最短路径--教学设计(冯丽华)

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1、短路径第二师华山中学初中数学组冯丽华2015/9/30最短路径教学设计、内容和内容解析1 、内容利用轴对称探究简单的最短路径问题。2 、内容解析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”及“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。本节课以数学史中的一个经典问题“将军饮马问题”为载体，开展最短路径问题的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化“两点之间，线段最短”问题。基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线

2、段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力。二、目标和目标解析1、目标能利用轴对称解决简单的最短路径问题， 体会图形的变换在解决最值问题中的作用， 感悟转 化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识。2、目标解析（ 1）学生能将实际问题中的“地点” “河”抽象为数学中的“点” “线” ，把实际问题抽象为数学问题；（ 2）能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；（ 3）能另选一点，通过比较、逻辑推理证明所求线段和最短；（ 4）在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。三、教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是极值问题， 作为八年级的学生， 在此之前

3、很少接触， 解决这方面问题的经验明显不足，特别是面对实际背景的极值问题无从下手。对于直线异侧的两点， 怎样在直线上找到一点， 使这一点到这两点的距离之和最短， 学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求点。但对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最短，一些学生感到茫然，找不到解决问题的方法。在证明最短时，需要在直线上任选一点（与所求作的点不重合） ，证明所连线段和大于所求作的线段和学生想不到，不会用。教学时，教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”,为学生搭建“脚手架”在证明“最短”时，教师可告诉学生证明“最大”“最小”问题，常常要另选一个量

4、，通过与求证的那个“最大” “最小”的量进行比较证明。由于另取的点具有任意性，所以结论对于直线上 的每一点（点C除外）都成立。本节课的教学难点是：利用轴对称将同侧线段和最短问题转化为异侧线段和最短问题，并 能进行简单推理论证。四、教学支持条件分析在初次解决问题时，学生出现了多种方法，通过测量，发现利用轴对称将同侧两点转化为异 侧两点求得的线段和比较短；进而利用几何画板通过动画演示，实验验证了结论的一般性；最 后通过逻辑推理证明。教具准备：直尺、几何画板，ppt五、教学过程设计环节教师活动学生活动设计意图1.【问题：看到课题，回忆学 过哪些最短路径问题？A B两点之间，线段最短2.以上两个问题，

5、我们称为“最短路径”问题。D复 习 引 入直线外一点与直线上各 点所连线段中，垂线段最3、小试身手已知：如图，点A, B分别是直线 l异侧的两个点，如何在直线l 上找到一个点，使得这个点到 点A、点B的距离的和最短？从学生已经学 过的知识入 手，为进一步 丰富、完善知 识结构做铺 垫。历山大里亚城里有一位久负盛探名的学者，名叫海伦.有f, 一位将军专程拜访海伦，求教究一个百思不得其解的问题：从 图中的A地出发，到一条笔直新的河边l饮马，然后到B地.到 河边什么地方饮马可使他所走知的路线全程最短？精通数学、 物理学的海伦稍加思索，利用 轴对称的知识回答了这个问1.提出问题【故事引入】：相传，古希

6、腊亚认真读题，仔细思考。题.这个问题后来被称为“将 军饮马问题”。探究新知2.分析问题(1) .【转化】：你能将实际问 题抽象为数学问题吗？(2) .【度量】：请尝试找出符 合条件的点C;分别度量出 AC,BC的长度，并计算AC+BC 记录在题目旁边。(3) .【展示】:巡视发现学生不同的作法(尽 可能多),投影，拍照。将实际问题中的“地点” “河”抽象为数学中的 “点”“线”，把实际问题 抽象线段和最小问题。【展示】：学生展示并能 简单说明思路。作法1:学生主动探 索，充分发挥 学生的主动 性。展示多种方 法，产生思维 冲突，引发学 生进一步探究 的学习欲望。(4).【追问】：上述几种方 法

7、中，哪一种作法中的点 C能 使得AC+B饭短？通过“度量”的数据得出 结论。【小结】：发现第3种作 法是较短的，第1种作法 只能说明在河l上取一 点，到A B两地的距离 相等。第2种作法是利用“两点之间线段最短”， 得到BC最短，利用“垂 线段最短，得到AC最短, 但不能确定AC+B晶最短 的。探究新知3.解决问题(1)【转化】用第3种作法的 同学，你们是怎样找到的点C?(2)【比较】在以上几种方法 中，利用轴对称找出的点 C能 使得AC+BO短，但在直线l 上启无数个点，也就后无数条 路线，此时点C还能使AC+BC 最短吗？通常我们要在直线上任另 取一点P (与点C不重合)，说 明 AC+B

8、CAP+BP(3)【几何圆板】卜同我们可 以借助数学工具一几何圆板来 进一步验证一般性。老师动手操作，并回忆作图 步骤，验证对于第3种情况来 说是最短的路径。【注：通过动画演示，从特殊 到一般地验证了前面的结论。】(4).【推理论证】：(1)独立纠正图形(2)请两位同学全班交流推理 过程(3)师生共同完成板书(4)学友向学师口述证明过 程。总 结(1)本节课研究问题的基本过 程是什么？(2)轴对称在所研究问题中起 什么作用？利用轴对称将同侧线段 和最短转化为异侧线段 和最短问题。借助轴对称 的“桥梁”作用，若直线l上任意f (与 点C不重合)与A, B两 点的距离和都大于 AC+BC 就说明

9、AC+BCR；小。认真观察老师的做法，思 考，要想确认AC+BCft短， 可以在直线l上任取一点 P (不与点C重合)通过 度量可以得出 AC+BC最 短。并观察变化趋势。让学生进一步 体会做法的正 确性，提高逻 辑思维能力。让学生在反思 的过程中，体 会轴对称的“桥梁”作用， 感悟转化思 想，丰富数学 活动经验。1 .独立纠错2 .兵教兵进一步推理论 证，加强逻辑 性，培乔学生 良好的思维习 惯。用到了转化的数学思想。B【问题】：如图，A为马厩，牧 马人某一天要从马厩牵出马，拓 展 应 用通过梳理“将 军饮马问题”的解题思 路，帮助学生 归纳解决实际 问题的探究过 程，让学生充 分体会轴对称

10、 变换可以将不 共线的两条路 径转化到一条 直线上。学以致用 及时复习所学 的知识。【小结】：在解决最短路径问题 时，我们通常利用轴对称将同 侧转化为异侧问题，化折线为 直线，从而作出最短路径的选 择。【教师寄语】：现实生活中需要 我们寻找简单、实用的方法， 但学习无捷径，希望大家勤于 思考，多多动脑，用数学知识 武装自己，做一位有智慧的小 将军。六、目标检测设计题目1、（课堂检测）如图，A为马厩，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧 马，再到河边饮马，然后回到马厩。请你帮他确定这一天的最短路线。B学以致用，并且有提高和挑战，作两次轴对称，找到点R点C,连接BC与两直线的交点E、 F, AE+EF+FCP为所求路径。在解决最短路径问题时，通常利用轴对称将同侧转化为异侧问题， 化折线为直线，从而作出最短路径的选择。题目2、（课后检测）如图，一个旅游船从大桥 AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸 BC上，再返 回P处，请画出旅游船的最短路径.设计意图：本题中点P点Q是定点，线段PQ长度不变，作点P或点Q的对称点即可。连接P Q交直 线与C,此时PQ+PC+QC短。本题难度适中，适合作为课后练习，是学生跳一跳能摘到的果子，达到复习本节课知识方 法，又为后续学习打下基础。