河北省衡水中学2017届高三押题II卷理数试题(解析版)

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1、2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学（n）第I卷一、选择题：本题共 12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 A = x|x2-x-6 r = a + b整理可得”1=1J V ；,a 1 + sin 9aP 1 + sin1 91 + s*nH 91据此有：e2 o,b 。),当其离心率|e E t2z时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为(【答案】D2Jj【解析】由题意可得：e2 = = l + G 24.% 1,3， 1ar设双曲线的渐近线与 X轴的夹角为日，双曲线的渐近线为)= 3 ,则8 弓息，结合题意相交直线夹角的定

2、义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为.本题选择D选项.6 .某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3n + 2,则它的表面积是(A.(空 + 3M + 0 +2 B.(乎十 % + 收2 + 2C.5mTn +D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中:、，312132、，12,112&=2 x x na x 3 = -na、加=产 x 3 x 尸产由题意：|na2 + ja2 = 3n + 2.a=2，据此可知：5展=2an x| + 1x2 x2 = 3n + 2 ,= ；n x、13 x 2 =,Se蒯尸 j x 22 x 11 =

3、 22，它的表面积是（乎+ 3）甘+ 22 + 2本题选择A选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一 样长，侧视图和俯视图一样宽.若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要 注意实、虚线的画法.正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同.7 .函数产=sinx+ln|x|在区间-3.3的图象大致为（）【答案】A【解析】由题意 f（-x） = sin（-x） + ln|-x| = -sinx + ln|x| ,则f（一工）工f（x）且f（-x）工-f（x,函数为非奇非偶函数，选项 C,D错误； 当xtO十 时，sinx

4、OJn|x|-* ,则函数值yT-g ,排除选项 B.本题选择A选项.8 .二项式（ax + 2信 0,b 0）的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab的值为（）学，科，网.A. 4 B. 8 C. 12 D. 16【答案】B【解析】二项式（ax + ohb 0）的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则|n = io ,二项式（ax十台展开式的通项公式为：Tr+1 =兀6父严一信）二C，产-x x10-2r ,由题意有： j 10 一 q，整理可得:T3 + !电一本题选择D选项.C：，点睛：二项式系数与展开式项的系数的异同是在Tr+i=can

5、-rbr中，c是该项的二项式系数，与该项的 （字母）系数是两个不同的概念，前者只指 nn而后者是字母外的部分，前者只与n和有关，恒为正，后者还与 a, b有关，可正可负.二是二项式系数的最值与增减性与指数n的奇偶性有关，当n为偶数，中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值.9 .执行下图的程序框图，若输入的|x = 0, y = 1|, |n = 1,则输出的p的值为（）A. 81 B.里 C.& D.曳 240【答案】C【解析】依据流程图运行程序，首先初始化数值，X = O,y = lrn = 1 ,进入循环体：x = ny = Ly = 审 =1,时

6、满足条件/hx，执行n = n + 1 = 2 ,进入第二次循环,进入第三次循环,x = n =M,时满足条件 Jnx，执行n=n + 1 = 3x = ny =弓=时不满足条件 #22X ,输出p = xy =.本题选择C选项.10 .已知数列，=1,白2 = 2，且加+ 2an = 2 -，n三忖，则与。!？的值为（A.人二6 :二中。1 B.m XH7 C.:门广 ri D.1以。V【答案】C【解析】由递推公式可得:当In为奇数时，an + 2-an = 4 ,数列口如一1是首项为1,公差为4的等差数列, 当In为偶数时，an + 2-an = 0 ,数列是首项为2,公差为0的等差数列,

7、 Sj017 = 5 1 + 与 + + 2017)5 9之 + % + + a2016)=1009 + 1 x 1009 x 1008 x 4 + 1008 x 2=2017 x 1010-1.本题选择C选项.点造：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项,由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有:1求出数到的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；2将已知递推关系式整理、变影，变成等差，等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项.11 .已知函数 f(x) = Asin(wx + 中 (A a 0,w O.|(p| v 今的图象如图所示，令

8、g(x) = f(x) + f(x),则下列关于函数g(x)的说法中不正确的是()A.函数g(x)图象的对称轴方程为 父=E Z)学，科，网B.函数g(x)的最大值为C.函数g(x)的图象上存在点p,使得在P点处的切线与直线l：=3x-l平行D.方程g J) : 2的两个不同的解分别为 XrX2,则肉一|最小值为、【答案】C【解析】由函数的最值可得 共二2 ,函数的周期T = 4 X小一= 2n = .- = l ,当x 时，wx + tp = 1 x ： + (p = 2kn + ，二甲=2kn + 3k Z),令k = 0可得甲=：,函数的解析式f(xj = 2sin(x +.则：g(x)

9、 = f(x) + f(x)- 2sin(x + 1) + 2cos(x + g)=2V2sin(x + j + )=2V2sin(x + 雪)结合函数的解析式有g(x) = 2由C3(x +工)E l-2x)2,22,而3隼22t22, 选项C错误，依据三角函数的性质考查其余选项正确本题选择C选项.12.已知函数_8其-3/ + ，若|f(x)存在二个零点，则 3的取值范围是()A. B. 一)C. 丁D.：. fus：【答案】D【解析】很明显己h 0 ,由题意可得：|f(x) = max-6其=3x(ax-2) ,则由f(x) = 0可得勺=。，#=:，由题意得不等式：*勺水冷)=H +

10、口， a a即： a 1海上 4,-2 c a 2 , a综上可得日的取值范围是|( - 2,0) u (0,21本题选择D选项.点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令f(x)=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a, b上是连续不断的曲线，且 f(a) - f(b) 6上的点，以点M为圆心的圆与X轴相切于椭圆的焦点F,圆轴 a b相交于不同的两点P、Q,若APMQ为锐角三角形,则椭圆的离心率的取值范围为 .【答案】-【解析】试题分析：. PQM是锐角三角形，4- a,CMC |Mtl TI 近22.C05QMD =而=.85% =

11、y,SC a-cLac o,1 + e-1 o解得恒产区写，该椭圆离心率的取值范围是 （近史 匹故答案为：（专电，早）2x 4- y3 3 0, u15 .设x, v满足约束条件（x-2V+ 2=0,则的取值范围为 .2X-y-2 0,【答案】【解析】绘制不等式组表示的可行域如图所示，目标函数丫表示可行域内的点|G,v）与坐标原点（0,0）之间XI连线的斜率，目标函数在点 A（ti）处取得最大值（，在点（滴 处取得最小值I ,氏2y + 2 1 &：弹的取 744 25 2x - y - 2 0F v值范围为点睛：本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法.解决这类问题的关键

12、是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义.16 .在平面五边形 ABCDE 中，已知士A = 120,ZB = 90,= 120*,|ZE = 900 ,AB = 3 ,AE = 3 ,当五边形ABCDE的面积5 6丫9、3)时，则BC的取值范围为 .【答案】：，【解析】由题意可设：BC = DE = a| ,则：SaBCDE = |x9xy + |xyax (3,3 + 3*3a)=汕十,一 * 63卬3) 则：当m=33时，面积由最大值 9%3 ；当3 = 时，面积由最大值6/，故 = ?试题解析：(1)当n = 2时，由|25；=5”：+i及虱另,得2% = S1 + 1,

13、 SP2al + 2% = ax + 1,解得曰工=1.又由2S = Sn+ 1,可知 25n+ i = + 1,-得洱+ 1二品，即彳/=3rl z N).且n = 1时，=；适合上式，因此数列 。口是以，首项，为公比的等比数列，故 而=与fn C N(2)由(1)及 bn=2(n N*)，可知 bn = log_() = n, 2所以卷=而% = 系，故k=自+自十十 二-3十6一3十十(1+)= 1一+ = 亍18 .如图所示的几何体 ABCDEF中，底面ABCD为菱形，AB = 2a , ABC = 120。，AC与BD相交于O点,四边形 RDEF 为直角梯形，DE/BF, BD _L

14、 DE, DE = 2BF = 203,平面 EDEF J_| 底面 ABCD .(1)证明：平面AEF _L平面AFC;(2)求二面角E-AC-F的余弦值.【答案】(1)见解析；(2)理【解析】试题分析： 利用题意证得EF _L平面AFC.由面面垂直的判断定理可得平面 AEF _L平面AFC.(2)结合(1)的结论和题意建立空间直角坐标系，由平面的法向量可得二面角E . AC - F的余弦值为g试题解析：(1)因为底面ABCD为菱形，所以AC,BD，又平面BDEF _1_底面ABCD，平面BDEF n平面ABCO = BD，因此AC _L平面BDEF，从而AC _L EF.又BD _L DE

15、,所以 DE _L 平面ABCD,由AB = 23, DE = 2BF = 2t2己，ABC = 120%可知 AF = J4al += 6自，BD = 2a，EF = d7a* + 疗=*6a，AE = /4a2 + 8a2 = 2限，从而 A产 + FE2 = AE*，故 EF _L AF.又AF n AC = A,所以EF _L平面AFC.学，科，网又EF匚平面AEF,所以平面AEF _L平面AFC.(2)取EF中点G,由题可知OG/DE,所以OG _L平面ABCD,又在菱形ABCD中，OA _L OB ,所以分别以OA，OB，OG的方向为x, v，n轴正方向建立空间直角坐标系 O *

16、xyz (如图示)， 则03QQ),力(内3。0)，口7后3。0)，EO,-a2ca), F(Oaga)，所以第=(or -八白,0,0)= 1( - J3aLAC = - v3ar0,0) - (/3ar0r0)=(-2v3at0(0), EF =(Oa版)-(0,缶)I =。遍-M).由(1)可知EF _L平面AFC,所以平面AFC的法向量可取为EF = (02a, . 2a).设平面AEC的法向量为n = (x.v,2)，则R 旗= 2即岳一二泊=口即(V:+引令z,二位，彳服闻,n + AC = 口；x u,x 5所以.4 .从而 cos =n EF 6H 3 |n| |EF| = 6

17、73b = 3故所求的二面角E * AC - F的余弦值为点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想.两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断.(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题.1

18、9 .某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为 A、B、C、D、E五个等级，统计数 据如图所示(视频率为概率)，根据以上抽样调查数据，回答下列问题：(1)试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数；(2)若等级A、|B、C、D、E分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达 90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？(3)为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从 A、B两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样

19、本，再从中任意选取 3个学生样本分析，求这 3个样本为A级的个数E的分布列与数学期望.【答案】(1) 448; (2)该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关；(3)见解析.【解析】试题分析：(1)由频率分布直方图估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数为448;(2)计算平均分可得该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关(3) E的可能值为0, 1, 2, 3.由超几何分布的概率写出分布列，求得数学期望为12 U试题解析:(1)从条形图中可知这 100人中，有56名学生成绩等级为B，所以可以估计该校学生获得成绩等级为b的概率为盖=言，则该校高三年级学生获得成绩为 B的人数约有8

20、Q0 x = 448 .(2)这 100名学生成绩的平均分为 焉(32 x 100 + 56 x 90 + 7 x 30 + 3 X 70 + 2 x 60) = 913 , 因为913 90,所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关 .学,科，网(3)由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中A级4个，B级7个，从而任意选取 3个，这320 .已知椭圆C： 4 + 4= l(a b 0)的离心率为 陷,且过点P得当，动直线I ： v-Kx + m交椭圆C于不同的两点A, B,且6A - OB = 0 (O为坐标原点)(1)求椭圆C的方程.(2)讨论13m2是否为定值？若为定

21、值，求出该定值，若不是请说明理由【答案】(1)十，=1;3mZ-2k2 = 2【解析】试题分析：(1)由题意求得t/ = L a2 = 2,故所求的椭圆方程为 上/二1.(2)联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系结合题意可证得3m? _ 2k = 2为定值.试题解析：(1)由题意可知；=孝，所以a2 = 2c2=2(a2 - b2),即a，=2b2 ,又点pg声)在椭圆上，所以有 三十 2=1, 224s 4b由联立，解得b? = 1，/=力故所求的椭圆方程为二1.(2)设A(Xuyj田(叼,力)，由.5 = o，可知K/2十力力=0.y = kx + m,联立方程组，5+ y 二 L消去

22、v化简整理得(1 + 2k勺/+ 4kmx + 2m工-2 = 0， 4km由 = 16k2m2 - 8(m2-1)(1 + 2k3) 0 -得 1 + 2k2 m2 .所以。+ M = - -73M I- 11又由题知X/z +力力= 即 x1x? + (kx2 + m)(kx2 + m) = 0,整理为；，、- i. r ., 广 ：.-I将代入上式，得(1 + - km , 4*11n飞+ m2 = 0.1 + 2k1 + 2kJ化简整理得3mL 2 2k = o从而得到2 2 d1 = A1 * 2kH21 . 设函数f(x) = -a2lnx + x2-ax (三三 R，(1)试讨论

23、函数f(x)的单调性；学,科，网(2)设融幻=2x +场,一；0小工，记h(x) =f(x) +中(其)，当a 0时，若方程h(x)=m(m三R)有两个不相等的实根xj叼,证明卜(2?) 【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】试题分析：(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：若己 0时，当x E 时，函数加()单调递减，当x W (a. + g)时，函数f(x)单调递增；若a = 0时，函数f(出单调递增；若白 0,结合新函数的性质即可证得题中的 不等式.试题解析：(1、山，22讦牛n.f . aJ -2/ - an-a (2x+ a)(x - a)(1)田 f(x) = - a Inx

24、+ jt -ax，=,q+2x = a= =因为函数f(x)的定义域为(S + 8),所以，若m 0时，当x (0,a)时，fix) 0,函数f(x单 调递增；若3 n 0时，当f(x)= 2x 。在x (0, + g)内恒成立，函数f(x)单调递增；若总 0时,当* E (0.今时(*) 0,函数f(x) 单调递增. 证明：由题可知 h(x) = f(x)+ *(x) = x2 + (2 - a)x - almc kx 0)，所以 h(x) = 2x + (2-a)-= 北+丘7乂 7 =必-也. XX所以当 X (0 扇时，h(x) co；当 x E g + 国)时，h(x) 0 ;当X

25、= 时，h|(1) = 0.欲证hi A二)A 0,只需证h(r 卜喝)，又h(K)= 2十:0,即hKx)单调递增，故只需证明 上& a a设X1,盯是方程h(x)=m的两个不相等的实根，不妨设为 0 xL x2,则冷. (2 一3一己叽二m,X2 + (2 - a)x2 - alnx2 = mf两式相减并整理得 鼻 -叼+ 1nxi - Inxp = x； + 2x2X1因为 0 Xr 所以 Q 1，不妨令t = * 所以得到Int第，t W (0.1). X-t + JI记Rt) = Int-分，t E (0.1)，所以R(t) = .一 = *7：三0,当且仅当t = 1时，等号成立，

26、因此R(t)在(04)单调递增.学,科，网又 R(i)= 0，因此 R(t 0, t W (0J),故Int 0),在以坐标原点为极点，X轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2： p = 4sin0.(1)试将曲线C与C以化为直角坐标系xOy中的普通方程，并指出两曲线有公共点时3的取值范围；(2)当13 n 3时，两曲线相交于 A, B两点，求|AB【答案】(1) G，h一4 +(一2/=1 G：1+(产_29=4； L5； (2)哈【解析】试题分析：(1)由题意计算可得曲线 C与匚?化为直角坐标系xOv中的普通方程为(X -+(V _ 29=a2，储+ (y - 2J2 = /； a的取值

27、范围是【L51；(2)首先求解圆心到直线的距离，然后利用圆的弦长计算公式可得|AB| =哈试题解析：(1)曲线：含柒消去参数t可得普通方程为(x 一 39十(V -储=尸曲线C2： 口二4sinQ,两边同乘d可得普通方程为 Q + (v _=d把(V -=4 - x*代入曲线G的普通方程得：a? = a - 3)之+ 4 - / = 13 -,而对 C2有 x* 兰 / + (v - 29=4， 即-2式工色2|,所以1工一在 25故当两曲线有公共点时，a的取值范围为(2)当 1a = 3时，曲线 Ci：(乂-3)2 + W - 2) = 9,两曲线交点a，B所在直线方程为曲线口 + W -

28、2？ = 4的圆心到直线x =:的距离为d 等，所以 |AB| = 2/4 -，=竽.23 .选彳4-5 :不等式选讲.已知函数： . . | ,.(1)在下面给出的直角坐标系中作出函数v = f(x)的图象，并由图象找出满足不等式f(x)工3的解集;(2)若函数v = f(x)的最小值记为m,设a.b R,且有日工+ = m，试证明：二，十 : ,三学 a + 1.0+1【答案】(1)(2)见解析.【解析】试题分析：(1)将函数写成分段函数的形式解不等式可得解集为【.1.学,科，网.(2)整理题中所给的算式，构造出适合均值不等式的形式，然后利用均值不等式的结论证明题中的不等式即 可，注意等号

29、成立的条件.试题解析:-3儿 x v - L(1)因为 = |2x - 1| + |x + 1| =-X + 2, - 1 S X S 2,r13xfx 号.所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式f(x)至3的解集为-1,1.(2)证明：由图可知函数 V = f(x)的最小值为I，即E二字所以 a + b=全从而 M + l + b + l= T，从而士+ /=京 H + L) + M + l)( + *)=/ 5 + (S +吟%- a +1 b + 1b *1 I7 a + i b + 1% + 2 E +】二度 + =担.小 0 + l bz + l J 了当且仅当= g +】)时,等号成立，a + 1 b + 1即丁 = 1=士时，有最小值，63所以三甲得证.a- + 1 b- + 1 f