高一数学必修5不等式题型总结

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1、解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种:一、按x2项的系数a的符号分类，即例1解不等式：ax2 a分析：本题二次项系数含有参数, 系数进行分类讨论。0,a0O 2a 20,a 0;24a a 40,故只需对二次项解：;4a, 一 、2解得方程 ax20两根x12a4一，x2a 2a2 42a0时,解集为2a 2 a 42a0时，不等式为2x 10 ,解集为x|x0时，解集为 x|2 .a2 4分析解不等式ax2因为a 0,a(x2 5xa2 42a2a5ax 6a 0 a 00 ,所以我们只要讨论二次项系数的正负。6) ax

2、 2 x当a 0时，解集为x | x 2或x二、按判别式的符号分类，即 0,3 ；当a 0时，解集为x | 20,0;例3解不等式x2 分析本题中由于与根的情况。ax 4 02一一.一一.,x的系数大于0,故只需考虑解：,16.当 a 4,4 即0时，解集为R；当a4即= 0时，解集为xx R且 x0,此时两根分别为X1a a2 16:不等式的解集为a16或x2a .a2 16X2a a2 16,显然 x1X2，例4解不等式m2x2 4x 1 0解因m210,224)4 m432 一一 ，m ,所以当0时，解集为2 m 5 或x,3 m2 m2 1当m$3或m J3,即 0时，解集为R。2二、

3、按万程ax bx c 0的根x1, *2的大小来分类，即x1 x2,x1 x2,x1x2; 21、，例5斛不等式x (a )x 1 0 (a 0) a1、 c分析：此不等式可以分解为：x a (x ) 0 ,故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。a 1、c1_1斛：原不等式可化为：x a (x)。，令a，可得：a 1,：当a1或0a 1时，a，故原不aaa1时，a ,可得其解集为a1，等式的解集为x | a x ；当a 1或aa1 1当1 a 0或a 1时，a -,解集为x | x a 。 aa例6解不等式x2 5ax 6a20 , a 02 22分析 此不等式5a 24a a 0

4、 ,又不等式可分解为 x 2a (x 3a) 0 ,故只需比较两根2a与3a的大小.解原不等式可化为： x 2a (x 3a) 0 ,对应方程 x 2a (x 3a) 0的两根为x12a, x2 3a ,当a f 0时，即2ap 3a ,解集为x | x 3a或x 2a ；当a 0时，即2a f 3a ,解集为x | x 2a或x 3a一元二次不等式参考例题(2)x 1.1. (1)解不等式 1(x|x1,或x 0)2x求a的值.ax(2)不等式 1的解集为x|x 1,或x 2 x 12.解下列关于x的不等式：21(1) x2 (a -)x 1 0 a(2)x a(x 2)(x 3)0(a 3

5、,且a2)(1)当 a 1,或 0 a 1 时,x|a x a(2)当a1时，1(3)当 a 1,或 1 a 0时,x| x a a一 2(3) ax (a 1)x 1 0(1)当 a方寸,x | x a,或 2 x 3当 2 a 30寸,x|x2,或 a x 3(3)当 a 3 时,x|x2,或 3 x a(4) (x 2)(ax 2) 01 3当a 0时,x|x ,或x 1 a(2)当 a 0 时,x|x 1(3)当 0 a 1 时,x|1 x - a(4)当a 1时，1(5)当 a 1 时,x| x 1 a(5)ax2 x 1 02当 a 0时,x| x 2 a(2)当 a 0时,x|x

6、 2(3)当 0 a 1 时,x|x 2,或 x - a(4)当 a 1 时,x|x 2(5)当 a 1 时,x|x N,或 x 2 ax(6)1 a(a R)x 111 4a2a11 4a2a当a 0时,x| x 4a,或x 2a(2)当 a 8寸,x|x1(3)当0 a 1 时,x| 104a x 42a1 ，(4)当a 1时，4a 1(1)当 a 0时,x|x 1 a(2)当 a 0时,x|x 1(3)当a 0时,x|x 1,或x -a- a23. (1)若不等式(a 2)x2(a2)x 4 0对x R恒成立，求实数a的取值范围.(2a 2)(2)若不等式22x 2mx m-24x 6x

7、 31的解集为R,求实数m的取值范围.(1 m 3)224.(1)已知 A x |x 3x 2 0, B x |x (a 1)x a 0, 若A算B ,求实数a的取值范围.；(a 2 )若B A,求实数a的取值范围.；(1 a 2 )若A B为仅含有一个元素的集合，求 a的值.(a 1)B ，求实数a的取值范围x 12(2)已知 A x| 0, B x|x (a 1)x a 0,且A Bx 3(1 a 3)2 2关于x的不等式| x (a 1) | (a 0 与X2 223(a若A B,求实数a的取值范围.(a 1,或11)x 2(3a 1)a 3)0的解集依次为A与B ,0,x|2x 1|

8、3,若 A B R,x a (4)设全集U R,集合A x| 0, Bx 1求实数a的取值范围.(2 a 1)(5)已知全集 U R, A x|x2 x 6 0, B x|x2 2x 8 0, C x|x2 若(AB) C ,求实数a的取值范围.(1 a 2)一元二次不等式及其解法21,二次函数的图象及性质：二次函数y ax bx c的图象的对称轴万程是 x2.二次函数的解析式的三种形式：2.f(x) ax bx c (一般式)；f(x) a(x %) (x x2)(零点式)；2一 .f(x) a(x m) n (顶点式).3. 一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2 bx c 0或ax2

9、bx c 0 a 0的解集：2设相应的一兀一次万程 ax bx c 0 a 0的两根为xx2且x1 x2,4 axb2ab23a20顶点坐标是4acb 4ac b22a 4a0002y ax bx c2y ax bx cy ax2 bx c二次函数y ax2 bx c(a 0)的图象u1-u一元二次方程ax2 bx c 0a 0的根有两相异实根Xi,X2(Xi x2)有两相等实根bx1 x2_2a无实根2ax bx c 0(a 0)的解集x x x1 或 x x2xb x 2aRax2 bx c 0 (a 0)的解集xx1x x24.解一元二次不等式的步骤：2(1)将二次项系数化为+ : A=

10、ax bx c0(或0);(2)计算判别式，分析不等式的解的情况；25 .讨论一次函数y ax bx c a 0在指定区间 p,q上的最值问题：bb(1)汪意对称轴x 与区间p,q的相对位置.一般分为三种情况讨论， 即：对称轴 上-在区间左边，函数在此区间上具有单2a2abb调性；对称轴在区间之内；对称轴在区间右边.2a2a2(2)函数y ax bx c a 0在区间p, q上的单调性.要注意系数 a的符号对抛物线开口的影响.6 .二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：判别式；区间端点的函数值的符号；对称轴与区间的相对位置. 三、典型例题选讲题型1:考查一元二次函数的性质2例1函数y

11、x bx C (x 0,)是单调函数的充要条件是()A. b 0 B . b 0 c . b 0 D . b 0一 ，2._.b斛：:函数y x bx C (x 0,)的对称轴为x 一，2一2 -b _b 一 .一:函数y x bx c(x 0,)是单调函数 (0,) 一 0, b 0.故选a.22bb.归纳小结：一次函数的单调区间是(， 巴和 ,)，结合开口方向就可得出所需的条件，从而求出b的范围.2a2a例2已知二次函数的对称轴为 xJ2,截x轴上的弦长为4 ,且过点(0, 1),求函数的解析.解：:二次函数的对称轴为 xJ2 ,可设所求函数为f(x) a(x J2)2 b , . f (

12、x)截x轴上的弦长为4,f(x)过点(& 2,0)和(衣2,0), f (x)又过点(0, 1),4a b2a bf(x) 1(x 拒)2 2.2归纳小结：求二次函数的解析式一般采用待定系数法，但要注意根据已知条件选择恰当的解析式形式：一般式、零点式和顶点式，正确 的选择会使解题过程得到简化.题型2:简单不等式的求解问题例3求下列不等式的解集.(1) 4x2 4x 1 0； (2) x2 2x 3 0一. 一.一、.一- 2一._ 一11解法一：因为0,方程4x4x10的解是x1x2 一.所以，原不等式的解集是x x -.22解法二：整理，得x2 2x 3 0 .因为0,方程x2 2x 3 0

13、无实数解，所以不等式x2 2x 3 0的解集是.从而，原不等式的解集是归纳小结：解一元二次不等式要抓住“三个二次”的关系，按照解一元二次不等式的步骤求解，必要时要画出二次函数的图象进行观察.例4不等式ax2 bx 2 0的解集为 x 1 x 2 ，求a与b的值.解法一：设ax2 bx 2 0的两根为x1、x2,由韦达定理得:bx1 x2-a2Xi x2 a解法二：构造解集为由题意得b a2a1 ，此时满足 a 0 , b2 4a ( 2) 0 .x 1 x 2的一元二次不等式:(x 1)(x 2) 0,即 x2x 2 0 ,此不等式与原不等式归纳小结：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为

14、2ax bx 2 0应为同解不等式，故a 1, b1x2,不等式 ax2 bx 20需满足条件a 0,2ax题型例5bx 2 0的两根为x13:含参不等式的求解问题 解关于x的不等式ax21 ， x22.在解题时要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的关系.证：分以下情况讨论当a 0时，原不等式变为:当a 0时，原不等式变为:(a 1)xx 1即不等式的解集为x I x 1(ax 1)( x1) 0 当a 0时，式变为(x1-)(x 1) a0,:不等式的解为x 1或1-.即不等式的解集为x|x 1或x a；当a 0时，式变为(x1时,1,，-1,此时的解为1 x a1.即不等式的解集为x|1

15、 a1-)(x 1) a1x 一； a1时,当a 1时,1. 11 ,即不等式的解集为x | 一 a归纳小结：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准,就本题来说有三级分类:分类应做到使所给参数 a的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏.另外,解本题还要注意在讨论等式题型ax2 (a 1)x 1 0应首选做到将二次项系数变为正数再求解.4: 一元二次不等式的应用(1)已知函数f1的解集是(A.、.2B.C.|xD.解:x依题意得所以x(x1)(x)(x 1)x 1,2 1此时的解为0时，解一元二次不y/21 ,选 C.(2)若函数f(x)=解：Q函数f (x)0成立，即V

16、2x2 2ax a 1的定义域为、2x24a22 ax a1的定义域为R,则R,0,a的取值范围为2R, . /-k x 2ax a都有22axa 0恒成立,归纳小结：解一元二次不等式往往与分段函数、指数函数和对数函数结合进行综合考查，一般是借助于函数的性质和图象进行转化，再求解一元二次不等式，利用一元二次不等式分析相应一元二次函数的性质，体现“三个二次”之间的紧密联系,这也是一元二次不等式的重要考点之一.例7已知函数y2sin x asina 1_的最大值为2 ,4 2求a的值.解：令t sin x1,1，,a、21,2a(t -)-(a a 2),对称轴为t 一,当242Ymax 1(a2

17、42)上单调递增，由ymax1 a -a_八a2或a 3 (舍去).当一2110一 2 ,得a ；当231,即a 2时，函数y (t1 -2f)22 a 2 时,(ta 2)在1,1412一 (a a 2)在41,1上单调递减，由ymax2 （舍去）.综上可得，a的值为a10归纳小结：令t 题中要注意a 例8设不等式sin x3问题就转化为二次函数的区间最值问题,再由对称轴与区间1,1的三种位置关系的讨论就可求得a的值.此0的条件.2x 2ax a 2 0的解集为M ,如果M1,4,求实数a的取值范围?解：M 1,4有两种情况：其一是 M =,此时0,分三种情况计算a的取值范围.设_2_2_f

18、(x) x 2ax a 2,有 =(2a)4(a 2) =4(a时, 当a = 1 或2；当 a = 1 时M= 11,4；当 a=2时,2a 2),当 0 时，一1 a 0时,f(1)不等式A- x|a2.设方程0,且f(4) 0,即4,且f (x)0的两根x1,X2 ，且X1 X2 ,那么 M=1,41xKX2x 2x2x 2187a解彳导2V0的解集是（B. x 218一，：M 1,4时,7a的取值范围是(-12,一元二次不等式解法应试能力测试2.A .设集合2M=x|00x2, N x | x3.A .4.A .x|0 x1对于任意实数一 1w a 0，2不等式(x ，x| -2x2B

19、 . x|0x22x,不等式ax 2axB. - K a04)(x5.A .已知A2x|x2B. 36.已知Ax|x27.A .若关于x18.)22x C. (aC.C. x |x3 0,则有x|0 x 13.3或x 2 D. x | xm nN = ()D. x|0x 22）0恒成立，则实数a的取值范围是（）- 1a 0D . 1a23xpxq= 4的二次不等式B. 2C. x| 2WxW2 或 x=6D. x|x 24C.0, x Z,7D. 8x0，B x|-B . p= - 3, q = 42mx 8mx 21C. 3D. 4一，,2不等式axb与x x1 0同解，则（A . a= 0

20、 且 b0 0不等式2x2 3|x| 35 0的解为2.使函数y , x2 2x 33.已知A x|x2 3x 2B ,则a的取值范围是4.关于x|2x2 x 6 0,x Z,则A n b的非空真子集个数为0,且 A UB=RC. p= 3,q = 4A n B = x|3x w 4,则 p、q 的值为(D. p=3, q = 40的解集是x| 7x0D . b= 0 且 a0)的解集是x b221.为使周长为20cm的长方形面积大于15cm2,不大于20cm2,它的短边要取多长?、 、 2 一 ， 12.解不等式|x2 2x| -x.223 .解关于X的不等式ax 2(a 1)x 4 0(a

21、0).2x/ 2kx k 4. k为何值时，关于 x的不等式 ； 1对一切头数 x怛成立.4x2 6x 3参考答案 、1 . D 2. B 3. C 4. C5. A 提示：因为 AH B = 3 , 426. A 提小：因 B = x|x3,由已知得 A = x| - K x4 - 1 , 4 是 x px q 0 的两根，：p = 3, q=4.7. C 8. A,提示：因x2 x 1 0的解为 ，只有a= 0且b 0时，axb解为 21. x5 提小：原不等式化为 2|x|3| x | 35 0 ,|x|52. x| -3x2, 1 si2 ,提示：: A = x|1 x 2, B =

22、x|(x - 1)(x-a)24. x|xa,提示：原不等式可化为 (ax)(x + b)0, a+b0, ： a b, ： xa 或 xb.5 .10 x 5 .10x 55或 x 5 . 51即|x 2| -2一x(10 x) 151 .设长方形较短边长为 x cm,则其邻边长(10 x)cm,显然0x0时，不等式化为 x|x 2| x2352220 , x|x R解得： x 3.原不等式化为(ax2)(x2)0 ,-.力0,(x -)(x 2) 0,当 a=1 时，- 2 , (x 2)222aa2222一且 x，2,当 a21 时：右 a1,则一 2 , ： x |x 或x 2，若 0a1,则一 2 , x | x 2或x .aaaa4. . 4x2 6x 3恒正，.不等式化为 2x2 2kx k 4x2 6x 3,即 2x2 (6 2k)x (3 k) 0恒成立 力 (6 2k)2 8(3 k) 0, . k2 4k 3 0, . 1k3.