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1、精品资源第二讲跨越一一从算术到代数“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化” .著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语士 ，口用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别.字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用.例题【例1】观察下列等式91=8, 164= 12, 259=16, 3616 = 20,这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于 n的等式表示出来：
2、 .(河南省中考题)思路点拨 在观察给定的等式基础上， 寻找数字特点，等式的共同特征，发现一般规律.注：从个别事物中发现一般性规律.这种研究问题的方法叫“归纳法”，是由特殊到一般的思维过程，是发明创造的基础。【例2】 某商品2002年比2001年涨价5%, 2003年又比2002年涨价10%, 2004年比2003 年降价12%,则2004年比2001年().九涨价3% B.涨价1. 64% C涨价1.2% D.降价1. 2%(TRUIY信利杯”竞赛题)思路点拨 设此商品2001年的价格为a元，把相应年份的价格用 a的代数式表示，由 计算作出判断.例3】计算11111111111(+ +)(1
3、+ + +) - (1 卜-7)(+ +)23200223200122002232001思路点拨直接计算复杂而繁难，注意括号内数式的联系，引入字母，将复杂的数值计算转化为简单的式的计算.【例4】有一张纸，第1次把它分割成4片，第2次把其中的1片分割成4片，以后每次都把前面所得的其中一片分割成4片，如此进行下去，试问：(1)经5次分割后，共得到多少张纸片 ？(2)经n次分割后，共得到多少张纸片 ？(3)能否经若干次分割后共得到 2003张纸片？为什么？(江苏省竞赛题)思路点拨 从简单情形人手，发现纸片数的特点是解本例的关键.【例5】在右图中有9个方格，要求每个方格填入不同的的数，使得每行、每列、
4、每条对角线上三个数之和都相等，问：右图上角的数是多少?思路点拨 虽然要求的只是右上角的数，但是题目的条件还与其他的数有关，因此，需恰当地引进不同的字母表示数，以便充分运用已知条件.注： 用字母表示数，有利于运用代数式揭示问题中的数量关系，便于找到数量的相依关 系或相等不等关系，具有设元意识，会用代数式表示，是由算术习惯向代数过渡的重要步骤， 是突破算术方法的定势的关键. 本例的3个小题，反映了我们认识事物、探究问题的基本过程.第（1）小题是研究具体对象，第（2）小题是归纳出一般规律，第 （3）小题是再运用这些规律去分析、研究、解决问题. 有些问题涉及的量比较多，关系复杂，我们就需要引入不同的字
5、母，便于把数量关 系表示出来，在解题中我们不需 （或不能）求出所有字母的值，只需求出关键的字母的 值，这种方法我们称之为“设而不求”.学力训练1.给出下列算式：12+1=1X2, 22+2=2X3,32+3=3 * 观察上面一列算式，你能发现什么规律，用代数式子表示这个规律:（福州市中考题）2o 23 o 32.已知：2+=2 x- , 3+=3 乂一33884244 一 二 42 一，1515a 2 a若 10 + =10 乂一 b b欢迎下载（a、b为正整数）,则a+b=. （2003年武汉市中考题）3 .若（m十n）人完成一项工程需要 m天，则n个人完成这项工程需要 天.（假定每个人的工
6、作效率相同）（江苏省竞赛题）4 .某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用90分钟，若往返都坐车.全部行程只需 30分钟，如果往返都步行，那么需要的时间是 （河南省竞赛题）5. 一项工程，甲建筑队单独承包需要a天完成，乙建筑队单独承包需要b天完成，现两队联合承包，完成这项工程需要 （）天.A.a bC.aba bD.1ab10%,三月份6 .某专卖店在统计 2003年第一季度的销售额时发现，二月份比一月份增加 比二月份减少10%,那么三月份比一月份（）.A.增加10%B.减少10% C.不增不减D.减少1%（河南省中考题）7 .如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平
7、行四边形，依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是（）.A. bc-ab+ac+c2 B . ab-bc-ac+c2C. a2 +ab+bc-ac D . b2-bc+a2-ab河北省中考题）8 .为了绿化环境、美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪 的周长相同，那么它们的面积G、S2的大小关系是（）.A. SiS2B. Sl2）个圆点，每个图案中圆点的总数是 S.5=4 n二3, 5二8n=4T 5= 2按此规律推断出S与n的关系式是.（2001年广西中考题）22 .12 .如图，将面积为 a的小正万形与面积为 b的大正万形放在一起（ba0）,用a、b表示
8、三角形ABC的面积为.（“希望杯”邀请赛试题）13 .已知17个连续整数的和是 306,那么，紧接在这17个数后面的那17个整数的和为14 .用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律.拼成若干个图案:第4个图案中有白色地面砖 块；（2）第n个图案中有白色地面砖 块.（2003年南昌市中考题）15 .下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（）.A. 162738,t950 B. 2345678910 C.3579111300 D. 4692581470（江苏省竞赛题）16 .给出两列数：l, 3, 5, ?, 9,，2001和1, 6, 1l, 16, 21,，2001,同时出现在
9、 两列数中的数的个数为（）.A. 199 B. 200 C. 201 D. 202（重庆市竞赛题）17 .一种商品每件进价为 a元，按进价增加 九折出售，每件还能盈利（）.25%定出售价，后因库存积压降价，按售价的A. 0.125a B. 0.15aC. 0.25a D. 1.25a（山东泰安市中考题）18 .如果用a名同学在b小时内搬运c块砖，那么c名同学以同样的速度搬运 小时数是（）.a块砖所需的2A. -c2- a b2.2,caba bBC 2D2-abc2c219.已知an 1 =11 an(n=l,2,3,2002).求当 a1 =1 时,a1a2a2a3a3a4a2002 a20
10、03的值.20.在一一次数学竞赛中，组委会决定用 NS公司的赞助款购头一批奖品，若以 1台NS计 算器和3本数学竞赛讲座书为一份奖品.则可买 100份奖品；若以1台NS计算器和5 本数学竞赛讲座书为一份奖品.则可买80份奖品.问这 笔钱全部用来购买计算器或 数 学竞赛讲座书，可各买多少 ？（湖北省黄冈市竞赛题）,22.阅读下列材料：十六大提出全面建设小康社会，国际上常用恩格尔系数（记作n）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：n =食品消费支出总额 父100%消费支出总额各类家庭的思格尔系数如下表所示:家庭类型贫困温饱小康富裕最富裕nn60%50%nW60%40%n W50%
11、30%孑一+念甘冽&-E倒4口)因为每分割1次，就要增加3强蛾片，所以经5次分割.排得到1 i 3X5=1&非纸片.f幻思次分割,共将到门十办)张纸片.(3)若能分制2003张虱片.则1 + 3W=2003,加=之加七无整数斛,所不再脸锻若干次分割后得到额03张斑片.提示1姐用.没相应方格中的数为工厂4.明相利,同号处填的故为h*由巳知条件得行+hl +j =x+j3 +-rt = Ji I-Jj + 13 = zj + 9+工* ,苜抨/面机个式子之和等于后面 的两个式子之和.叩2x+xi +xa + x3 + j4 = 13+19 + h +zi + z,+xg e2j-13+19d(1
12、1-16学力训练1. n14-rt=nt4-D2. IM 3.限,叼.崂4+ 15。分钟5. C 6. D 7+ R 8. B见“)S二弊士 f幻1m 1#一尉14*弘时工15m门几y,把骑车走平路时的速度作为T,则符+与=。品+得用年等.11. 5=4五一*12.IX 号95llSi(2)4rt+15. A 设自拈数从。+1开始，这1皿个连续自林数的和为S+n+Cn+E)+S4lQgH10+50aI乱C 第一列数口1我示为2eT-L第二列数可表示为5网41,由Em+15h + 得=春血1m =0.5。tOOO17, A18, D 提乐国一名同学拇小时所撤硝头为治埃名同学授此速度每小时掾移去三
13、块， UOm1 I 11】画出 2CW21%提年15 ML，血k至，叫 =5原式=丽、如.设每台计算器才元，每本教学竞赛讲座)书*元，则10口工十3jO=%02b提示：设所填莪中每行，每列、蛭条对启线四数之称为S.副4S=+2H-3 + -+ 16 = -，1& 5=34.再设左上角所擦的数为*,叫左下常擦的数为逐一木书下谁徐捧的数为154工，其余各格中擦掉的数都可以表示为占的代数式、现楞主对撕找上的数粕加危禅3人即轴+。力融.鳏得丁=1, 于是可以依次算出被擦掉的容数.恢筑后如图所示.J16-才144125+工R一工 981010多工6 x14 一工215+j11514i12679B1。15 11332F22.门湖00X时嬲=48弥元.我(10+即。jm 111f48 + 2wt幻如.面市砺，即明，的丙当 w = 2003 -1997 = 6 时.蜘=裴一名/%CL 55=55%.BU T-gi A qi取心心艮噂得=方，解海和=16,即刈+16 = M3QQ%年，斫以，初3年诬村迸人小康生活，井傕实现十 六大提出的目标.
(人教版数学)七年级竞赛专题讲解：第二讲跨越——从算术到代数
