湖南省新考纲下的2017届高三摸底联考(全国卷)数学(理)试题概述

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1、湖南省新考纲下的2017届高三摸底联考（全国卷）数学（理）试题第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1 .已知集合 M =x|log2X 至0, N =x|x2 E4,则 M P|N =（）A. 1,2 B . 0,2 C . 1-1,1D . （0,2）1 - i2.已知i为虚数单位，设复数 z = -i +，则z的虚部为（）1 iA. 2i B . -2iC . 2 D . -2A. y=2B. y = V2xC . y4 .在等比数列 如中，a2,a18是方程x2+6x + 4 =A. 6B. 2C.

2、2或 6D. -2、“115 .设头数 a =log23, b=l0gl , c=冗3 21sin xdxA. a b cB. a c bC. b 6 .执行如下程序，输出 S的值为()(川町士卜4T上炉1-1 庠 -生4/帕岫A 1007B1008 C2016 2015 2017.2017ex x27.函数f (x户与的大致图象是()e2x +1A.B.(11= xD . y= x420 的两根，则 a4 al6 +aw =()，贝 1H)a cD. b c a7D,婴4032C.D.2X 2一3.已知双曲线 -y =1（a0）的实轴长为4,则双曲线的渐近线方程为（）a8.如图，边长为1的网

3、格上为某几何体的三视图,则该几何体的体积为（A.2 二1 34 2 二T33C.9.2016年11月16日？ 18日，备受世界瞩目的第三届世界互联网大会在浙江乌镇召开，会议期间，组委会将A,B,C, D,E, F这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作，若要求A、B必须相同，且每组至少2人，则不同的分配方法有（）A. 18种B . 20种 C. 22 种 D .以上都不对10 .设抛物线x2=4y的焦点为F ,准线为l, P为抛物线上的一点，且 PAU , A为垂足，若直线 AF的倾斜角为135、则PF| =（）A. 1B . V2C.2 D, 27211 .已知PABC是正三棱椎，其外

4、接球 。的表面积为16元，且NAPO =NBPO =/CPO =30。则三 棱锥的体积为（）A.虫3B . W3C.373D , 6衣4412.若函数f （x ）=sin xcosx十3acosx+二一4a lx在区间|0, 上单调递减，则实数 a的取值范围 22_ 2是（）A。,1 1B , L-,0 1 C.1 D . （-o,0IL 7,IL 9.7第II卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）3313 .已知二项式 x- （nN” ）的展开式中第3项与第4项的二项式系数最大，则展开式中含x项的系数 I x）为.14 .已知菱形ABCD的中心为O ,BAD=(

5、, AB = 1 ,则(OA OB 口 AD+AB )等于.15 .意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,114,233 ,，即F (x )=1, F (n )= F (n -1-F (n2 )(n之3,nw N* ),此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列bn,则b2017 =y -x,. ._.，一一， r .一， ./ ,、22216 .已知x, y满足约束条件 x + yE4,右不等式 m(x+y )E(x + y)恒成立，则实数 m的最大值x -1,

6、是.三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 .(本小题满分12分)设锐角AABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且b是2asin AcosC与csin 2A的等差中项. 2(I)求角A的大小；(n)若a=2,求 MBC面积的最大值.18 .(本小题满分12分)如图，在四锥P -ABCD中，PA _L平面ABCD , AC _L BD于点O , E为线段PC上一点，且AC _L BE .(I)求证：OE _L 平面 ABCD ；(n)若 BC/AD, BC=J2, AD=2j2, PA = 3 ,且 AB =CD ,求二面角 C PD A

7、的余弦值.19 .(本小题满分12分)某市需对某环城快速车道进行限速，为了调研该道路车速情况，于某个时段随机对100辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：经计算：样本的平均值 8=85,标准差仃=2.2 ,以频率值作为概率的估计值 .已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于3 -3cr或车速大于N + 2b是需矫正速度.(I)从该快速车道上所有车辆中任取1个，求该车辆是需矫正速度的概率；(n)从样本中任取 2个车辆，求这2个车辆均是需矫正速度的概率；(出)从该快速车道上所有车辆中任取2个，记其中是需矫正速度的个数为名，求名的分布列和数学期望.20 .(本小题满分12分)2

8、22已知椭圆C:三+与=1(a Ab A0)的一个顶点坐标为(0,1),离心率为 .a2 b22(I)求椭圆C的标准方程；(n)若点P是椭圆C上的动点(不在x轴上)，过右焦点F2作直线PF2的垂线交直线l ：x = 2于点Q.判断点P运动时，直线 PQ与椭圆C的位置关系，并证明你的结论.21 .(本小题满分12分)a ln x一已知函数f(x户+b(a,bWR )的图象在点(1, f (1)处的切线方程为 y = x1.x(i)求实数a, b的值及函数f (x)的单调区间；(n)当f (x )= f (x2 Kxi #x2 )时，比较x1 +x2与2e( e为自然对数的底数)的大小.请考生在2

9、2、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .22 .(本小题满分10分)选修4-4 :坐标系与参数方程已知直线l : x - y -1 = 0 ,以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 P2 -4Psin日=5.x=1tcos：(I)将直线l写成参数方程(t为参数，3 u lb,n )的形式，并求曲线的直角坐 C标方y 二tsin 二程;(n)设直线l与曲线C交于点A, B (点A在第一象限)两点，若点 M的直角坐标为(1,0),求AOMA的面积.23 .(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数 f (x)= x+1|+

10、|mx1 mwR.(I)若m=1,求函数f (x )的值域；(n)若m=2 ,解不等式f (x庐3.10082017，故选B.7. C【解析】由题得,e=l x2ex x2f (-x)=er=-e-f (x ),所以不选 A, D项.当 x = 0时，y = 0 ,故排 e 1 1 e2x除B项.故选C.8. B【解析】依据三视图，知所求几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥和一个半圆锥的组合体，故其1/1、1 1 l 2 4 2n_ 体积为 v=_|_x：2m2M2 l + -x -xn x(V2 )父2 =- + ，故选 B .3 12； 2 33 39. C【解析】分组的方案有 2、4和3

11、、3两类.第一类有（1+C：）A2 =14种不同的分配方法；第二类有C4c3A2 =8种不同的分配方法，故共有 N =14+8 =22种不同的分配方法，故选 C .10. C【解析】APAF中，PF =|PA ,抛物线焦点到准线的距离p=2 ,故p = 2 = | AF sin45.所以AF|=2五，又2PAF =2PFA =45,所以 PA=|AF cos45 = 2,故选 C.11. B【解析】如图,试卷答案一、选择题1. A 【解析】集合 M = x |log2 x 之0 = x | x 之1, N = x | x2 4=x|-2 x 2,因此 M N= 1,2 .故选 A.1 i2.

12、C【解析】z = i+-= i i =-2i ,故z = 2i ,其虚部为2.故选C.1 ib13. D【解析】实轴长 =2a =4 ,故a =2,因此渐近线方程为 y= x = x ,故选D . a24. B【解析】因为a2,a)8是方程x2+6x+4 =0的两根，所以a2+a18 = 6, a21al8 =4,所以a2 0 ,a8 0 ,又数列an为等比数列，所以a101 , b = log 1 - log3 J3 =，且 b = log32 0,故aM一恒成立，即aM3t 4t20,故里(t位区间0,1】上单调递增，所以 中(t L =平(0)=0 ,所以a W0.故选D .(3t+4)

13、、填空题33 513.90【解析】依题意知 n=5,x-3 I 的通项公式为 Tr = C；(3 j x5/r,令 52r =1 ,得 r = 2 ,14.3一【解析】(OA-OB WAD +AB )=BA JAC 13 cos； dACB - - 3215.1 【解析】斐波那契数列的前几项为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987二3cos .62,，则数列bn 的前几项为 1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，因此数列bn 是周期数列，其周期为 8,因此xb2017 =b1 =1.16. 8【解析】作出不等式组表

14、示的可行域，如图 5x -0,可知t为点（0,0方可行域内点的连线的斜率,由图知t的取值范围是1,3,即t=?x1,3 1. m x2y22)(x + y)恒成立 u mW(milo o )min2x yx2y2/ 2xy /2=1 -22 = 1x2 y2x y I y x2 一，=1 +_ ,而当t1 t t-e 2,3】时，1 x，故 1 1 t4 b21因此m .所以实数m的最大5值是8.5三、解答题17.解：（I ） 丫？是sinXas。与csin2X的等差中项2由正弦定理3，b = 2sin4(acosC +ccosA)得鲂nB =2sin(sin JcosC + sinCcosJ

15、)= 2sinsin(月+ C) =2sin WsinB ,：B J0,n ),sin B =0.A 1 . sin A 二一.2又* A为锐角，. A = .6(n) :a2 =b2 +c2 -2bcosA = b2 +c2 -/3bc之2bc-V3bc,bc -t= = 4(2 + 33 ),2 -，3当且仅当b=c=J6+2时，取等号11-1-二 MBC 的面积 S = bcsin AM 父4(2+43 y=2 + 03. 222即AABC面积的最大值为2+J3 (当且仅当b = c = J6 + 2时，等号成立).18 .解：(I) A AC _L BD , AC _L BE , BD

16、 门 BE = B ,AC _L平面 BDE ,：OE仁平面BDE ,AC _OE .又 PA _L平面 ABCD , AC u 平面 ABCD ,AC _ PA.又OE,PA都是平面PAC中的直线，OE/PA.又PA _L平面ABCD ,OE _L 平面 ABCD .(n)，:BC/AD, BC=V2, AD =22f2,且 AB =CD ,MBC a ADCB , ./ACB =/DBC ,又 AC _L BD ,在 AOBC 中，OB =OC =1 ,同理，OA=OD=2.由(I),知OE_L平面ABCD ,以O为坐标原点，分别以 OB,OC,OE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐

17、标系Oxyz ,则 B(1,0,0 ), C(0,1,0 ), D(-2,0,0), P(0,-2,3).TT则 CD=(2,1,0 ), PC =(0,3,3).设平面PCD的一个法向量为n=(x, y,z=0,2 2x y =0,，即4y ,=0, 3y.3z=0,取 x=1,则 y=z = 2,即 n=(1,2,2).取棱BC的中点M ,连接OM .易证得OM _L平面PAD .一一从，-11 1:平面PAD的一个法向量为 OM =|_,_,0 |.2 2易知二面角C-PD -A所成的平面角为锐角，二面角C -PD A的余弦值为-.19 .解：(I)记事件 A为“从该快速车道上所有车辆中

18、任取1个，该车辆是需矫正速度”因为 3 3仃=78.4 , N +2。=89.4 ,由样本条形图可知，所求的概率为 P A = P x-3二P x 1 2c = P x ：二78.4 P x 89.4141，I-， ， ， .100 100 20(n)记事件B为“从样本中任取 2个车辆，这2个车辆均是需矫正速度”. C21由题设可知样本容量为100,又需矫正速度个数为 5个，故所求概率为 P(B )=F = .Ci200495(出)需矫正速度的个数 名服从二项分布，即 8U b2, I1, ,20. P ； =0 =C；(工；,19 : 3612020 400192002P ; = 2 = C

19、220201=5400因此名的分布列为A-0I2p36而519 丽 ioo由；B 2 ,20知数学期望E ； =220.解:(I )由题意得1X=20b =1 ，110所以e22,2=与=1 -12因此 a2 =2,2所以椭圆C的标准方程为222y2 =1.(n)易知 F2 1,0 .设点 P(X0,y X V。00 ),Q(2,t ),2则x02得(5 -i,v0 m,t)=0,x0 -1所以t二V。所以直线PQ的方程为,X0 -1 y y。y0三y0x 2X0 -2x - 2即 y0yx0 -1 =x0 -2(y2 +x0 -1 )，212将y0 =1 x2代人化简，2X0X, r2 -

20、x0x信+ yo y =1,即 y =,22 y0代入椭圆方程x2+2y2=2,得(x(2 +2y2 )x2 4xx -4y2 +4=0 ,22一一2_2一即 2x 4x0x+2x0=0,即 x 2x0x+x0=0,2o其判别式 =(2x0 ) -4x2 = 0 ,所以直线PQ与椭圆相切.21.解：(I)函数f (x )的定义域为(0,),f x =a 1 -ln x2，x因为f(x )的图象在点(1,f(1 )班的切线方程为y=x1,所以f 1 =a =1,l a 1n1，解得 a =1 ,f 1 =胆 b=0,1b u0.所以f x = 93. x所以f x =上学 x令 f(x) = 0

21、,得乂=6,当0xe时，f(x)A0, f (x件调递增;当xe时，f(x)e时f (x评调递减,因为 1 x1 e,e x2 2e,所以 02e-x2 0 , x又f (1尸0,当1 xe时，f(x)单调递增，且f(x)A0.若f (x1 )= f (x2 Xx丰七 ),则x1，x2必都大于1,且必有一个小于 e, 一个大于e.不防设1 e 2e.In x2 In 2e - %e x2 2e时，f (xf 0e-x2 ) = f (% )- f(2e-x2 )=,x22e - x2In x In 2e-x g(x) =-, e x 2e ,x 2e -x-1 ln 2e - x22e-x2

22、.224ee-x 1-Inxx In -x 2ex : 2x22x 2e-x4e e - x 1 一 ln x 厂 x 一2x 2e -x因为 e x 0.又 4e(e-x ,1 -In x )0 ,所以g x p 0.所以f (x城区间(e,2e)内单调递增，1 1所以 g x - g e = _= 0 .e e所以 f xf 2e -x2 .12 - ln又因为f(x卢区间(0,e a单调递增,所以 Xi 2e -X2,即 Xi +X2 2e.综上，当 f (x )= f (x2 X x1 0x2 )时，x1 +x2 2e.22 .解：(I)直线l: x y 1 =0的倾斜角为,4fnx

23、= 1 t cos , 因此写成参数方程的形式为44 ,JI y = t sin .4由 P2 -4Psin9 =5, 22得曲线C的直角坐标方程为 x2 +(y2 ) =9.(n)将直线l的参数方程代入圆 C的直角坐标方程，得 t2 - J2t -4 =0,设tl,t2是方程的两根，解得 ti =2出，t2 = J2,又点A在第一象限，故点 A对应t1 =2屐,代入到y=tsinL,得到点A纵坐标丫人=2,41 . M 1因此 SzOma =2|OM|yA =3黑1父2=1.23 .解：(I)当 m=1 时，f(x)=x+1+x1W(x+1)(x1)= 2,当且仅当(x+1 )-(x-1 )0,即-1 x 3= x+1 +2x1 3.当 xM1 时，x+1|+|2x1 =3x 至 3,得 xM1,此时解集为 G|x-1;一1,一 .一 一 当1 1.2综上所述，不等式的解集为一 一1仙1,二.22故含x项的系数为T3=C；(3) =90.