM2由（n）可知平面设 BP BC ,则 P(2, 3 ,1)DBB10,1DP2x 0,3yz 0.2, 3,1)的法向量为n(0,1,(1,33,1). 3:如果学生如右图建系，关键量的坐标如下:BB1I(2,0,0) , BD (1-乃1),四0,即BD 0,2x 0,3y z 0.ACn (0,1,73),M (1,0,1),所以 AM (3,的1), 22(出)由(n)可知平面DBB1的法向量为n (0, 1,73).设 BP BC ,0,1

15、,则 P( 1J3 33 ,1) , DP ( 1,73 73 , 1) .18.(本小题满分13分)解：法1：(I)由 f(x) x2 2ax 4(a 1)ln( x 1)可得函数定义域为(1,),4(a 1) f (x) 2x 2ax 1_2_2x(1 a)x (a 2)x 12(x 1)x (a 2) x 1,由 f (x) 0 得 x1 1,x2 a 2 .因为a 3,所以a 2 1.当a 1时，a 21 ,所以f(x), f(x)的变化如下表:x(1,1)1(1,)f(x)0f(x)极小值当1 a 3时，1 a 2 1 , f(x), f(x)的变化如下表：x(1,a 2)a 2(a

16、 2,1)1(1,)f(x)00f(x)极大值极小值综上，x 1是函数f(x)的极值点，且为极小值点.(n)易知 f(0)=0 ,由(I)可知，当a 2时，函数f(x)在区间0,1上单调递减，所以有f(x) 0恒成立；当2 a 3时，函数f(x)在区间0,a 2上单调递增，所以f(a 2) f (0) 0 ,所以不等式不能恒成立；所以a 2时有f (x) 0在区间0,1上恒成立.法2：(I)由 f(x) x2 2ax 4(a 1)ln( x 1)可得函数定义域为(1,),f (x) 2x 2a 4(a 1) x 12x2 (1 a)x (a 2)x 1令 g(x) x2 (1 a)x (a 2

17、),经验证 g(1) 0,因为 a 3,所以 g(x) 0 的判别式 (1 a)2 4(a 2) a2 6a 9 (a 3)2 0,说明：写明 (1 a)2 4(a 2) a2 6a 9 (a 3)2 0 也可以由二次函数性质可得，1是g(x) x2 (1 a)x (a 2)的异号零点，所以1是f(x)的异号零点，所以x 1是函数f(x)的极值点.(n)易知 f(0)=0 ,2(x 1)x (a 2)因为f (x),x 1又因为a 3,所以a 2 1 ,所以当a 2时，在区间0,1上f(x) 0 ,所以函数f(x)单调递减,所以有f(x) 0恒成立;当2 a 3时，在区间所以f(a 2)f (

18、0) 0,所以不等式不能恒成立;所以a 2时有f(x)0在区间0,1上恒成立.0, a 2上f(x) 0,所以函数f(x)单调递增,2k2 12 k2 119.(本小题满分14分)解：(i)由已知可知 F1( 1,0),又直线l的斜率为1,所以直线l的方程为y x 1设A(Xl,y1), B(x2,y2)y x 1,由X22 解得万y 1,Xiy1x2y2431 3所以AB中点M (于是直线OM的斜率为1323(n)解法1：假设存在直线1,使得AMCMDM成立.当直线l的斜率不存在时，AB的中点M( 1,0),所以AM他 1)(72 1) 1 ,矛盾;故可设直线l的方程为:y k(x1)(k

19、0),联立椭圆G的方程,得：(2k2221)x 4kx2(k21)设 A(x1,y1)，B(x2,y2),则Xix2点M的坐标为(x1k(12k22k2 1X21) k4k22k2 12k22k2 1X1X21)_22(k1)2k2 1 2k 1k 2k2 1),AB ,(1 k2)(xX27= 1 k24k22(一2)2 42k2 12(k2 1) 2 2 (1 k2)24 k22k2 11直线CD的万程为：y Lx,联立椭圆G的方程，得: 2k一.2001 o 4k21仅 C(x0, yo),则 OCX0 V0 (1 2)Xo 2-，I Di-2由题知，AB 4 CM4k22 k2 1_

20、_2_2DM 4(|CO| |OM|)(|CM |OM|) 4(|CO| |OM | ),加.8 (1 k2)24,4k2 1 k2(4k2 1)、(2k2 1)24(277 (2k2 1)2)，化简，得：k2 L故k 二， 22所以直线l的方程为：y 乡x1),y当 22(II)解法2: 一一2假设存在直线l使得| AM | CM | DM |成立由题意直线l的斜率不与x轴重合，设直线l的方程为x my 1 , x my 1, g 22由 22 得(m 2)y 2my 1 0,x 2y 22m1仅 A(x1,y1), B(X2,y2)则 y1 y -,y1 y -m 2 m 2AB 。百M

21、V2(1 m2) (mm/2 2(1m2)2-，X x2 m(y1 y) 22m2所以AB中点M的坐标为(22-2- m所以直线CD的方程为：y mx,2m .yx,由 222x 2y由对称性，设C(xo, yo)，则 D( xo, yo),2Xo4m2 2CM DM1 m4 |xmXolXo(1xM22(m 4)( m 1)22(m22)2,22由 | AB | 2 | AM | , AM CM | DM 得 AB 4 CM | DM ,2 .2(1m2)224 (m 4)(m1)422(m22)2解得m2 2 ,故m J2 ,所以直线l的方程为：x 72y 1,xy 1.20.(本小题满分

22、13分)解：(i) a 1岛 2.(n)先证必要性因为a1 1,a2 2 ,又a1,a2 J|,an成等差数列，故再证充分性n(n 1)an n,所以 S(A) 2；a11,a22, a33, a44, ann,所以 S(A) a1 a2an 1 2n(1 n)2因为Aa?an, a a2,“ I，an为正整数数列，故有又S(A) 1) ,故amm (m 1,2,小刀)，故a包,| a为等差数列(出)先证明am 2m1(m 1,2, ,n).假设存在ap 2p1 ,且p为最小的正整数.依题意p 3,则a1 a2 ap1 1 22P 22P1 1,又因为 a1 a2 a，故当k (2p 1 1,

23、ap)时，k不能等于集合 A的任何一个子集所有元素的和.故假设不成立，即am 2m 1(m 1,2, ,n)成立.因此 2017 a1 a2an 1 22n 1 2n 1,即 2n 2018,所以 n 11.因为 S 2017 ,则 a1 a24 12017 % ,若2017 an an 1时，则当k (2017 4,an)时，集合A中不可能存在若干不同元素的和为k,故 2017 an an 1 ,即 an1009 .此时可构造集合 A 1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009.因为当k 2,2 1时，k可以等于集合1,2中若干个元素的和，故当k 22,22 1,22 2,22 3时，k可以等于集合1,2,22中若干不同元素的和， 故当k 28,28 1,28 2,|,28 255时，k可以等于集合1,2,注,28中若干不同元素的和，故当k 497 3,497 4,|,497 511时，k可以等于集合1,2,4,28,497中若干不同元素的 和，故当 k 1009,1009 1,1009 2,|,1009 1008时，k可以等于集合1,2,1,28,497,1009中若 干不同元素的和，所以集合 A 1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009满足题设，所以当n取最小值11时，%的最大值为1009.