小学教育概统课件

《小学教育概统课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学教育概统课件（45页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,小学教育概统课件,小学教育概统课件小学教育概统课件4.1.1 数学期望的定义例：某自动化车床一天内加工的零件中，出现次品的数量X是一个随机变量。由多日统计，得X分布律如下:问车床平均一天出几个次品？解：设车床工作100天，按分布律，理想化后可得平均值为2,4.1.1,数学期望的

2、定义,例：某自动化车床一天内加工的零件中，出现次品的数量,X,是一个随机变量。由多日统计，得,X,分布律如下,:,X,0,1,2,3,4,0.15,0.27,0.44,0.10,0.04,问车床平均一天出几个次品？,解：设车床工作,100,天，按分布律，理想化后可得平均值为,2,数学期望的定义,若级数 不绝对收敛，我们称,X,的数学期望不存在。,定义,4.1,设离散型随机变量,X,的概率分布为,PX=x,k,=p,k,k=1,2,如果级数,绝对收敛，则称此级数为,X,的数学期望（也称期望或均值），记为,3,泊松分布的期望,例,4.3,设,X,，则,E(,X)=.,4,连续型随机变量的数学期望,

3、定义,4.2,设连续型随机变量,X,的密度函数为,f(x),如果广义积分,则称此积分为随机变量,X,的数学期望,记为,绝对收敛，,5,例,4.4,分布的数学期望,X,的密度函数,:,解,:,6,例：随机变量不存在的例子,设随机变量,X,服从,Cauchy,分布，其密度函数为：,这表明积分 不绝对收敛,因而,EX,不存在,.,7,4.1.2,随机变量函数的期望,定理,4.1,设,X,为随机变量，,Y=g(X),是,X,的连续函数或单调函数，则,(1),若离散型随机变量,X,PX=x,k,=p,k,k=1,2,，且级数,绝对收敛，则,8,X,P,g(x),P,x1,x2,xn,p1,p2,pn,g

4、(x1),g(x2),g(xn),p1,p2,pn,9,(2),若连续型随机变量,X,f(x),，如果广义,积分,绝对收敛，则,4.1.2,随机变量函数的期望,10,例,4.6,某车站开往甲地的班车每小时,10,分,40,分,发车,一乘客因不知车站发车的时间,在每,小时的任意时刻都随机到达车站,求乘客,的平均等待时间,.,解：设乘客到达车站的时间为,X,等车时间为,Y,则,XU0,60,且,11,于是,乘客的平均等待时间,E(Y),为,:,例,4.6,12,定理,4.2,设,(X,Y),为二维随机变量，,Z=g(X,Y),是,(X,Y),的连续函数,.,二维随机变量函数的期望,(1),设离散型

5、随机变量,(X,Y),的概率分布为,PX=x,i,Y=y,j,)=p,ij,i,j=1,2,绝对收敛,则,如果级数,13,(2),若连续型随机变量,(X,Y),f(x,y),，如果广义积分,绝对收敛，则,二维随机变量函数的期望,14,例,4.7,两元件并联构成系统，由元件寿命,X,及,Y,独立同分布于,e(0.5),求系统的平均寿命,.,解：写出,(X,Y),的联合密度函数,令,Z,表示系统寿命,则,15,例,4.7,16,4.1.3,数学期望的性质,证,:,设,X,有密度,f(x),，则,17,证,4.1.3,数学期望的性质,18,(4),设,X,i,(i=1,2,n),是,n,个随机变量，

6、,C,i,(i=1,2,n),是,n,个常数，则,-,线性性质,(5),若,X,及,Y,独立，则,E(XY)=E(X).E(Y),(,独立时，乘积的期望等于期望的乘积,),4.1.3,数学期望的性质,19,例,4.8,设随机变量,（,1,）求,E(X-Y),（,2,）求,（,3,）若,X,及,Y,独立，求,E(XY).,20,例,4.9,设,XBn,p,则,E,X=np,解：,设,X,表示,n,次独立重复试验中事件,A,发生的次数,，,则,而,故,21,4.2,方差,4.2.1,方差的定义及计算,定义,4.3,设,X,是随机变量，若,E(X-EX),2,存在，称为,X,的方差，记为,D(X)=

7、E(X-EX),2,（或,Var(X),），称 为标准差。,(,方差本质是随机变量函数的期望,),度量随机变量,及,均值的偏离程度,22,方差的计算式,(,实数,),23,例,4.11,例,4.12,24,4.2.2,方差的性质,(,常数的方差等于,0),（,1,）,（,2,）,a,b,为常数，,（,3,）若,X,及,Y,独立，,25,例,4.13,例,4.14,随机变量,且,X,，,Y,，,Z,相互独立，,26,(4),设随机变量,X,i,(i=1,2,n),相互独立，,c,i,(i=1,2,n),是,n,个常数，则,(5)D(X)=0,存在常数,C,，使得,PX=C=1,，且,C=EX.,

8、4.2.2,方差的性质,27,4.2.3,变异系数，矩,定义,4.4,若随机变量,X,的期望、方差均存在，且 ，则变异系数为,定义,4.5,若随机变量,X,对非负整数,k,有下列期望存在，,X,的,k,阶原点矩,X,的,k,阶中心矩,28,例,4.15,随机变量 求,X,的变异系数，,k,阶原点矩及,3,阶中心矩。,29,随机变量的标准化,设随机变量,X,的数学期望,E(X),，方差,D(X),均存在，且,D(X)0,，定义一个新的随机,变量,则,EX*=0,，,DX*=1,，,称,X*,是随机变量,X,的标准化随机变量。,30,定义,4.6,：对二维随机变量,(X,Y),，,Cov(X,Y)

9、=EX,-,E(X)Y,-,E(Y),称为,X,及,Y,的协方差。,4.3.1,协方差,Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).,协方差的计算式为：,特别地，,Cov(X,X)=DX.,31,协方差的性质,(1),Cov(X,Y)=Cov(Y,X),(2)Cov(X,a)=0,(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),(4),Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z),(6),若,X,及,Y,独立，则,Cov(X,Y)=0.,32,二维向量的数字特征,对二维随机变量,(X,Y),称向量,为,(X,Y),的,协方差阵。,（可推广到,n,维）,称矩阵,为,(X,Y),

10、的,数学期望,(,均值向量,).,33,例,4.16 (X,Y),有二维分布律,XY,0 1 2,0,1,1/6 1/12 1/6,1/12 1/3 1/6,求,(X,Y),的数学期望和协方差矩阵,.,解,：,(1),先求,X,Y,的边缘分布律,;,34,例,4.16,(2),计算,X,Y,的期望和方差,得：,(3),为计算,Cov(X,Y),，须计算二维随机变量函数,Z=XY,的期望：,(4),余下的代入公式计算，见,P123.,35,例,4.17,随机变量,且,X,Y,独立,求,D(3X-2Y+Z).,解：本题主要利用协方差的性质,D(3X-2Y+Z)=D(3X-2Y)+DZ,+2Cov(

11、3X-2Y,Z),D(3X-2Y)=?,=D(3X)+D(2Y),2Cov(3X,Z)-2Cov(2Y,Z),Cov(3X-2Y,Z)=?,36,标准化随机变量的协方差,常数,4.3.2,相关系数,37,定义,4.4,若随机变量,X,，,Y,的期望和方差均存在，且,DX0,DY0,，则,称为,X,及,Y,的相关系数。,38,相关系数的性质,定理,4.4 (1)R(X,Y)=R(Y,X),(2)|R(X,Y)|1,(3)|R(X,Y)|=1,的充要条件为：存在常数,a,b,且,a0,使得,P(Y=aX+b)=1.,特别地，若,a0,可得,R(X,Y)=1,称为,正线性相关；反之,称为负线性相关。

12、,39,关于,t,的一元二次方程,f(t),对任意,t,都有,证明：,(2)|R(X,Y)|1,40,独立,及,不相关,X,Y,独立时，可以推出,Cov(X,Y)=0,因而可以推出,R(X,Y)=0,即不相关；,反之不一定成立，即：,X,Y,不相关不能说明,X,Y,独立。,例,4.19,设,XU(-1,1),Y=X,2,则,X,Y,不相关,.,解,:,41,例,4.20,设二维随机变量,(X,Y),在,G,上均匀分布，,其中,求,X,Y,的期望,及,方差；,证明：,X,与,Y,不相关，不独立。,解：写出,(X,Y),的联合密度函数,x+y=1,x-y=1,42,例,4.20,分别求出,X,Y,的边缘密度函数,同理,:,从而,:,同理,:,x+y=1,x-y=1,43,x+y=1,x-y=1,可见，,X,Y,不相关。,但是在,G,中，,例,4.20,可见，,X,Y,不独立。,44,Thank You,世界触手可及,携手共进，齐创精品工程,