同济大学第五版高等数学(下)课件D11_3幂级数

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1、第 三 节一 、 函 数 项 级 数 的 概 念 二 、 幂 级 数 及 其 收 敛 性 三 、 幂 级 数 的 运 算 幂 级 数 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 第 十 一 章 一 、 函 数 项 级 数 的 概 念设 1 21 )()()()(n nn xuxuxuxu 为 定 义 在 区 间 I 上 的 函 数 项 级 数 .对 ,I0 x 若 常 数 项 级 数 1 0)(n n xu敛 点 , 所 有 收 敛 点 的 全 体 称 为 其 收 敛 域 ;若 常 数 项 级 数 1 0)(n n xu 为 定 义 在 区 间 I 上 的 函 数 , 称收 敛 ,发 散

2、, 所 有0 x称 为 其 收 0 x称 为 其 发 散 点 , ),2,1()( nxun发 散 点 的 全 体 称 为 其 发 散 域 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ,)(xS为 级 数 的 和 函 数 , 并 写 成 )()( 1 xuxS n n若 用 )(xSn )()( 1 xuxS nk kn 令 余 项 )()()( xSxSxr nn 则 在 收 敛 域 上 有 ,)()(lim xSxSnn 0)(lim xrnn表 示 函 数 项 级 数 前 n 项 的 和 , 即在 收 敛 域 上 , 函 数 项 级 数 的 和 是 x 的 函 数 称 它 机 动

3、 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 如 , 等 比 级 数它 的 收 敛 域 是 ,)1,1( ,11,( ），及 nn n xxxx 20 1xxn n 110它 的 发 散 域 是 或 写 作 .1x又 如 , 级 数 ,)0(0 2 xnxxn nn ,)(lim xunn 级 数 发 散 ;所 以 级 数 的 收 敛 域 仅 为 .1x ,)1,1( 时当 x 有 和 函 数 ,1时 收 敛当 x,10 时但 当 x 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 二 、 幂 级 数 及 其 收 敛 性 形 如 0 0)(n nn xxa 202010 )()( xxaxxa

4、a的 函 数 项 级 数 称 为 幂 级 数 , 其 中 数 列 ),1,0( nan下 面 着 重 讨 论 00 x0n nnxa nnxaxaxaa 2210例 如 , 幂 级 数 1,110 xxxn n为 幂 级 数 的 系 数 . 即 是 此 种 情 形 .的 情 形 , 即 nn xxa )( 0 称 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 o x发 散发 散 收 敛 收 敛 发 散定 理 1. ( Abel定 理 ) 若 幂 级 数 0n nnxa,0点 收 敛在 xx 则 对 满 足 不 等 式 0 xx 的 一 切 x 幂 级 数 都 绝 对 收 敛 .反 之 , 若

5、 当 0 xx0 xx 的 一 切 x , 该 幂 级 数 也 发 散 . 时 该 幂 级 数 发 散 ,则 对 满 足 不 等 式证 : 设 0 0n nnxa ,0lim 0 nnn xa收 敛 , 则 必 有 ),2,1(0 nMxa nn 于 是 存 在常 数 M 0, 使 阿 贝 尔 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 当 时 , 0 xx 0 0n nxxM 收 敛 , 0n nnxa故 原 幂 级 数 绝 对 收 敛 . 也 收 敛 ,反 之 , 若 当 0 xx 时 该 幂 级 数 发 散 ,下 面 用 反 证 法 证 之 .假 设 有 一 点 1x 01 xx 0 x满

6、足 不 等 式 0 xx 所 以 若 当 0 xx满 足 且 使 级 数 收 敛 ,面 的 证 明 可 知 , 级 数 在 点故 假 设 不 真 . 的 x , 原 幂 级 数 也 发 散 . 时 幂 级 数 发 散 ,则 对 一 切则 由 前也 应 收 敛 , 与 所 设 矛 盾 , nnnnnn xxxaxa 00 nnn xxxa 00 nxxM 0 证 毕 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 幂 级 数 在 ( , +) 收 敛 ;由 Abel 定 理 可 以 看 出 , 0n nnxa中 心 的 区 间 . 用 R 表 示 幂 级 数 收 敛 与 发 散 的 分 界 点

7、,的 收 敛 域 是 以 原 点 为则R = 0 时 , 幂 级 数 仅 在 x = 0 收 敛 ;R = 时 ,0 R 幂 级 数 在 ( R , R ) 收 敛 ;( R , R ) 加 上 收 敛 的 端 点 称 为 收 敛 域 .R 称 为 收 敛 半 径 ， 在 R , R 可 能 收 敛 也 可 能 发 散 .Rx 外 发 散 ; 在 ( R , R ) 称 为 收 敛 区 间 .o x发 散发 散 收 敛 收 敛 发 散 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 xaaxa xa nnnnn nnn 111 limlim定 理 2. 若 0n nnxa 的 系 数 满 足

8、,lim 1 nnn aa;1R ;R .0R证 :1) 若 0, 则 根 据 比 值 审 敛 法 可 知 :当 ,1x 原 级 数 收 敛 ;当 ,1x 原 级 数 发 散 .x即 1x 时 ,1) 当 0 时 ,2) 当 0 时 ,3) 当 时 ,即 时 , 则 1x 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2) 若 ,0 则 根 据 比 值 审 敛 法 可 知 ,;R绝 对 收 敛 ,3) 若 , 则 对 除 x = 0 以 外 的 一 切 x 原 级 发 散 ,.0R 对 任 意 x 原 级 数因 此因 此 0n nnxa 的 收 敛 半 径 为说 明 :据 此 定 理 1li

9、m nnn aaR因 此 级 数 的 收 敛 半 径 .1R 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 对 端 点 x = 1, 1lim nnn aaR nxxxx nn 132 )1(32的 收 敛 半 径 及 收 敛 域 .解 : 11nn1 1对 端 点 x = 1, 级 数 为 交 错 级 数 ,1)1(1 1nn n 收 敛 ; 级 数 为 ,11 n n 发 散 . .1,1(故 收 敛 域 为例 1.求 幂 级 数 limn 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 2. 求 下 列 幂 级 数 的 收 敛 域 : .!)2(;!1)1( 00 nnnn xnx

10、n 解 : (1) limlim 1 nnnn aaR !1n )1(lim nn 所 以 收 敛 域 为 .),( (2) limlim 1 nnnn aaR !n !)1( n 11lim nn 0所 以 级 数 仅 在 x = 0 处 收 敛 . 规 定 : 0 ! = 1!)1( 1n 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 3. nn xnn 20 2)!( !)2(求 幂 级 数 的 收 敛 半 径 .解 : 级 数 缺 少 奇 次 幂 项 ,不 能 直 接 应 用 定 理 2,比 值 审 敛 法 求 收 敛 半 径 . lim)( )(lim 1 nnnn xu xu

11、 2!)1( !)1(2 nn 2! !2nn 22)1( )22()12(lim xn nnn 24x14 2 x当 时 级 数 收 敛时 级 数 发 散 故 收 敛 半 径 为 .21R21x即14 2 x当 21x即 )1(2 nxnx2 故 直 接 由 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 4. 1 2 )1(n n nnx求 幂 级 数 的 收 敛 域 .解 : 令 ,1xt 级 数 变 为 nn n tn1 21 nnnn aaR limlim 1 nn21 )1(2 11 nn nnnnn 2 )1(2lim 1 2当 t = 2 时 , 级 数 为 ,11n n

12、此 级 数 发 散 ;当 t = 2 时 , 级 数 为 ,)1(1 n nn 此 级 数 条 件 收 敛 ;因 此 级 数 的 收 敛 域 为 ,22 t 故 原 级 数 的 收 敛 域 为,212 x 即 .31 x 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 三 、 幂 级 数 的 运 算定 理 3. 设 幂 级 数 nn nxa0 nn nxb0及 的 收 敛 半 径 分 别 为, 21 RR 令 nn nxa0 )(0 为 常 数 nn nxa 1Rx ,min 21 RRR nn nnn n xbxa 00 ,)(0 nn nn xba Rx ,0 nn nxc Rx 则 有

13、: nn nnn n xbxa 00 其 中 knnk kn bac 0 以 上 结 论 可 用 部 分 和 的 极 限 证 明 .机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 说 明 : 两 个 幂 级 数 相 除 所 得 幂 级 数 的 收 敛 半 径 可 能 比原 来 两 个 幂 级 数 的 收 敛 半 径 小 得 多 . 例 如 , 设 nn nxa0 nn nxb0 ),2,1,0,1( 0 naa n ,3,2,0 ,1,1 10 nb bbn它 们 的 收 敛 半 径 均 为 ,R 但 是nn nxa0 nxxx 21其 收 敛 半 径 只 是 .1R1 x1 nn nxb0

14、x11 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 定 理 4 若 幂 级 数 nn nxa0 的 收 敛 半 径 ,0R)(xS数 (证 明 见 第 六 节 ) nn nxaxS 0)( ,11 nn nxan ),( RRx xxaxxS n x nnx dd)( 0 00 ,1 10 nn n xna ),( RRx 则 其 和 函在 收 敛 域 上 连 续 , 且 在 收 敛 区 间 内 可 逐 项 求 导 与逐 项 求 积 分 , 运 算 前 后 收 敛 半 径 相 同 : 注 : 逐 项 积 分 时 , 运 算 前 后 端 点 处 的 敛 散 性 不 变 . 机 动 目 录 上

15、 页 下 页 返 回 结 束 解 : 由 例 2可 知 级 数 的 收 敛 半 径 R +.例 5. 0 !n nnx求 幂 级 数 0 !)( n nnxxS )( x则 1 1 !)1()( n nnxxS 0 !k kkx )(xS )( x故 有 0)( xSe x xeCxS )( ,)(1)0( xexSS 得由 故 得 .!0 xn n enx 的 和 函 数 .因 此 得 设 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 6. 1n nxn求 幂 级 数 的 和 函 数解 : 易 求 出 幂 级 数 的 收 敛 半 径 为 1 , x 1 时 级 数 发,)1,1( 时故

16、 当 x 1)( n nxnxS 1 )(n nxx xxx 1 2)1( xx .)(xS 1 1n nxnx 1n nxx散 , 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 7. 求 级 数 0 1n nnx 的 和 函 数 .)(xS解 : 易 求 出 幂 级 数 的 收 敛 半 径 为 1 , 时 级 数且 1x 0 1)( n nnxxS x n n xxx0 0 d1 x xxx0 d111)1ln(1 xx ) 10( x 1x及收 敛 , 有时则 当 ,0 x 0 111n nnxx x nn xxx 00 d1 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 )1,0

17、()0,1 x)(xS ,)1ln(1 xx 因 此 由 和 函 数 的 连 续 性 得 :)(xS而 )0(S ,1)1(lnlim0 x xx ,)1ln(1 xx ,1 0 x,1 ) 10( x 1x及 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 8. .2)1( 12 2 的 和求 数 项 级 数 n nn解 : 设 ,1)( 2 2 n nnxxS 则,)1,1(x 2 112n nnxx 2 1121 n nnxx )0( x 12n nnxx 321 n nnxx nn xnnxS 111121)( 2 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 1n nnx 1

18、0 1dn x n xx而 xxx n n d0 1 1 x xx01d)1ln( x 42)1ln(21)( 2 xxxxxS 故 2 2 2)1( 1n nn )0( x 1212)( n nnxxxxS )2(21 2xxx 21S 2ln4385 )0( x 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 内 容 小 结1. 求 幂 级 数 收 敛 域 的 方 法1) 对 标 准 型 幂 级 数先 求 收 敛 半 径 , 再 讨 论 端 点 的 收 敛 性 .2) 对 非 标 准 型 幂 级 数 (缺 项 或 通 项 为 复 合 式 )求 收 敛 半 径 时 直 接 用 比 值 法 或

19、 根 值 法 ,2. 幂 级 数 的 性 质1) 两 个 幂 级 数 在 公 共 收 敛 区 间 内 可 进 行 加 、 减 与)0(0 nnn n axa也 可 通 过 换 元 化 为 标 准 型 再 求 .乘 法 运 算 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2) 在 收 敛 区 间 内 幂 级 数 的 和 函 数 连 续 ;3) 幂 级 数 在 收 敛 区 间 内 可 逐 项 求 导 和 求 积 分 .思 考 与 练 习 1. 已 知 nn nxa0 0 xx在 处 条 件 收 敛 , 问 该 级 数 收 敛半 径 是 多 少 ?答 : 根 据 Abel 定 理 可 知 ,

20、 级 数 在 0 xx 收 敛 ,0 xx 时 发 散 . 故 收 敛 半 径 为 .0 xR 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2. 在 幂 级 数 nn n n x 0 2 )1(2 中 ,nnaa 1 nn)1(2 )1(221 1 n 为 奇 数,23 n 为 偶 数,61能 否 确 定 它 的 收 敛 半 径 不 存 在 ?答 : 不 能 . 因 为n nn xu )(lim 2)1(2lim xn nn 2x当 2x 时 级 数 收 敛 , 2x 时 级 数 发 散 , .2R说 明 : 可 以 证 明比 值 判 别 法 成 立 根 值 判 别 法 成 立 机 动 目

21、 录 上 页 下 页 返 回 结 束 P215 1 (1), (3), (5), (7), (8) 2 (1), (3)P257 7 (1), (4) 8 (1), (3) 作 业 第 四 节 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 阿 贝 尔 (1802 1829)挪 威 数 学 家 , 近 代 数 学 发 展 的 先 驱 者 . 他 在 22岁 时 就 解 决 了 用 根 式 解 5 次 方 程的 不 可 能 性 问 题 , 他 还 研 究 了 更 广 的 一 并 称 之 为 阿 贝 尔 群 . 在 级 数 研 究 中 , 他 得 到 了 一 些 判 敛 准 则 及 幂 级 数 求 和 定

22、 理 . 论 的 奠 基 人 之 一 , 他 的 一 系 列 工 作 为 椭 圆 函 数 研 究 开拓 了 道 路 . 数 学 家 们 工 作 150年 . 类 代 数 方 程 , 他 是 椭 圆 函 数C. 埃 尔 米 特 曾 说 : 阿 贝 尔 留 下 的 思 想 可 供 后 人 发 现 这 是 一 类 交 换 群 , 备 用 题 求 极 限 ,)(lim 221 nanaan 其 中 .1a解 : 令 nn anaaS 221 nk kak1作 幂 级 数 ,1n nxn 设 其 和 为 ,)(xS易 知 其 收 敛 半 径 为 1,则 1)( n nxnxS 1 1n nxnx 1n nxx xxx 1 2)1( xxnn S lim )(1aS 2)1( a a 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束