利用导数求函数的单调性

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1、利用导数求函数的单调性例讨论下列函数的单调性：_x x1. f (x) a a (a 0 且 a 1)；_22. f (x) log a(3x 5x 2) (a 0 且 a 1);bx3. f(x) ( 1 x 1,b 0). x 1分析：利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数f(x),通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内f (x)的符号，来确定函数 f (x)在该区间上的单调性.当给定函数含有字母参数时，分类讨论难于避免，不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性.解：1.函数定义域为 R.f (x) axln a a x In

2、a ( x) In a(ax a x).当 a 1 时，lna 0,ax a x 0, f (x) 0.，函数f (x)在(，)上是增函数.当0 a 1 时，lna 0,ax a x 0, f (x) 0.函数f(x)在(，)上是减函数.一，、1 _2.函数的定义域是 x 或x 2.3f (x)210gae (3x2 5x 2)(6x 5)logae3x 5x 2(3x 1)( x 2)1 .右 a 1,则当 x 时，logae 0,6x 5 Q(3x 1)(x 2) 0,3，1f (x) 0, 函数f(x)在1, 上是增函数；3当x 2时，f (x) 0, 函数f (x)在 ，2上是减函数一

3、 1若0 a 1,则当x 时，f (x) 0,31函数f(x)在1,上是减函数；3当x 2时，f (x) 0, 函数f(x)在 ,2上是增函数3.函数f(x)是奇函数，只需讨论函数在(0, 1)上的单调性22当 0 x 1 时，f (x) b x-(x-12 x2(x一1)-(x 1)2b(x 1)22(x 1)若b 0,则f (x) 0 ,函数f (x)在(0, 1)上是减函数；若b 0 ,则f (x) 0 ,函数f (x)在(0, 1)上是增函数.又函数f(x)是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性.所以当b 0时，函数f (x)在(一1,1)上是减函数，当b 0时，函数f (

4、x)在(一1,1)上是增函数.说明：分类讨论是重要的数学解题方法.它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了.在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f (x)的符号，否则会产生错误判断.分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用， 从而提高简化计算能力.利用导数求函数的单调区间例求下列函数的单调区间： 421. f(x) x4 2x2 3；2. f (x) a/2xx2 ;b3. f(x) x b (b 0). x分析：为

5、了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先 求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失误.解：1.函数 f(x)的定义域为 R, f (x) x4 4x 4(x 1)(x 1)x令 f (x) 0,得 1 x 0或 x 1 .函数f(x)的单调递增区间为(一1, 0)和(1,)；令 f (x) 0 ,得 x 1或 0 x 1函数f(x)的单调递减区间为(，1)和(0, 1).2.函数定义域为0x2.f (x)(2X )2212x x令 f (x) 0,得 0 x 1.函数f(x)的递增区间为(0, 1);令 f (x) 0,得 1 x 2,函数f(x)的单

6、调递减区间为(1, 2)._ _ .、.b13.函数定义域为 x 0, f (x) 1 (x , b)(x b). x x令 f (x) 0,得 x Jb或 x b .函数f(x)的单调递增区间为(，ub)和(J6,)；令f (x) 0,得衣x Vb且x 0,函数f(x)的单调递减区间是(*60)和(0, Jb).说明：依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观 性和运动性.解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准.学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增(或递减)区间写成并集的形式，如将例 1函数f(x)的单调递增区间和

7、递减区间分别写成(1,0) (1,)和 (,1) (0,1)的错误结果.这里我们可以看出，除函数思想方法在本题中的重要作用之外，还要注意转化的思想方法的应用.求解析式并根据单调性确定参数例 已知 f(x) x2 c,且 ff(x) f (x2 1).1 .设 g(x) f f (x),求 g(x)的解析式；2 .设(x) g(x) f(x),试问：是否存在实数，使(x)在 ，1内为减函数,且在(一1, 0)内是增函数.分析：根据题设条件可以求出(x)的表达式，对于探索性问题，一般先对结论做肯定存在的假设， 然后由此肯定的假设出发， 结合已知条件进行推理论证， 由推证结果是否出现矛盾来作出判断解

8、题的过程实质是一种转化的过程，由于函数( x) 是可导函数，因此选择好解题的突破口， 要充分利用函数的单调性构造等价的不等式， 确定适合条件的参数的取值范围，使问题获解解： 1 由题意得f f (x) f (x2c)(x2 c)2 c ，f(x21) (x21)2c.ff(x)f(x21)，(x2c)2 c(x21)2c, x2c X21c 1. f(x)X2 1,g(x)ff(x)f(x21) (X2 1)2 1.2 (x) g(x)f(x) x4 (2 )x2 (2) 若满足条件的 存在，则 (x)4x3 2(2)x. 函数 (x)在，1内是减函数，当x1时，(x) 0,即 4x32(2

9、)x0 对于x(,1) 恒成立 2(2)4x2,x1,4x24. 2(2)4,解得 4.又函数 (x)在(一1, 0)上是增函数，当1 x 0时， (x) 0即 4x3 2(2 )x 0对于 x ( 1,0) 恒成立， 2(2)4x2,1 x 0,4 4x2 0. 2(2)4 ,解得 4.故当 4时， (x) 在 , 1 上是减函数，在( 1， 0)上是增函数，即满足条件的 存在说明： 函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、 相互制约的关系 因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径， 具体到解题的过程， 学生很大的思维障碍是迷

10、失方向， 不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决.不善于应用f(x) a恒成立 f (x)max a和f (x) a恒成立 f (x)min a ,究其原因是对函数的思想方法理解不深利用导数比较大小例 已知a、b为实数，且b a e,其中e为自然对数的底，求证： ab ba.分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法.根据题目自身的特点， 适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数，一般地，证明f(x) g(x),x (a,b),可以等价转化为证明 F(x) f(x) g(x) 0,如果F (x) 0,则函数

11、F(x)在(a,b)上是增函数，如果 F(a) 0,由增函数的定义可知，当x (a,b)时，有 F (x) 0,即 f (x) g(x).解：证法一：b . ab a e, ,要证 a b ,只要证 bln a alnb,设 f(b) bln a aln b(b e),则 f (b) In a a.bab a e, . In a 1,且一 1,，f (b) 0.b 函数f(b) b In a a In b在(e,)上是增函数.f(b) f (a) aln a aln a 0,即 blna aln b 0, 1 bln a aln b, ab ba.证法二：要证ab ba,只要证b ln a a

12、 ln b(e a b),lna lnbln x11nxe即证，设f(x) (x e),则f(x) 0, a bxx 函数f(x)在(e,)上是减函数.又 e a b, f(a) f(b),即.年，ab ba.a b说明：“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点， 以便重新进行逻辑组合. 解 决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出f (x) g (x) f (x) g(x)的错误结论.判断函数在给定区间上的单调性例 函数y log 121 ，、，一1 在区间(0,)上是()xA.增函数，且y

13、0 B.减函数，且yC.增函数，且y 0 D.减函数，且y 0分析：此题要解决两个问题： 一是要判断函数值 y的大小；二是要判断此函数的单调性. 人1解：解法一：令 u 1 ，且 x (0,), u 1 ,x则 y logi u 0,排除 A、B. 2由复合函数的性质可知，u在(Q )上为减函数.1 , .又y 10gl u亦为减函数,2故y log1 1 在(0,)上为增函数，排除D,选C.2 X解法二：利用导数法1-7 log 1 e1 -211I s10g2e 0(x (0,),故y在(0,)上是增函数.由解法一知y 0.所以选C.说明：求函数的值域，是中学教学中的难关.一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以用函数的单调性求出最大、最小值等(包括初等方法和导数法).对于复合函数的单调性问题，简单的复合函数是可以利用复合函数的性质进行判断，但是利用导数法判断一些较复杂的复合函数还是有很大优势的.