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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节,二、反函数的求导法则,三、复合函数求导法则,四、初等函数的求导问题,一、四则运算求导法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的求导法则,第二章,思路,:,(,构造性定义,),求导法则,其它基本初等函数求导公式,证明中利用了,两个重要极限,初等函数求导问题,本节内容,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、四则运算求导法则,定理,1.,的和、,差、,积、,商,(,除分母,为,0,的点外,),都在点,x,可导,且,下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和,例题,.,机动 目录 上页 下页 返回
2、 结束,此法则可推广到任意有限项的情形,.,证,:,设,则,故结论成立,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,(2),证,:,设,则有,故结论成立,.,推论,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(,C,为常数,),例,1.,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3),证,:,设,则有,故结论成立,.,推论,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(,C,为常数,),例,2.,求证,证,:,类似可证,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、反函数的求导法则,定理,2.,y,的某邻域内单调可导,证,:,在,x,处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知,因此,机动
3、目录 上页 下页 返回 结束,例,3.,求反三角函数及指数函数的导数,.,解,:,1),设,则,类似可求得,利用,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2),设,则,特别当,时,小结,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在点,x,可导,三、复合函数求导法则,定理,3.,在点,可导,复合函数,且,在点,x,可导,证,:,在点,u,可导,故,（当 时,),故有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,关键,:,搞清复合函数结构,由外向内逐层求导,.,推广,：,此法则可推广到多个中间变量的情形,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5.,设,求,解,:,思考,:,若,存在,如何求,的导
4、数,?,这两个记号含义不同,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,6,.,设,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、初等函数的求导问题,1.,常数和基本初等函数的导数,(P100-101),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,有限次四则运算的求导法则,(,C,为常数,),3.,复合函数求导法则,4.,初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,7.,求,解,:,例,8.,设,解,:,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,9.,求,解,:,关键,:,搞清复合函数结构,由外向内逐层求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,10.
5、,设,求,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,1,.,设,解：,2.,设,解,:,其中,可导,求,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,22,观察函数,方法,:,先在方程两边取对数,对数求导法,-,适用范围,:,二、对数求导法,然后利用求导方法求出导数,.,23,1),对幂指函数,可用对数求导法求导,:,说明,:,按指数函数求导公式,按幂函数求导公式,注意,:,24,例,1.,.,解,:,两边取对数,化为对隐式求导数,两边对,x,求导,求,25,例,3,对,x,求导,两边取对数,求,三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为,相关变化率,相关变化率问题解法,:,找出相关变量的关系式,对,t,求导,得相关变化率之间的,一般关系式,问题：利用其中一个变化率求出未知的相关变化率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,7.,一气球从离开观察员,500 m,处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为,500 m,时,观察员,视线的仰角增加率是多少,?,解,:,设气球上升,t,分后其高度为,h,仰角为,则,两边对,t,求导,已知,h,=500m,时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
高等数学中求导法则
