线性二次型最优控制的MATLAB实现

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1、中北大学2011届毕业设计说明书线性二次型最优控制的 MATLA联现摘要线性二次型最优控制是一种普遍采用的最优控制系统设计方法。使用MATLAB软件设计的GUI控制界面实现最优控制，有较好的人机交互界面，便于使用。线 性二次型最优控制又叫做LQ最优控制或者称为无限长时间定常系统的状态调节 控制器。本文分别从连续系统线性二次型最优控制的MATLA展现，离散系统相形二次型最优控制的 MATLA取现，最优观测器的MATLA比现，线性二次性Guass 最优控制的MATLAER现四个研究方案。本论文就是从这四个方面分别以不同的 性能指标设计不同的 GUI界面以及不同的程序实现其功能并说明其各自的应用 范

2、围。关键词：线性二次型，最优控制，GUI控制界面，最优观测器，Guass最优控 制The Linear Quadratic Optimal Control of MATLABAbstractLinear quadratic optimal control is a widely used to optimal control system design method. Use of MATLAB software design GUI interface control to realize the optimal control, Have good man-machine interfac

3、e, easy to use. The linear quadratic optimal control and called LQ optimal control or an infinite long time of the system state regulation and constant controller.This paper respectively from the continuous system linear quadratic optimal control MATLAB, Discrete system in quadratic optimal control

4、MATLAB, The optimal observer MATLAB, sexual Guass linear quadratic optimal control MATLAB four research plan. This paper is from the four aspects of the performance index respectively in different design different GUI interface and Different programs that realize its function and their application s

5、cope.Keywords: Linear quadratic, The optimal control, GUI control interface, The bestGuass observer, the optimal control目录1 引言 11.1 概述 11.2 课题研究的背景、意义及研究概况 11.3 本文研究的主要内容 22最优控制的基本概念 32.1 最优控制基本思想 32.2 最优控制的性能指标 32.2.1 积分型性能指标 32.2.2 末值型性能指标 52.3 最优控制问题的求解方法 53最连续系统最优控制的 MATLAB；现 73.1 连续系统线性二次型最优控制

6、73.2 连续系统线性二次型最优控制的 MATLAB；现 83.3 连续系统线性二次型最优控制的 MATLA映现示例 84 离散系统线性二次型最优控制的 MATLAB现 174.1 离散系统稳态线性二次型最优控制 174.2 离散系统线性二次型最优控制的 MATLA殴现与示例 185最优观测器的MATLAB；现 231.1 连续时不变系统的KALMANB波 231.2 KalmaNS波的 MATLAB现 241.3 KAlmaNS波的MATLA映现示例 256 线性二次型 GUASS:优控制的 MATLAB；现 316.1 LQGR优控制的求解 316.2 LQGR优控制的 MATLAB；现与

7、示例 327 结论 37参考文献： 38致 ft 39中北大学2011届毕业设计说明书1引言1.1 概述随着计算机技术的飞速发展，控制系统的计算机辅助设计与分析得到了广泛的应 用，目前已达到了相当高的水平。MATLA是国际控制界应用最广泛的计算机辅助设计与 分析工具，它集矩阵运算、数值分析、信号处理和图形显示于一体，构成了一个方便的、 良好的用户环境，具强大的科学计算与可视化功能，简单易用的开放式可编程环境，使 得MATLABt控制领域的各个方面都得到了广泛应用。线性二次型最优控制可以使系统 达某些性能达到最优，在工程上用得较为广泛，也是现代控制理论课程学习的重点和难 点。所谓最优控制，就是根

8、据建立在系统数学模型，选择一个容许的控制规律，在一定 的条件下，使得控制系统在完成所要求的控制任务时使给定的某一性能指标达到最优 值、极小值或极大值。图形用户界面 GUI(Graphical User Interface) 作为用户与软件 交互的一种主要手段，已经成为现代软件的重要组成部分。目前大部分软件的功能主要是通过图形用户界面调用，在软件产品的测试过程中，尤其是功能测试过程中，GUI功能测试占有非常大的比例，GUI测试是现代软件测试的关 键环节。GUI系统质量是整个软件产品质量提升和成本降低的关键。由于GUI软件的独特性，使得原有传统软件的测试方法不大适用于 GUI软件的测试，现有关于G

9、UI测试的研 究相对较少，资源也相对贫乏，并且GUI手工测试已经无法满足测试要求，因而对GUI测 试自动化进行研究具有重要的现实意义。1.2 课题研究的背景、意义及研究概况最优控制理论是50年代中期在空间技术的推动下开始形成和发展起来的 。美国学 者R.贝尔曼1957年提出的动态规划和前苏联学者 L.S.庞特里亚金1958年提出的极大 值原理，两者的创立仅相差一年左右。对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用。线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题则是R.E.卡尔曼在60年代初提出和解决的。对于线性系统，若性能指标是二次型函数，这样实现的控制叫做线性二次型最优控 制，线性二次型最优控制方法是

10、20世纪60年代发展起来的一种普遍采用的最优控制系 统设计方法。这种方法的对象是以状态空间表达式给出的线性系统，而性能指标(或目 标函数)为对象状态与控制输入的二次型函数。二次型问题就是在线性系统的约束条件第1页共39页中北大学2011届毕业设计说明书 下，选择控制输入使得二次型目标函数达到最小。到目前为止，这种二次型最优控制在理论上比较成熟，为解决这类控制问题而开发 的MATLA函数也比较多，而且这种控制应用非常广泛。目前GUI自动化测试工具普遍采用的是捕获/回放(C/P,Capture/Playback)机制，并 没有对GUI测试的自动化提供很好的支持。只能被动捕获被测试系统的执行信息，而

11、不能和被测试系统进行交互,有选择地捕获被测系统的执行信息，且相对于国内软件测试 市场，价格较高，国内没有充分得到应用。因而，研究与设计图形用户界面的自动化测试 工具，对促进国内GUI应用系统测试自动化具有较深远的意义。1.3 本文研究的主要内容本论文将以线性二次型为性能指标，分别从连续系统线性二次型最优控制的 MATLAB 实现，离散系统相形二次型最优控制的 MATLA加现，最优观测器的MATLA取现，线性 二次性Guass最优控制的MATLA取现这四个研究方案入手加以深入，力求在做到实现 最优控制的前提下，控制界面的灵敏性能够有进一步的提高。同时江不同最优控制的设 计进行比较，探讨各种方法的

12、优缺点。针对上述研究内容，本论文内容具体安排如下：第1章：引言。介绍了线性二次型最优控制以及 MATLAB*图形界面GUI的研究背 景、意义和发展概况，并介绍了本文的主要研究内容。第2章：阐述最优控制的基本概念，性能指标以及求解方法。第3章：阐述连续系统线性二次型最优控制的 MATLA映现过程。第4章：阐述离散系统相形二次型最优控制的 MATLA映现过程。第5章：阐述最优观测器的 MATLA取现过程。第6章：阐述线性二次型 Guass最优控制的MATLA取现过程。第2页共39页中北大学2011届毕业设计说明书2最优控制的基本概念2.1 最优控制基本思想设系统状态方程为x(t)= fx(t),u

13、(t),t,x(t0)= X0(2-1)式中，x(t)是n维状态向量；u(t)是p维控制向量；n维向量函数fx(t),u(t),t是x(t),u(t) 与t的连续函数，且对x(t)与t连续可微；u(t)在t0,tf 上分段连续。所谓最优控制问 题，就是要求寻找最优控制函数，使得系统状态x(t)从以知初态x0转移到要求的终端状 态x(t f ),在满足如下约束条件下：(1)控制与状态的不等式约束gx(t),u(t),t 0(2-2)(2)终端状态的等式约束Mx(tf),tf=0(2-3)使性能指标tfJ =x(tf),tf +jFx(t),u(t),tdt (2-4)t0达到极值。式中gx(t)

14、,u(t),t是 m维连续可微的向量函数，m W p; Mx(tf ),tf 是q维连续可微的向量函数，q W n2x(t),u(t),t都是x(t)与t的连续可 微纯量函数。2.2 最优控制的性能指标自动控制的性能指标是衡量系统性能好坏的尺度，其内容与形式取决于最优控制问题所要完成的任务，不同的控制问题应取不同的性能指标，其基本类型如下。2.2.1 积分型性能指标(2-5)tfJ = . Fx(t),u(t),tdtt0 表示整个控制过程中，系统的状态x(t)与施加给系统的控制作用u(t)应当达到某些要求。例如：(1)最小时间控制当选取Fx(t),u(t),t =1则tfJ =Jdt=tf

15、to(2-6)to这种控制要求设计一个快速控制规律，使系统在最短时间内从以知的初态 X(to)转移到要 求的末态x(tf)o例如，导弹拦截器的轨道转移就是属于此类问题。(2)最小燃料消耗控制m当选取Fx(t),u(t),t= Uj(t)j i则tf mJ =此 Uj(t)dt(2-7)to j 1是航天工程中常遇到的重要问题之一。例如，宇宙飞船这种航天器具所携带的燃料有限， 希望在轨道转移时，所消耗的燃料尽可能的少，就是属于此类问题。(3)最小能量控制当选取Fx(t),u(t),t =uT(t)u(t)则t fJ =uT(t)u(t)dt(2-8)to对于一个能量有限的物理系统，例如，通信卫星

16、的太阳能电池，为了使系统在有限的能源条件下载尽可能长的时间内保证正常工作，需要对控制过程中的能量消耗进行约 束，就是属于此类问题。(4)无线时间线性调节器取tf T8，且F(x,u,t) =)xT Qx uTRu2其中，Q之0,RM0,均为加权矩阵，则1 二 TTJ= 1x (t)Qx(t) + u (t)Ru(t)dt(2-9)2to(5)无限时间线性跟踪器取tf T8，且F(x,u,t) =y(t)-z(t)TQy(t)-z(t) uT(t)Ru(t)1 ,TTJ - y(t) -z(t)TQy(t)-z(t) uT(t)Ru(t)dt2 to(2-10)其中，y(t)为系统输出向量，z(

17、t)为系统希望输出向量。在性能指标式(2-8)、式(2-9)、式(2-10)中，被积函数都是由x(t)、y(t)-z或u(t) 的平方项所组成，这种形式的性能指标叫做二次型性能指标。2.2.2末值型性能指标J =x(tf),tf(2-11)表示系统在控制过程结束后，要求系统的终端状态 x(tf)应达到某些要求，在实际工程 中，例如要求导弹的脱靶量最小、机床工作台移动准确停止等。终端时刻tf可以固定，也可以自由，视最优控制问题的性质而定。复合型性能指标t fJ =8x(tf),tf+ Fx(t),u(t),tdt(2-t0表示对整个控制过程及控制过程结束后的终端状态均有要求，是最一般的性能指标形

18、式。2.3最优控制问题的求解方法1 .解析法当性能指标与约束条件为显示解析表达式时，适合用解析法。通常是用求导方法或变分方法解出最优控制的必要条件，从而得到一组方程式或不等式，然后求解这组方程 或不等式，最后得到最优控制的解析解。2 .数值计算法当性能指标比较复杂或不能用变量的显函数表示时，可以采用试探法，即直接搜索 逐步逼近，经过若干次迭代，逐步逼近到最优点。3 .梯度型法这是一种解析与数值计算相结合的方法。第8页共39页3最连续系统最优控制的MATLA改现3.1 连续系统线性二次型最优控制设线性连续定常系统的状态方程为：x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) = x0(3-1

19、)式中，x(t)为n维状态向量；u(t)为p维控制向量，且不受约束；A为nxn维常数矩阵，B为n m p维常数矩阵。系统的性能指标为：1 二 TTJ =- fx Qx+u Rudt(3-2)2 0式中，终端时间无限；Q为维数适当的常数矩阵(常取nn维常数矩阵)；R为维数适当的常数矩阵，R0,R = RT。若下列条件之一满足：(1) Q 0,Q =QT,阵对A,B完全可控；(2) Q之0,Q=QT,阵对A,B完全可控，阵对A,D完全可观，DDT=Q,D为任意 矩阵。则有最优反馈矩阵：K =RBTP(3-3)与唯一的最优控制：u * (t) = -Kx(t) = -RJBT Px(t)(3-4)以

20、及最优性能指标：1 ，一、 ，一、，、j* = _ x(0)Px(0)(3-5)2式中，P为常值正定矩阵，它是以下黎卡提代数方程的唯一解：PA ATP - PBR,BTP Q = 0(3-6)闭环系统： x(t) =(A-BR1BTP)x(t),x(0) =x0(3-7) 是渐近稳定的，其解为最优轨线X(t)。3.2 连续系统线性二次型最优控制的MATLA取现在MATLA系统里，有特别提供的函数来求解连续系统线性二次型状态调节器问题。其函数有lqr() 、lqr2()与lqry()。函数的调用格式为：K,S,E=lqr(A,B,Q,R,N)K,S=lqr2(A,B,Q,R,N)K,S,E=lq

21、ry(sys,Q,R,N)其中，输入参量sys为系统的模型；A为系统的状态矩阵；B为系统的输入矩阵；Q为给 定的半正定实对称矩阵；R为给定的正定实对称矩阵；N代表更一般化性能指标中交叉 乘积项的加权矩阵；输出参量 K为最优反馈增益矩阵；S为对应Riccati方程的唯一正 定解P (若夕!阵A-BK是稳定矩阵，则总有P的正定解存在)；E为A-BK的特征值。函数lqry()用来求解二次型状态调节器的特例，是用输出反馈替代状态反馈，即有：u(t) = -Ky(t)(3-8)1 二其性能指标则为：J = J(yTQy+uTRu)dt(3-9)20这种二次型输出反馈控制称为次优(或准最优)控制。3.3

22、连续系统线性二次型最优控制的MATLA取现示例【例18-1】已知连续系统状态方程与初始条件为，俨(0)=，性能指标：X2(t)=x(t) X2(1) = 11,1J=f X22(t)+1u2(t) dt,设计要求：设计一 GUI界面，界面有五个按钮，分别实现的功能41是：最优反馈增益矩阵 K、最优控制u*(t)、最优性能指标J*、特征方程的特征值和 Riccati方程的正定解P。解：由系统状态方程直接写出状态矩阵、输入矩阵与初始条件：A=0 1, B = 11, x(0)1x(0) 1= /I10_0_X2(0)J选择矩阵中北大学2011届毕业设计说明书由题目要求，第一步：打开MATLAB&入

23、guide回车后将弹出GUIDE快速启动对话框，如图3.1所示Create New GUI Open Existing GUIGUIDE templatesPreviewBlank GUI (Default).GUI with Uicontrols小 GUI with Ax and Menu Modal Question DialogBLAMtusyActi miqu sue庵 ttonllQKiJen 呈*lippingoff-kleteFdn碰normalontNameMS Sans,)JontSi reS.o,FontUnitspointsFonttf eightnormftL田I%1*

24、 f frQregrQundColQr 电IonfighlightColor 幽口fi tTeatoniiterruptibleonPositionLizFeik密10 2.923 .Current Point： 303, 34S图3.4修改属性窗口如图所示，右边窗口为修改属性窗口，常用属性有 字符串，起说明或提示作用；Callback属性， 件的标记，用于标识控件。更多属性功能见附录 1）在图形左边上方的静态文本的属性编辑框中，Fontsize 10%FontUnits normalized %比例String系统输入:string 属性，用于显示在控件上的回调函数，与菜单的一样；Tag属性

25、，控1设置如下属性值：字体大小采用相对度量单位，缩放时保持字体显示在界面上的字符HorizontalAlignment Center %文字中心对齐Units normalized %采用相对度量单位，缩放时保持该区比例2）在图形左边中间的静态文本的属性编辑框中，设置如下属性值:Fontsize 10%FontUnits normalized %比例String系统输出%HorizontalAlignment Center %Unitsnormalized %例字体大小采用相对度量单位，缩放时保持字体显示在界面上的字符文字中心对齐采用相对度量单位，缩放时保持该区比3）在可编辑文本的属性编辑框中

26、，FontUnits normalized %例String%HorizontalAlignment Center %Units normalized %设置如下属性值:采用相对度量单位，缩放时保持字体比清除在界面上的字符文字中心对齐采用相对度量单位，缩放时保持该区比例4）在按钮组的属性编辑框中，设置如下属性值：Fontsize 12%字体大小FontUnits normalized %采用相对度量单位，缩放时保持字体比例HorizontalAlignment Center % 文字中心对齐String连续系统线性二次型最优控制% 在按钮组顶头显示Units normalized %采用相对度

27、量单位，缩放时保持该键比例5）在按钮组的按键上属性编辑框中，设置如下属性值：Fontsize 10%字体大小HorizontalAlignment Center %FontUnits normalized %采用相对度量单位，缩放时保持字体比例文字中心对齐Units normalized %采用相对度量单位，缩放时保持该键比例五个按钮的String属性从上到下分别设置为：最优反馈增益矩阵K、Riccati方程的正定解P、最优控制u*（t）、最优性能指标J*、特征方程的特征值。对控件的属性设置结束后，得到如下界面：图3.5属性设置完的基本图第四步：设计GUI回调函数。点击工具栏最右边的绿色三角按

28、钮运行点击工作台上的”运行界面”的工具图标，会出现一个询问对话框，当按提示对以上的设计进行存储以后，就会引出2个界面：名为Lqr的图形用户界面（如图3,6所示）；展示名为Lqr的（待 填写回调指令的）M函数文件的文件编辑器界面。在Lqr.m文件中，填写回调指令（见附 录）第五步：运行。按例题要求设计回调函数，然后运行。在系统输入框中输入状态矩阵、 输入矩阵、初始状态与给定矩阵，输入完成后分别点击各按钮。（1）按下按钮“最优反馈增益矩阵 K，得到如图3,7的结果:L连铸系统线性二次型最优控制最优反情增益矩阵K印”前方程的正定解P最优控制u*何最优性能指奇特定方程的持证值系统输入L连续系缢线性二次

29、型最优控制系统输入0 0;1 01；00.50 0;0 20图3.6图形用户界面|=1 iiiriri，iiei，ieiiiI.最优反摞增益矩陈KRiaJti方程的正定解P最优控制最优性能指标户特征方程的特征值图3.7(2)按下按钮“ Riccati方程的正定解P”，得到如图3.8结果:L连续系统线性二次型最优控制最优良悔增益矩阵K系虢输入0 0J 01.00.50 0:0 2Di尺仁闻方程的说解P :.! iipimru-imni iratt T? n ittTi，iril-TmTi i-Trlii ! iar ;( i4,最优控制U最优性能指标J*特征方程的特征值11412系统输出图3.8

30、 Riccati方程的正定解P按下按钮“最优控制u*(t) ”，得到3.9图结果：连续系统线性二次型最优控制最优反搐增益矩造K系统殖入0 0;1 01100.50 0:0 20凡忙百恒置的正蝮解P.最优.检.制最痴W银指标r系统输出特征方程的特征值图3.9最优控制u*L浮续系统线性二次型最优控制系统输入0 0;1 01:00.S0 010 2D按下按钮“最优性能指标J*”，得到图3.10结果:最优反馈增益黜车匕Riccati方程的正定解P最珑控制一重优而除标尸_j系统输出1连嫁系统残性二次型最优控制特任方程的特证值图3.10最优性能指标J*按下按钮“特征方程的特征值”，得到图3.11结果：系统

31、输入0 0;1 01:00.S0 0;0 2图3.11特征方程的特征值自此连续系统线性二次型最优控制的 MATLABJ计结束。4离散系统线性二次型最优控制的MATLA改现4.1 离散系统稳态线性二次型最优控制设完全可控线性离散系统的状态方程为：x(k+1) = Ax(k) + Bu(k), x(0) = x0, (k = 0,1，N1)(4-1)式中，x(k)为n维状态向量；u(k)为p维控制向量，且不受约束；A为nxn维非奇异矩阵， B为n x p维矩阵。系统的性能指标为：1 T1NJ = xT(N)Sx(N)十一 xT(k)Qx(k)十uT(k)Ru(k)(4-2)2 2K月式中，Q为nx

32、n维正定或半正定实对称矩阵；R为px p维正定实对称矩阵；S为nxn 维正定或半正定实对称矩阵。最优控制作用与最优反馈矩阵可以有几种不同的表达式。其中最有反馈矩阵之一为：K (k) = R,Bt (At)P(k) - Q (4-3)与之对应的最优控制序列：u* (k) = -K(k)x(k) =-RBT(AT)P(k)-Qx(k)(4-4)以及性能指标：1 TJ* =-xT(0)P(0)x(0)(4-5)2以上几式中，P (k)为正定矩阵，它是以下黎卡提差分方程的正定解：P(k)= Q ATPT(k 1) BR,BT，A (4-6)若控制步数N为无限值，即令Nt8，系统最优控制的解成为稳态解。

33、系统的性能 指标则改为：1 JJ = % xT(k)Qx(k) uT(k)Ru(k)(4-7)2Kz0K(k)变成常数增益矩阵K :K =R BTPBBTPA(4-8)P(k)也变成常数矩阵P :P =Q ATP BRBTA(4-9)对应的最优控制序列为：u*(k) - -Kx(k) - -R BTPBBTPAx(k)(4-10)闭环系统的状态方程为：x(k 1)=Ax(k) Bu(k)=A-B(R BTPB)BTPAx(k)=(I BRBTP)Ax(k)以及最优性能指标仍为：1J* =_xT(0)P(0)x(0)(4-11 )24.2离散系统线性二次型最优控制的MATLA取现与示例在MATL

34、AB勺工具箱里，有特别提供的函数来求解离散系统稳态线性二次型状态调节器问题。其函数有dlqr()与dlqry()。函数的调用格式为：K,S,E =dlqr(A, B,Q,R,N)K,S,E =dlqry(A,B,C,D,Q,R,N)其中，输入参量A为系统的状态矩阵；B为系统的输入矩阵；Q为给定的正定或半正定 实对称矩阵；R为给定的正定实对称矩阵；N代表更一般化性能指标中交叉乘积项的加 权矩阵。/&出参量K为离散最优反馈增益矩阵；S为Riccati方程的唯一正定解P; E 为A-BK的特征解。函数dlqry()用来求解二次型状态调节器的特例，这个特例就是用输出反馈替代状态反馈，即有：u(k) -

35、 -Ky(k)(4-12)其性能指标为：J4C yT(k)Qy(k) uT(k)Ru(k)(4-13)2kz0【例4-1】以知伺服系统动态结构状态方程为x(k 1) = ax(k) bu(k)u(k) = kiv(k) 一 k2x(k)v(k) = r(k) - y(k) v(k -1) y(k) = cx( k)式中a=0.5, b=1, c=1, d=0利用GUI工具箱设计一界面使其满足在点击 【反馈矩阵Kx键时在输出框中输出系统稳 态最优反馈增益矩阵，在点击【Step response 键时在轴上画出相应的系统闭环后的 单位阶跃给定响应曲线。【解】由v(k)有：v( k+1)=r(k+1

36、)-y(k+1)+v(k)=-cax(k)+v(k)-cbu(k)+r(k+1)由x(k+1)与v(k+1)写出矩阵，对于系统稳态，k=g ,以上矩阵就成为:塔)Hca0朦旧小游)令采样信号 (k) =x(k) -x(g),ve(k) =v(k) -v(),ue = u(k) -u(g)。将以上两式相减,可得:xe(k 1) _ a 0 xe(k)bLe(k +1) _j !ca1!ve(k) J Lcb.ue(k)式中由 u(k) =k1v(k) k2x(k),有ue(k)=kM(k)k2xe(k)再令 x(k) =xe(k),x2(k) =ve(k), w(k) =ue(k)。以上矩阵可写

37、成:jx1(k+1)1 = ；a 01)+卜Jx2(k+1)1-ca1px2(k) 一，-cb 一w(k)w(k)=当系统有单位阶跃给定输入时，r(k +1) = r() = r。又由u(k)=k 1v(k) -k2x(k)可得:：，1；0案黑：rx(k 1) a -bk2*八二,1 cOr中北大学2011届毕业设计说明书 根据矩阵乘法运算规则，整理以上矩阵有：.bkix(k)v(k +1)-ca +cbk21 cbkv(k)还有:第26页共39页y(k) =cx(k)=c。喘)设定性能指标为:I T . T _T _J =_% X (k)Qx(k) w (k)Rw(k)2 KR式中参量Q R

38、选择为：10000Q=o 1，5根据以上分析开始设计GUI界面。第一步：启动GUI工具箱以后，布置如4.1图所示的界面:图4.1离散系统最优控制 GUI界面中北大学2011届毕业设计说明书图4.3离散系统反馈矩阵Kx第28页共39页上述界面包含一个坐标轴控件、两个静态文本框控件、一个可编辑文本框、一个按钮组 控件、两个按钮控件、一个列表框控件。第二步：对各控件进行属性设置，设置完成后得到如4.2界面。输入，系统的相关矩阵八I离散系统线性二次型最优控制反愦矩阵Step response输出士系统反馈矩阵1 0.9 0.S 0.7 0.6 0,6 0 4 0.3 0.2 ,1030 40 50 6

39、070 90 100010图4.2离散系统图形用户界面051101000 Q;0 1101 一输入：系统的相关矩阵离散系统战性二次型最优控制反惯矩阵心 目叩r幽3口门吗输出，系统反骸矩阵0.4995-0031110.9，0.9 0.7 OS - 0 5 0.4 -0.3 0 2 0 1 口 -010 20 30 40 50 6070 80 90 100中北大学2011届毕业设计说明书1 0.9 ,8 7 0.6 0.5 0 4 0.3 0.2 1ptep r&SRCin的输出,系统反馈矩阵0 10 20 30 40 50 60 70 30 90 100第三步：界面的激活与回调函数的设计（见附录

40、）。第四步：运行。点击界面按钮”反馈矩阵 Kx”后显示如4.3界面点击界面按钮“ Step response ”后显示如4.4界面输入二系蜕的相去矩阵-Q.5a|110 1000 0;0 1 1 l离散系统线性二次空最优控制图4.4离散系统单位阶跃给定响应设计结束第33页共39页5最优观测器的MATLAB系统的Kalman滤波器就是最优观测器。对于带有系统噪声与量测噪声的实际系统， 抑制或滤掉噪声对系统的干扰及影响，对系统的状态做出充分精确的估计。利用Kalman 滤波器对系统进行最优控制是非常有效的。5.1 连续时不变系统的Kalman滤波给定系统的状态方程与量测方程分别为：x(t) = A

41、x(t) + Bu(t) +Gw(t)(5-1 )y(t) =Cx(t) + Du(t) + Hw(t) +v(5-2)式中，x(k)为n维状态向量；u(k)为p维控制向量，y(t)为q维量测向量；A为nn维非奇异矩阵，B为nx p维矩阵,G为nx p维常数夕!阵，D为qx p维常数矩阵；H为q父p维常数矩阵；假定w(t)为随机噪声干扰输入，它是零均值的p维白噪声过程；假定为随机量测噪声，是零均值的q维白噪声过程。w与v(t)两噪声过程均平稳且互不相关。即有：Ew(t) =0,对一切t之匕Ev =0,对一切t阳。;Ew(t)wT(T) =Q06(t t),对一切 t户之t0.此式中的Q。为常数

42、矩阵(叫做模型噪声的协方差矩阵)。Ew(t)wT(T) =Q06(t E),对一切t尸 t0O此式中的R。为常数矩阵(叫做量测噪声的协方差矩阵)。Ew(t)wT(D =Q对一切t,f 箕。令？。)与(。分别为状态向量估计值与状态向量的估计误差值，x(t)为状态向量的理 论值，则有：(t) =x(t) -(5-3)除上述假设外，还假定C,A是完全可观测的。在这些假定均成立的条件下，使估 计误差平方和的期望值最小(最小方差迹准则滤波估计)既有：J = E XT (t)X(t)=min(5-4)其最优估计器为：?(t 产A软t )+Bu(t )+L y(t )CXt )j=(A LC 网t )+Bu

43、(t)+Ly(t )(5-5)式中L = PCTR(5-6)其中P0为以下Riccati方程的解：AP0 + P0AT +GQ0GT -PJCTRCB =0(5-7)可以证明：Riccati方程的解P0就是估计误差的协方差，而此协方差的迹(trP。) 即为误差方差。如是有：trP=trE X(t)XT(t)卜 E XTX(t,(5-8)5.2 Kalman滤波的MATLA由现在MATLAB勺工具箱里提供了 kalman()函数来求解系统的kalman滤波器，函数的 调用格式为：【Kest, L, P 】=Kalman(sysQ,R,N )其中，输入参量sys为连续或离散系统带扰动的状态空间模型

44、(A, B,c, D )，当模型有 两个时，B = Ibg, D = dh； Q为模型噪声的协方差矩阵； R为量测噪声的协方 差矩阵；N为可选项，它对应模型噪声与量测噪声的相关项。输出参量 Kest为Kalman 滤波器的状态估计器，其状态方程如下：? = (A LC 次(t) + (BLD )u(t)+Ly(t)(5-9)州巧?丁产 u(t)(5-10)夕(t)e，。L为Kalman滤波器的增益矩阵：P为对应的Riccati方程的解，即估计误差的协方差。在MATLAB1版本的工具箱里，还提供了两个配合使用的函数lqe()与3$1而】来求解系统的Kalman滤波器。函数lqe()的调用格式为：

45、IL,P,E,I-lqe A,G,C,Q,R,N其中，输入参量A, G , C为系统式(18-46)与(18-47)中的对应参量；Q为模型噪声的协方差矩阵；R为量测噪声的协方差矩阵；N为可选项，它对应模型噪声与量测噪声 的相关项；输出参量L为Kalman滤波器的增益矩阵；P为对应的Riccati方程的解，即 估计误差的协方差；E为估计器的闭环特征值。函数estim的调用格式为：est=estim(sys L )这个函数用来生成连续系统的 Kalman滤波器，即系统的状态估计器est。输入参量 sys为连续系统带扰动的状态空间模型，输入参量 L为函数leq()求出的Kalman滤波器 的增益矩阵

46、。对于连续系统，用函数kalman()计算的Kalman滤波器的状态估计器kest与用函数estim()求出的Kalman滤波器est,两者应相等。请看以下示例。5.3 Kalman滤波的MATLA取现示例例【5-1：已知单位负反馈连续系统的受控对象与校正装置的传递函数分别为:Gc s =18 s 1s 10试设计一个GUI界面，实现如下要求：(1)点击按钮“ Kalman增益矩阵L”时，在列表框中显示系统 Kalman滤波器的增益 矩阵L ；(2)点击“系统估计误差的协方差P”按钮时，列表框中显示系统估计误差的协方差P；(3)点击“ Kalman最优滤波器”按钮时，列表框中显示系统 Kalm

47、an (最优)滤波器 (a,b,c,d )。解：第一步：启动GUI工具箱以后，布置如图5.1所示的界面：下述界面包含一个静态文本框控件、一个可编辑文本框、一个按钮组控件、三个按钮控件、一个列表框控件。中北大学2011届毕业设计说明书a untit Id, fifT*Cwnl F#knt lOB 410 F4iitiih 1520. 300. $&0E 20图5.1 Kalman最优滤波器GUI基本界面第二步：对各控件进行属性设置，属性设置与例3.1类同，设置完成后得到图5.2界面第三步：界面的激活与回调函数的设计（见附录2）。其中激活界面如图5.3最优观测器性能指标-Qlmmn将益矩阵L系统估

48、计误差协有亲Kalman最优漉波器受控对象与校正装置豢数utput图5.3 Kalman最优控制的激活界面第四步：运行。输入以知矩阵，点击界面按钮“Kalman增益矩阵L”后显示如5.4界面最优现测器性能指标区西益适库区受控对再与校正装置参数001人10 0016180 1 10系统估计误差班方11.559749.8997Kanmsiri最优谑波器图5.4 Kalman滤波器的增益矩阵 L第36页共39页中北大学2011届毕业设计说明书图5.6 Kanman最优滤波器之矩阵 a第38页共39页点击界面按钮”系统估计误差协方差 P按钮，则显示出系统估计误差协方差，如图5.5最优观测器性能指标受控

49、对歙与校正装置参教Kwlmwri增益天巨阵L001100018 180 1 10Kanman最优滤波器1 4 8565SB681126078 66310.115S0.499012,60730 499口107566图5.5系统估计误差协方差点击界面按钮“Kanmanft优滤波器”按钮，列表框中显示出最优滤波器的矩阵, 下分别是a,b,c,d 。分别如图5.6 , 5.7,5.8,5.9 所示。由上到I最优观测器性能指标-受控对象与校正装置参数代引m日n增益主巨阵L 0 11 0 00 18 16 1 1 a系统估计误差物方差 -84_31 -10 J311 -11.560 -65J9-1066.

50、8111.56panmanS-SSiS49J9 1 0 10 0 1 0 01中北大学2011届毕业设计说明书图5.8 Kanman最优滤波器之矩阵 c第40页共39页最优观测器性能指标-受控对嬴与校正装置参数Kalman熠益矩阵L，“ 00110001G1S01 10系统估计误差协方差Immwirunrsii-iinrsininmi-irpmirirpinirireirJKan ma 口最优滤波器 10 -84.31 -1IQJ3 1 -11.550Q 6 5-9-1066B1 1156 499 0 1 0 1 0 C 0 1 0 0 0 1图5.7 Kanman最优滤波器之矩阵 b最优观测

51、器性能指标-受控对康与楂正装置参数Kalman增益矩阵L0011000161801 10系统估计误差协方差Kan man最优滤波器 11155499 0 1 01 0 00 1 0口 0 1口中北大学2011届毕业设计说明书第46页共39页受控对象与校正装置参数最优观测器性能指标-Kalman熠益矩阵L00110001G1S01 10系统估计误差协方差Kanman最优滤波器11155 49.9 0 1 01 0 00 1 0 0 0 1 0图5.9 Kanman最优滤波器之矩阵 d系统的Kalman (最优)滤波器(a, b, c, d)。计算表明，用函数kalman )计算 的Kalman滤

52、波器的状态估计器 Kest与用函数estim()求出的Kalman滤波器est,两者 是相等的。6 线性二次型Guass最优控制的MATLA取现考虑系统随机输入噪声与随机量测噪声的线性二次型最优控制称为线性二次型高斯(Guass)最优控制，即LQG控制。线性二次型高斯最优控制是输出反馈控制。这种 即及系统受到随机因素的作用而采取的控制策略，对解决线性二次型最优控制问题，显然更具有实用性。6.1 LQG最优控制的求解给定系统的状态方程与量测方程分别为:X t = Ax t Bu t Gw t(6-1)y t = Cx t Du t v t(6-2)式中，参量x(t卜u(t)、y(t)、A、B、G、C、D含义同前，假定w(t)为随机噪声干扰输入，它是零均值的p维白噪声过程；假定v(t)为随机量测噪声，是零均值的q维白噪声过程。w(t中v(t )两个噪声过程均平稳且互不相关。系统的性能指标为:Q0 _J = E H xTQx + u0 -TTRu dt(6-3)根据LQG问题的分离原理，LQGR优控制是两个方面问题的综合：一是二次型调节器问题。二是最优估计器问题。(1)LQ最优控制就是二次型调节器问题。最优状态反馈控制有最优反馈矩阵式(6-4):K =RBTP(6-4)最优控制为式(6-5):1 Tu t = -Kx t = -R BTPx