勾股定理的应用-最短距离

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1、数学八年级下北师大新课标第一章第二节勾股定理的应用 -最短距离问题教学设计西安市第70中学范聪聪内容和内容解析：本节是义务教育课程标准北师大版教科书八年级（上）第一章勾股定理第三节具体内容是运用勾股定理解决简单的立体图形上的最短距离问题，进一步发展应用意识。本节课是七年级图形的展开与折叠知识的延续，需要把立体图形展开成平面图形后，利用两点之间线段最短在平面上找到最短距离，并运用勾股定理求出最短距离。同时本节课从圆柱（侧面）中来又回到圆柱（内部）中去，最后也为九年级要学习的视图与投影埋下伏笔。目标和目标解析：本节课的重点是利用勾股定理解决立体图形上的最短距离问题， 难点是如何寻找和计算最短距离。

2、设计“蚂蚁怎样走最近？”这个有趣的实际情景，让学生了解实际问题可以转化成数学问题，让学生体验数学源于生活，又应用于生活；在经历寻找和计算“最短距离”的过程中，让学生理解，为什么要把立体图形展开成平面图形，使学生逐渐形成思维上的转化思想，进一步体会数学的应用价值；学生要探究并掌握立体图形转化成平面图形后， 最短距离的寻找方法和利用勾股定理的计算方法， 这也使学生积累利用数学知识解决日常生活中实际问题的经验和方法，逐步形成积极参与数学活动的意识。教学问题诊断分析：学情分析：学生在七年级已学习过图形的展开与折叠，并了解两点 之间线段最短，有一定基础。本节课要求学生在实际问题中自己寻找并 计算最短距离

3、，而八年级学生审题能力，审题方法，数学思维习惯已逐 渐养成，但解决实际问题的能力仍需培养；内容预设：一，本节课学生可能遇到的第一个问题，在寻找“最短 距离”的过程中，在展开后的平面图形上不能准确找到蚂蚁或食物所在 的“点”，而找不准“关键点”的原因：缺乏空间想象能力；懒于动手 操作实践；没能完全感受到立体图形展成平面图形带来的好处；习惯养 成问题（审题意识，审题方法）。二，极个别学生在计算最短距离时出 问题，究其原因：缺乏利用数学知识解决实际问题的能力；对勾股定理 的掌握不够扎实；缺乏由点（蚂蚁和食物）到线（最短距离）再到面（直 角三角形）的意识。三，在探究长方体表面的最短距离问题时，展开方

4、式“找不全”，容易遗漏。究其原因：没有真正理解展开的原因，展开 后的好处；考虑问题不够全面，急于求成； 教学支持条件分析：根据教学问题的诊断，将蚂蚁的移动路线；食物所在的“点”；由 点到线生成的最短距离；以及最短距离所在的面的生成都利用多媒体演 示，直观，生动，并将练习题用多媒体呈现，提高课堂效率教学过程设计:教学环节教师活动学生活动设计意图激情导入激情导入（蚂蚁在圆 柱体上爬 行）1 .引导学生复习 圆柱体的展开图2 .演示动画引出3 .课题板书：勾股学生回顾圆 柱体的展开 图1.帮助学生温故知 新；2.通过视觉激活 学生思维，生成问题理理的应用最短距离）过程体验问题，*:蚂蚁和 食物分别在

5、 圆柱体上相 对的顶点 处，求蚂蚁 怎样走最 近？提问：（回忆）怎 样确定平面上两 点间的最短距 离？立体图形上 的最短距离问题 如何解决？（强调 蚂蚁在侧面爬行）学生审题，思考并作答1 .由有趣的实际问题 引入，激发学生学习 兴趣；2 .解决实际问题首先 是审清题意，所以给 学生留出时间审题；3 .两个问题的提出， 启发学生把立体图 形展开成平面图形， 并用平面图形的知 识来解决立体图形 中最短距离问题。使 学生体会数学上的 转化思想以及数学 源于生活，又服务于 生活分析解决问 题情境一， 寻找并计算 取短距离1.黑板画圆柱体 及其侧面展开 图；2.提问：在展开 图上蚂蚁和食 物这两个“关

6、键点”应标在 哪里？（教师 可借助多媒体 或教具引导学 生寻找关键 点）；最短距 离怎么体现？ 怎样计算最短 距离？3.多媒体演示， （给出圆柱体 的局与底面半 径）思考并作 答，在计算 取短距离时，一名学 生分析思 路，指明圆 柱体上的数 量和展开图 上的数量之 间对应 关系，以及 如何利用勾 股定埋进行 计算1 .教师黑板画图，为 学生在黑板上板书 变式训练一做准备；2 .通过先寻找“关键 点”，再找到“最短 距离”，最终在直角 三角形内利用勾股 计算最短距离这一 过程，使学生再次领 悟任何一个几何图 形都是由基本元素“点”，“线 构成，回归几何的本 直I变式训练一多媒体演不（食物 所在点

7、B向下移 动）学生观察思 考，一名学 生黑板板书该训练是问题情境 一的变式，体现数学 的多样性和灵活性， 直接检验学生是否 已经掌握刚才所学 知识变式训练一多媒体演不（圆柱 体上从A到B绕 石一圈，A点和B 点在圆柱同侧）1.学生观察 思考，一名 学生分析思 路2 .总结立 体图形中计 算最短距离 三步曲：“展”（立 体展平面）“找”（找 最短距离“算”（算 最短距离）1.该训练是问题，情境 一的再次变式，引导 学生体会正确寻找“关键点”这个最基 本几何元素的重要 性，进一步发展学生 空间想象力2.培养 学生归纳总结的能 力。问题，骷S2 :探究长方 体表面的最 短距离问题1 .多媒体演7K,

8、教 师在黑板画图2 .提问：长方体有 几个面组成？长 方体怎么展开？ 至少需要展开几 个面？3 .教师在黑板上 标出六个面4 .教师用教具演 示展开过程并画 出第一种展开方 式，标出关键点和1 .审题2 .学生回答 第一种展开 方式3 .小组合 作，交流讨 论其它展开 方式，并上 黑板展示交 流结果4 .在教师引 导下，学生 对六种展开1.本环节在圆柱体的 基础上提升难度，变 为长方体，引导学生 由浅入深，由圆柱体 侧面展一个面上 的最短距离，到长方 体展开两个面才能 找到最短距离；2.教 师利用多媒体，动态 展示第一个展开图， 起到示范作用，使学 生上黑板有的放矢； 3.引导学生理解后六 种

9、展开方式的原因（源于长，宽，高的取短距离5 .为什么长方体 有六种展开方 式？（长，宽，高 的组合），为什么 排除后只有三 种？（重复）6 .多媒体展示三 种展开方式的计 算结果方式分析排 除，最终归 纳出三种方 式5.计算比较 得出最短距 离组合）4.通过计算比 较得出最短距离。本 环节很好的渗透了 分类讨论思想。变式练习1 .多媒体演7K2 .提问：如何最快找出长方体 上最短距离？1.审题，思 考，作答（一 名学生黑板 板书）2.在 教师引导下 发现最快找 到最短距离式（当 组合成的直 角边最小 时，所求距 离最短）本环节是对问题情 境二的巩固和提高， 同时引导学生发现 解决问题的最佳方

10、案。拓展延伸1 .多媒体演7K （圆 柱体内的最矩距 离问题）2 .提问：该圆柱需1.审题，思 考，回答（该 圆柱不需要 展开）2.小本题是本节课的拓 展延伸，由前向两个 情境中立体图形的“表面”最短距离问要展开吗？3.教师引导组讨论3.学 生分析思路 4.引导学生 关注并总结 立体图形“表面”的 最知距离问 题才需要展 开，而“内 部”的问题 不需要展开题转变成为立体图 形“内部”的最短距 离问题，这也为九年 级的视图学习埋卜 伏笔。同时，该环节 也使整节课从圆柱 中来又回圆柱中去， 首尾呼应，画上了圆 满的句号。目标检测设计：1.如图，一圆柱高8cm,底面半径为-cmi, 一只蚂蚁从点A爬

11、到点B处吃31食，要爬行的最短路程是cm.设计目的：本题检测学生对基础图形的掌握E2.如图：是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为6cm,高为16cn现有一根长为22cm的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少 为 cm设计目的：本题针对本节课的拓展延伸，检验学生是否掌握立体图形 内部的最短距离问题，也为以后要学习的视图打基础。3 .如图，在棱长为1 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现沿着 表面要向顶点B处爬行的最短距离是（）A.3 B. 根号 5C.2D.1设计目的：本题由正方体开始，过渡到下一题 的长方体，由特殊到一般。4 .如图，长方体的长为15 cm,宽为10 cm,高为20 cm,点B离点C 5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是多少？设计目的：本题检测学生对长方体表面最短距离的掌握， 同时类比圆柱体将“关键点”从端点处移动, 考查学生思维的灵活性板书设计股股定理的应用一一最短距离问题一.立体展平面二.展-找-算三.画圆柱展开图画长方体展开图四.练习