福建省高考数学试卷(文科)答案与解析

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1、2015 年福建省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分1（ 5 分）（ 2015?福建）若（ 1+i ）+（ 23i） =a+bi（ a，bR，i 是虚数单位），则 a，b 的值分别等于（）A 3， 2B 3， 2C 3， 3D 1， 4考点 ：复数相等的充要条件专题 ：数系的扩充和复数分析：由复数的加法运算化简等式左边，然后由实部等于实部，虚部等于虚部求得a， b 的值解答：解：由（ 1+i ）+（ 2 3i） =3 2i=a+bi ，得 a=3， b= 2故选： A 点评：本题考查复数的加法运算及复数相等的条件，是基础题2（ 5

2、分）（ 2015?福建）若集合M=x| 2x 2 ， N=0 ， 1， 2 ，则 M N=（）A 0B 1C 0， 1， 2D 0， 1考点 ：交集及其运算专题 ：集合分析：直接利用交集及其运算得答案解答：解：由 M=x| 2x 2 ，N=0 ， 1，2 ，得 M N=x| 2x 2 0 ， 1，2=0 ， 1 故选： D点评：本题考查了交集及其运算，是基础题3（ 5 分）（ 2015?福建）下列函数为奇函数的是（）A y=xC y=cosxx xB y=eD y=e e考点 ：函数奇偶性的判断；余弦函数的奇偶性专题 ：函数的性质及应用分析：根据函数奇偶性的定义进行判断即可解答：解： A 函数

3、的定义域为0， +），定义域关于原点不对称，故A 为非奇非偶函数B 函数 y=ex 单调递增，为非奇非偶函数C y=cosx 为偶函数 xxxx）= f（ x），则 f（ x）为奇函数，D f （ x） =e e =（ e e故选： D点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键14（ 5 分）（ 2015?福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为 1，则输出 y 的值为（）A 2B 7C 8D 128考点 ：程序框图专题 ：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求y=的值，从而得解解答：解：模拟执行程序框图，可得程序

4、框图的功能是求y=的值，若 x=1不满足条件x2， y=8输出 y 的值为 8故选： C点评：本题主要考查了程序框图和算法，正确得到程序框图的功能是解题的关键， 属于基础题5（ 5 分）（ 2015?福建）若直线=1（ a 0， b 0）过点（ 1， 1），则 a+b 的最小值等于（）A 2B 3C 4D 5考点 ：基本不等式在最值问题中的应用专题 ：不等式分析：将（ 1，1）代入直线得：+ =1 ，从而 a+b= （ +）（ a+b），利用基本不等式求出即可解答：解：直线=1（ a 0， b0）过点（ 1， 1），+=1（ a 0， b 0），2所以 a+b=（+）（ a+b） =2+2+2

5、=4，当且仅当=即 a=b=2 时取等号， a+b 最小值是 4，故选： C点评：本题考察了基本不等式的性质，求出+=1，得到 a+b=（+）（ a+b）是解题的关键6（ 5 分）（ 2015?福建）若 sin=，则 为第四象限角，则tan的值等于（）A B CD 考点 ：同角三角函数基本关系的运用专题 ：三角函数的求值分析：利用同角三角函数的基本关系式求出cos，然后求解即可解答：解： sin=，则 为第四象限角， cos=，tan=故选： D点评：本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力7（ 5 分）（ 2015?福建）设=（1， 2），=（1， 1），=

6、+k ，若，则实数 k 的值等于（）A B CD考点 ：数量积判断两个平面向量的垂直关系专题 ：平面向量及应用分析：由题意可得的坐标，进而由垂直关系可得k 的方程，解方程可得解答：解：=（ 1，2），=（ 1，1）， = +k =（ 1+k， 2+k ），?=0 ， 1+k+2+k=0 ，解得 k= 故选： A3点评：本题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题8（ 5 分）（ 2015?福建）如图，矩形ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为（ 1，0），且点 C 与点 D 在函数 f （ x）=的图象上，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（）A BCD考点

7、 ：几何概型专题 ：概率与统计分析：由题意易得矩形和三角形顶点的坐标，进而可得面积，由几何概型可得解答：解：由题意可得B（ 1，0），把 x=1 代入 y=x+1 可得 y=2，即 C（ 1， 2），把 x=0 代入 y=x+1 可得 y=1，即图中阴影三角形的第3 个定点为（ 0， 1），令=2 可解得 x= 2，即 D（ 2， 2），矩形的面积S=32=6 ，阴影三角形的面积S= 31=，所求概率P=故选： B点评：本题考查几何概型，涉及面积公式和分段函数，属基础题9（ 5 分）（ 2015?福建）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A 8+2B 11+2C 14+2D 1

8、5考点 ：由三视图求面积、体积专题 ：空间位置关系与距离4分析：判断出该几何体是底面为直角梯形，高为2 的直三棱柱，底面的梯形上底1，下底 2，高为 1，运用梯形，矩形的面积公式求解即可解答：解：根据三视图可判断该几何体是底面为直角梯形，高为2 的直三棱柱，底面的梯形上底1，下底 2，高为 1，侧面为（ 4） 2=8，底面为（ 2+1） 1=，故几何体的表面积为8=11，故选： B点评：本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，关键是能够恢复判断几何体的形状10（ 5 分）（ 2015?福建）变量x， y 满足约束条件，若 z=2x y 的最大值为2，则实数 m 等于（）A 2B 1C

9、 1D 2考点 ：简单线性规划专题 ：不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m 的值解答：解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得 A （），化目标函数z=2x y 为 y=2x z，由图可知，当直线过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为5，解得： m=1故选： C点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题11（ 5 分）（ 2015?福建）已知椭圆E：+=1（ a b 0）的右焦点为F，短轴的一个端点为 M ，直线 l ：3x 4y=0 交椭圆 E 于

10、 A ， B 两点，若 |AF|+|BF|=4 ，点 M 到直线 l 的距离不小于 ，则椭圆 E 的离心率的取值范围是（）A （0，B （ 0， C ， 1）D ， 1）考点 ：直线与圆锥曲线的关系专题 ：开放型；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：如图所示，设F为椭圆的左焦点，连接AF ，BF，则四边形 AFBF 是平行四边形，可得 4=|AF|+|BF|=|AF |+|BF|=2a 取 M （ 0， b），由点 M 到直线 l 的距离不小于，可得，解得 b1再利用离心率计算公式e=即可得出解答：解：如图所示， 设 F为椭圆的左焦点，连接 AF ，BF，则四边形AFBF 是平行四边形， 4=|A

11、F|+|BF|=|AF |+|AF|=2a ， a=2取 M （ 0， b），点 M 到直线 l 的距离不小于，解得 b1 e=椭圆 E 的离心率的取值范围是故选： A 点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题612（ 5 分）（ 2015?福建） “对任意 x， ksinxcosx x”是 “k1”的（）A 充 分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件考点 ：充要条件专题 ：简易逻辑分析：利用二倍角公式化简不等式，利用三角函数线判断充要条件即可解答：解：对任意 x，ksinxcosx

12、x，即对任意 x，ksin2x 2x，当 k 1 时， ksin2x 2x 恒成立，但是对任意x， ksinxcosx x”，可得k=1 也成立，所以 “对任意 x， ksinxcosx x”是 “k 1”的必要而不充分条件故选： B点评：本题考查充要条件的判断与应用，三角函数线的应用，考查逻辑推理能力二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分13（ 4 分）（ 2015?福建）某校高一年级有900 名学生，其中女生400 名，按男女比例用分层抽样的方法， 从该年级学生中抽取一个容量为45 的样本， 则应抽取的男生人数为25考点 ：分层抽样方法专题 ：计算题；概率与统计分析：根据

13、分层抽样的定义求出在各层中的抽样比， 即样本容量比上总体容量，按此比例求出应抽取的男生人数解答：解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为= ，则应抽取的男生人数是500=25 人，故答案为： 25点评：本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目14（ 4 分）（ 2015?福建）在 ABC 中，AC=， A=45 ， C=75，则考点 ：正弦定理专题 ：计算题分析：根据 A 和 C 求得 B ，进而根据正弦定理求得解答：解： B=180 45 75=60由正弦定理可知CsinB=BCsinABC 的长度是求得 BC BC=7故答案为点

14、评：本题主要考查了正弦定理的应用属基础题15（ 4 分）（ 2015?福建）若函数|x a|f（ x） =2（ aR）满足 f（ 1+x） =f （ 1 x），且 f （ x）在m ，+）上单调递增，则实数m 的最小值等于1 考点 ：指数函数单调性的应用专题 ：开放型；函数的性质及应用分析：根据式子 f （1+x ）=f（ 1x），对称 f（ x）关于 x=1 对称，利用指数函数的性质得出：函数 f（ x）=2|x a|（ aR），x=a 为对称轴，在 1，+）上单调递增，即可判断m 的最小值解答：解： f（ 1+x） =f （ 1 x）， f（ x）关于 x=1 对称，函数 f （ x） =

15、2 |x a|（ aR）x=a 为对称轴， a=1， f（ x）在 1，+）上单调递增， f（ x）在 m， +）上单调递增， m 的最小值为 1故答案为： 1点评：本题考查了指数型函数的单调性，对称性， 根据函数式子对称函数的性质是本题解决的关键，难度不大，属于中档题16（ 4 分）（ 2015?福建）若 a，b 是函数 f（ x） =x2px+q （ p0， q 0）的两个不同的零点，且 a， b， 2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于 9 考点 ：等比数列的性质；等差数列的性质分析：由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p， ab=q，再由 a

16、，b， 2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b 的方程组，求得a，b 后得答案解答：解：由题意可得： a+b=p， ab=q， p 0，q 0，可得 a 0， b 0，又 a， b， 2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得 或 解 得：；解 得： p=a+b=5， q=1 4=4，则 p+q=9故选： D点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题8三、解答 ：本大 共6 小 ，共 74 分17（ 12 分）（ 2015?福建）等差数列 a 中， a =4， a +a =15n24 7（）求数

17、列 a n 的通 公式；（） bn=2+n，求 b1+b2+b3+b10 的 考点 ：等差数列的性 专题 ： 算 ；等差数列与等比数列分析：（ ）建立方程 求出首 与公差，即可求数列a n 的通 公式；n（） bn=2+n=2 +n，利用分 求和求b1+b2+b3+b10 的 解答：解：（） 公差 d， ，解得，所以 an=3+（ n 1）=n+2 ；（） bnn=2+n=2 +n，2） +（210所以 b1+b2+b3+b10=（2+1 ） +（2 +2+10）=（ 2+22+210） +（ 1+2+10 ）=+=2101 点 ：本 考 等差数列的通 ，考 数列的求和，求出数列的通 是关 1

18、8（ 12 分）（ 2015?福建）全网 播的融合指数是衡量 媒体在中国网民中影响力的 合指 ，根据相关 道提供的全网 播2015 年某全国性大型活 的 “省 新 台 ”融合指数的数据， 名列前20 名的 “省 新 台 ”的融合指数 行分 ， 果如表所示： 号分 数14， 5）225， 6）836， 7）747， 83（ 1） 从融合指数在 4， 5）和 7， 8 内的 “省 新 台 ”中随机抽取 2 家 行 研，求至少有 1 家的融合指数在 7， 8内的概率；（ 2）根据分 表求 20 家 “省 新 台 ”的融合指数的平均数考点 ：用 本的数字特征估 体的数字特征专题 ：概率与 分析：（ 1

19、）利用列 法列出基本事件， 合古典概型的概率公式 行求解即可（ 2）根据平均数的定 和公式 行 算即可9解答：解：（ 1）融合指数在 7， 8 内的 “省级卫视新闻台 ”记为 A 1， A 2， A3，融合指数在 4， 5）内的 “省级卫视新闻台 ”记为 B 1，B 2，从融合指数在 4，5）和 7， 8内的 “省级卫视新闻台 ”中随机抽取 2 家进行调研的事件为：A 1，A 2 ，A 1，A 3 ，A 2，A 3 ，A 1， B1 ，A 1，B 2 ，A 2，B1 ，A 2， B2 ，A 3， B 1 ， A 3， B2 ，B 1， B 2 ，共 10 个至少有 1 家的融合指数在 7，8

20、内的事件有； A 1，A 2 ，A 1，A3 ， A 2，A 3 ，A 1， B 1 ， A 1， B2 ，A 2， B 1 ， A 2， B2 ，A 3， B 1 ， A 3， B2 ，共 9 个，则至少有1 家的融合指数在7 ，8 内的概率为；（ 2）根据分组统计表求这 20 家 “省级卫视新闻台 ”的融合指数的平均数为：=6.05 点评：本题主要考查古典概型，频率分布表，平均数等基础知识，考查数据处理能力，运算求解能力，应用意识，考查必然与或然思想等219（ 12 分）（ 2015?福建）已知点 F 为抛物线 E：y =2px（ p0）的焦点，点 A （2， m）在抛物线 E 上，且 |

21、AF|=3 ，（）求抛物线E 的方程；（）已知点 G（ 1，0），延长 AF 交抛物线 E 于点 B，证明：以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆，必与直线 GB 相切考点 ：直线与圆锥曲线的综合问题专题 ：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：解法一：（I）由抛物线定义可得： |AF|=2+=3，解得 p即可得出抛物线E 的方程（ II ）由点 A （ 2，m）在抛物线 E 上，解得m，不妨取 A，F（1， 0），可得直线 AF 的方程，与抛物线方程联立化为2x2 5x+2=0 ，解得 B又G（ 1， 0），计算 kGA， kGB，可得 kGA +kGB=0， AGF= BGF，即可证明以点 F

22、为圆心且与直线 GA 相切的圆，必与直线GB 相切解法二：（I）同解法一（ II ）由点 A （ 2，m）在抛物线 E 上，解得 m，不妨取 A，F（1， 0），10可得直线 AF 的方程，与抛物线方程联立化为2x2 5x+2=0 ，解得 B又G（ 1， 0），可得直线 GA ， GB 的方程，利用点到直线的距离公式可得：点F（ 1，0）到直线 GA 、GB 的距离， 若相等即可证明此以点 F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线 GB 相切解答：解法一：（I）由抛物线定义可得： |AF|=2+=3，解得 p=2 抛物线 E 的方程为 y2=4x；（ II ）证明：点 A（ 2， m）在抛物

23、线 E 上， m2=42，解得 m=，不妨取 A， F（1， 0），直线 AF 的方程： y=2（ x 1），联立，化为 2x 2 5x+2=0 ，解得 x=2 或 ， B又 G（ 1， 0）， kGA= kGB=， kGA+k GB=0， AGF= BGF， x 轴平分 AGB ，因此点 F 到直线 GA ， GB 的距离相等，以点 F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切解法二：（I）同解法一（ II ）证明：点 A （ 2， m）在抛物线 E 上， m2=42，解得 m=，不妨取A，F（ 1， 0），直线 AF 的方程： y=2（ x 1），联立，化为 2x 2 5x+2=0

24、 ，解得 x=2 或 ， B又 G（ 1， 0），可得直线GA ，GB 的方程分别为：x 3y+2=0，=0，点 F（1， 0）到直线GA 的距离 d=，同理可得点F（1， 0）到直线 GA 的距离 =因此以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切点评：本小题主要考查抛物线、 直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题20（ 12 分）（ 2015?福建）如图， AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 A ， B 的点， PO 垂直于圆 O 所在的平面，且

25、 PO=OB=1 ，（）若 D 为线段 AC 的中点，求证；AC 平面 PDO ；（）求三棱锥PABC 体积的最大值；11（）若 BC=，点 E 在线段 PB 上，求 CE+OE 的最小值考点 ：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积专题 ：空间位置关系与距离分析：（ ）由题意可证AC DO，又 PO AC ，即可证明AC 平面 PDO（）当CO AB 时， C 到 AB 的距离最大且最大值为1，又 AB=2 ，即可求 ABC面积的最大值，又三棱锥P ABC 的高 PO=1，即可求得三棱锥P ABC 体积的最大值（）可求PB=PC，即有 PB=PC=BC ，由 OP=OB ，CP=CB，

26、可证 E为 PB 中点，从而可求OC=OE+EC =，从而得解解答：解：（）在 AOC 中，因为 OA=OC ， D 为 AC 的中点，所以 AC DO，又 PO 垂直于圆 O 所在的平面，所以 PO AC ，因为 DO PO=O，所以 AC 平面 PDO（）因为点C 在圆 O 上，所以当 CO AB 时， C 到 AB 的距离最大，且最大值为1，又 AB=2 ，所以 ABC 面积的最大值为，又因为三棱锥PABC 的高 PO=1，故三棱锥P ABC 体积的最大值为：（）在 POB 中， PO=OB=1 ， POB=90 ，所以 PB=，同理 PC=，所以 PB=PC=BC ，在三棱锥P ABC

27、 中，将侧面BCP 绕 PB 旋转至平面BC P，使之与平面ABP 共面，如图所示，当 O， E，C共线时， CE+OE 取得最小值，又因为 OP=OB ，CP=CB，所以 OC垂直平分 PB，即 E 为 PB 中点从而 OC=OE+EC =12亦即 CE+OE 的最小值为：点评：本题主要考查了直线与直线、 直线与平面的位置关系、 锥体的体积的求法等基础知识，考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题21（ 12 分）（ 2015?福建）已知函数2f（ x）=10 sin cos +10cos（）求函数f （ x）的最小正周期；（）将函数f（

28、 x）的图象向右平移个单位长度，再向下平移a（a 0）个单位长度后得到函数 g（x）的图象，且函数 g（ x）的 最大值为 2（i ）求函数 g（x）的解析式；（ii ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得 g（x0） 0考点 ：三角函数的最值；函数 y=Asin （ x+ ）的图象变换专题 ：开放型；三角函数的求值分析：（ ）先化简函数的解析式，进而求出最小正周期；（）（ i）先求出每一步函数变换的函数解析式，再根据g（x）的最大值为2，容易求出 a 的值，然后进而写出g（ x）的解析式；（ ii ）就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得 10sinx 0 8 0，即 si

29、nx0，由 知，存在0 ，使得 sin00=由正弦函数的性质当 x（ 2k +0，2k+ 0）（ kZ ）时，均有 sinx，即可证明解答：解：（） f（ x） =10sin cos+10cos2=5 sinx+5cosx+5=10sin （ x+）+5，所求函数 f（ x）的最小正周期 T=2 ；（）（ i）将函数 f（ x）的图象向右平移个单位长度后得到 y=10sinx+5的图象，再向下平移 a（ a 0）个单位长度后得到函数g（ x） =10sinx+5 a 的图象，13函数 g（ x）的最大值为2， 10+5 a=2，解得 a=13，函数 g（ x） =10sinx 8（ ii ）要

30、证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得 g（ x0） 0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得 10sinx 0 8 0，即 sinx 0，由 知，存在00，使得 sin0= ，由正弦函数的性质可知，当x（ ， ）时，均有 sinx，00因为 y=sinx 的周期为 2，所以当 x（ 2k+0， 2k+ 0），（ kZ）时，均有 sinx因为对任意的整数k，（ 2k+ ）（ 2k+） = 2 1，000所以对任意的正整数k，都存在正整数 x， 2k+ ），使得 sinxk，k（ 2k+00即存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得 g（x0） 0点评：本题考查了三角函数的辅助角

31、公式、最小正周期、 函数图象的平移变换、 最值问题等，属于中档题22（ 14 分）（ 2015?福建）已知函数f（ x）=lnx （）求函数f （ x）的单调增区间；（）证明；当x1 时， f（ x） x 1；（）确定实数 k 的所有可能取值，使得存在 x01，当 x（ 1， x0）时，恒有 f （ x） k （x 1）考点 ：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性专题 ：综合题；开放型；导数的综合应用分析：（ ）求导数，利用导数大于0，可求函数f （ x）的单调增区间；（）令 F（x） =f（ x）（ x1），证明 F（ x）在 1，+）上单调递减，可得结论；（）分类讨论

32、，令 G（ x） =f （ x） k（ x 1）（ x 0），利用函数的单调性，可得实数 k 的所有可能取值解答：解：（） f（ x） =lnx ， f（ x）= 0（ x 0）， 0 x，函数 f （ x）的单调增区间是（0，）；14（）令F（ x） =f （x）（ x 1），则 F（ x） =当 x 1 时， F（ x） 0， F（x）在 1， +）上单调递减， x 1 时， F（x） F（ 1） =0，即当 x1 时， f（ x） x 1；（）由（）知，k=1 时，不存在x0 1 满足题意；当 k 1 时，对于 x 1，有 f （ x） x 1 k（ x 1），则 f （ x） k（ x1），从而不存在 x0 1 满足题意；当 k 1 时，令 G（ x）=f （ x） k（x 1）（ x 0），则G（ x） =0，可得 x1= 0，x2= 1，当 x（ 1， x2）时， G（ x） 0，故 G（ x）在（ 1，x2 ）上单调递增，从而 x（1， x2）时， G（ x） G（ 1）=0，即 f（ x） k（ x 1），综上， k 的取值范围为（ ， 1）点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数是关键15