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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,四、二次曲面,第三节,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲面及其方程,第七章,一、曲面方程的概念,求到两定点,A,(1,2,3),和,B,(2,-1,4),等距离的点的,化简得,即,说明:,动点轨迹为线段,AB,的垂直平分面.,引例:,显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.,解:设轨迹上的动点为,轨迹,方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义,1.,如果曲面,S,与方程,F,(,x,y,z,)=0,有下述关系:,(1)
2、,曲面,S,上的任意点的坐标都满足此方程;,则,F,(,x,y,z,)=0,叫做曲面,S,的,方程,曲面,S,叫做方程,F,(,x,y,z,)=0,的,图形,.,两个基本问题:,(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面,S,上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.,(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状,(必要时需作图).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故所求方程为,例,1.,求动点到定点,方程,.,特别,当,M,0,在原点时,球面方程为,解:,设轨迹上动点为,即,依题意,距离为,R,的轨迹,表示上(下)球面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,研究方程,解:,配方
3、得,此方程表示:,说明:,如下形式的三元二次方程,(,A,0),都可通过配方研究它的图形.,其图形可能是,的曲面.,表示,怎样,半径为,的球面.,球心为,一个,球面,或,点,或,虚轨迹,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义,2,.,一条平面曲线,二、旋转曲面,绕其平面上一条,定直线,旋转,一周,所形成的曲面叫做,旋转曲面,.,该定直线称为,旋转,轴.,例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,建立,yoz,面上曲线,C,绕,z,轴旋转所成曲面,的方程:,故旋转曲面方程为,当绕,z,轴旋转时,若点,给定,yoz,面上曲线,C,:,则有,则有,该点转到,机动 目录 上页 下页 返回 结束
4、,思考：,当曲线,C,绕,y,轴旋转时，方程如何？,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,试建立顶点在原点,旋转轴为,z,轴,半顶角为,的圆锥面方程,.,解,:,在,yoz,面上直线,L,的方程为,绕,z,轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,4.,求坐标面,xoz,上的双曲线,分别绕,x,轴和,z,轴旋转一周所生成的旋转曲面方程,.,解:绕,x,轴旋转,绕,z,轴旋转,这两种曲面都叫做,旋转双曲面,.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、柱面,引例.,分析方程,表示怎样的曲面,.,的坐标也满足方程,解:,在,xo
5、y,面上,，,表示圆,C,沿曲线,C,平行于,z,轴的一切直线所形成的曲面,称为,圆柱面,.,故在空间,过此点作,对任意,z,平行,z,轴的直线,l,表示,圆柱面,在圆,C,上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义3.,平行定直线并沿定曲线,C,移动的直线,l,形成,的轨迹叫做,柱面,.,表示,抛物柱面,母线平行于,z,轴;,准线为,xoy,面上的抛物线.,z,轴的,椭圆柱面,.,z,轴的,平面,.,表示母线平行于,(且,z,轴在平面上,),表示母线平行于,C,叫做,准线,l,叫做,母线,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一般地,在三维空间,柱面
6、,柱面,平行于,x,轴;,平行于,y,轴;,平行于,z,轴;,准线,xoz,面上的曲线,l,3.,母线,柱面,准线,xoy,面上的曲线,l,1.,母线,准线,yoz,面上的曲线,l,2.,母线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、二次曲面,三元二次方程,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为,二次曲面,.,(二次项系数不全为 0),机动 目录 上页 下页 返回 结束,1,.,椭球面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.抛物面,(1),椭圆抛物面,(,p,q,同号),(2),双曲抛物面（鞍形曲面）,特别,当,p=q,时为绕,z,轴的旋转抛物面.,(,p,q,同号),机
7、动 目录 上页 下页 返回 结束,3.双曲面,(1)单叶双曲面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),双叶双曲面,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,单叶双曲面,双叶双曲面,P18 目录 上页 下页 返回 结束,4.,椭圆锥面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,如,曲线,绕,z,轴的旋转曲面:,柱面,如,曲面,表示母线平行,z,轴的柱面.,又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.二次曲面,三元二次方程,椭球面,抛物面,:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面,:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,斜率为1的直线,平面解析几何中,空间解析几何中,方 程,平行于,y,轴的直线,平行于,yoz,面的平面,圆心在(0,0),半径为 3 的圆,以 z 轴为中心轴的,圆柱面,平行于 z 轴的平面,思考与练习,1.,指出下列方程的图形:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
高等数学曲面方程画法
