北京市门头沟区2019届高三3月抽样测试数学理试题

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1、北京市门头沟区2019届高三3月抽样测试2013.3数学(理工类)本试卷分第I卷和第II卷两部分， 第I卷l至2页，第II卷3至5页，共150分.考 试时间120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将 本试卷和答题卡一并回交.第I卷(选择题40分)一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项.1 .已知全集UR,集合A x|x2 4 , Bx|x 1 ,则集合AU B等于(A) x x 2(B) x 1 x 2(C) x x 1(D) R2. “a 1” 是“函数 f(x)ax 2 (a(A)充分而不必要条件

2、(C)充分必要条件0且a 1)在区间(0,)上存在零点”的(B)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件3.下列直线中，平行于极轴且与圆2cos相切的是(A) cos 1(B) sin 1(C) cos 2(D) sin 2(C) 36 种C是圆上一点，4 .有4名优秀学生A、B、C、D全部被保送到甲、乙、丙 3所学校，每所学校至少去一名，且 A生不去甲校，则不同的保送方案有(A) 24 种(B) 30 种5 .如图：圆O的割线PAB经过圆心O,(A) CB = CP(B) PCAC = PABC(C) PC 是圆 O 的切线 (D) BC= BABP6.已知P(x, y)是中心在原点，焦距

3、为10的双曲线上一点，且 丫的取值范围为(-,3),则该双曲 x4 4线方程是(A)x216(B) y(C)x216(D)7. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积(A)(C)1256(B)(D)x216162 y俯视图8 .定义在R上的函数yf (x)是减函数，且函数y f(x 2)的图象关于点(2,0)成中心对称,若s,t满足不等式组f(t) f(s 2) f(t s) 02 s 3时，2s t的取值范围是(A) 3,4(B) 3,9(C) 4,6(D) 4,9第n卷(非选择题Iio分)、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.9 .复数 z L_L,则 Ml.1 i 1

4、10 .在等差数列 an中，a 3, a4 2,则a4 a?川a3n i等于11 .在 ABC 中，若 a 2, c 3, tanB12 .执行如右图所示的程序框图，输出的S值为.65 ,则 b 13.在边长为1的正方形ABCD中，E、F分别为BC、DC的中点，则向量14 .定义在(，虬| (0,)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列an , f (an)仍是等比数列，则称f(x)为“等比函数”。现有定义在(，妫(0,)上的如下函数：f (x) 2x；f(x) log2 |x| ；f (x) x2 ；f (x) In 2x ,则其中是“等比函数”的f (x)的序号三、解答题：本大题共

5、6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15 .(本小题满分13分)已知：函数 f (x) sin2 x 33 cosxcos(- x). 2(I)求函数f (x)的对称轴方程；7(U)当x 0,7时，求函数f(x)的最大值和最小值. 12将梯形ABCD16 .(本小题满分14分)1 在等腰梯形 ABCD中，AD/BC , AD BC ,2绕AB旋转90 ,得到梯形 ABCD (如图).(I )求证：AC 平面ABC ；(n)求证：C N /平面ADD ;(m)求二面角 A C N C的余弦值.17 .(本小题满分13分)交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥

6、堵的概念性指数值，交通指数取值范围为010,分为五个级别，02畅 通；24基本畅通；46轻度拥堵；68中度拥堵；8 10严重拥堵.早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图.(I )这50个路段为中度拥堵的有个？(n)据此估计，早高峰四环以内的 段至少有一个是严重拥堵的概率是(III)某人上班路上所用时间若畅通分钟，基本畅通为 30分钟，轻度拥分钟；中度拥堵为 42分钟；严重拥 分钟，求此人所用时间的数学期望.18 .(本小题满分14分)2已知函数f (x) ax J a .e(I)函数f (x)在点(0, f(0)处的切线与直线2

7、x y 1 0平行，求a的值;1(n)当x 0,2时，f(x) -2恒成立，求a的取值范围.e19 .(本小题满分13分)在平面直角坐标系 xOy中，动点P到直线l:x 2的距离是到点F (1,0)的距离的J2倍.(I)求动点P的轨迹方程；(n)设直线FP与(I)中曲线交于点 Q,与交于点A,分别过点P和Q作的垂线，垂足为M,N, 问：是否存在点 P使得 APM的面积是 AQN面积的9倍？若存在，求出点 P的坐标；若不存在， 说明理由.20 .(本小题满分13分)1.x M对于集合M ,定义函数fM (x),对于两个集合 M ,N ,定义集合1,x MM N x|fM (x) fN(x)1 .

8、已知 A 1,2,3,4,5,6 , B 1,3,9,27,81 .(I)写出fA(2)与fB(2)的值，并用列举法写出集合 A B ；(n)用Card (M)表示有限集合 M所含元素的个数，求 Card (X A) Card (X B)的最小值；(III)有多少个集合对 (P,Q),满足P,Q A B,且(P A) (Q B) A B .门头沟区2019年高三年级抽样测试数学试卷(理工类)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.12345678ACBADCCD二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.91011121314n(5 n)241三、解答题：

9、本大题共 6小题，共80分.15.(本小题满分13分)已知：函数 f (x) sin2 x V3cosxcos(- x).2(I )求函数f (x)的对称轴方程;7 兀.(n)当x 0,时，求函数f(x)的最大值和最小值.1212分解：(I) f(x) sin2 x3 cosx sin x1 cos2x23sin2x2&in2x21 cos2x2sin(2 x花6)函数关于直线2x(k)对称(k Z)所以对称轴方程为(n)当 x 0,122x由函数图象可知，sin(2x花6花6)的最大值为1,最小值为(1,0，,3)(0, 、,3, . 3)设平面C NC的法向量为n (x,y,z),有0,n

10、 Q3,1,1)11分因为AC平面ABC ,所以平面C AN平面ABC又BDAN ,平面C AN平面ABCAN所以BD平面CANBD与AN交于点O, O则为AN的中点,o(T,o)4 4 T 3、3所以平面CAN的法向量OB (3, ,0)4412分13分CN C为钝角所以二面角A CNC的余弦值为514分17.(本小题满分13分)交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为010,分为五个级别，02畅 通; 10严重拥堵.24基本畅通；46轻度拥堵；68中度拥堵；8早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机 选取了四环以内的50个交通路段，依据其交 通

11、指数数据绘制的直方图如右图.(I)这50个路段为中度拥堵的有多少个？(n)据此估计，早高峰四环以内的三个路段 至少有一个是严重拥堵的概率是多少？(III)某人上班路上所用时间若畅通时为.频率组距20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为 36分 钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟， 求此人所用时间的数学期望.解：(I) (0.2 0.16) 1 50 18这50路段为中度拥堵的有 18个.0.240.20.160.13456789交通指数(n)设事件 A “一个路段严重拥堵，则P(A) 0.1事件B “至少一个路段严重拥堵，则P(B) (1 P(A)3 0.729P(B) 1 P(B)

12、0.271所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是 0.271 8分(III)分布列如下表：X30364260P0.10.440.360.1EX 39.96此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟.13分18.(本小题满分14分)2ax x a已知函数f (x) x-e(I)函数f (x)在点(0, f (0)的切线与直线2x y 1 0平行，求a的值；1 (n)当x 0,2时，f(x) 万恒成立，求a的取值范围 e2ax (2a 1)x 1 a八解： (I) f (x) 一 2 分ef (0) 1 a , 3 分因为函数f(x)在点(0, f (0)的切线与直线2x y 1 0平行所

13、以1a 2, a 3 5分(n) f (x)ax2 (2a 1)x 1 axe(ax 1 a)(x 1)xe令 f (x) 0当 a 0时，x 1 ,在(0,1)上，有 f (x)0 ,函数f (x)增；在(1,2)上，有f (x) 0 ,函数f (x) 一 一 2 一一 .减，f(0) 0, f (2) 函数f(x)的最小值为0,结论不成立. 6分e1当 a 0时，x1 1,x2 1 - 7 分f(0)0,结论不成立1,0,在(0,1)上，有 f (x)0,函数f(x)增;在(1,2)上,有 f (x)0 ,函数f (x)减,只需所以函数在得到2a综上所述,19.(本小题满分1 e13分),

14、因为2af(0)f(2)在平面直角坐标系xOy中，动点(I)求动点P的轨迹方程；(n)设直线FP与(I)中曲线交于点问：是否存在点说明理由.(I)解:设点由题意知化简得所以动点1,e12e12e12e151 _ ，有极小值，只需 a1 2a 1,所以a11分11f(1 I 2 a e1f(2)2e13分14分P到直线l : x2的距离是到点F (1,0)的距离的J2倍.P使得APM的面积是P的坐标为(x, y).2,(x 1)2x2 2y2 2P的轨迹方程为Q ,与交于点A ,分别过点P和Q作的垂线，垂足为M , N ,AQN面积的9倍？若存在，求出点 P的坐标；若不存在,y22 x22x 2

15、y(n)设直线 FP 的方程为 x ty 1,点 P(x1,y1),Q(x2,y2)因为 AQN s apm ,所以有pm3QN ,由已知得PF 3QF ,所以有y13y2 (1),x ty 1 /日 22由 22 ，得(t2 2) y2 2ty 1 0,0x 2y 210分y1 y2p22(2)，x y2(3) 11由(1) (2) (3)彳导 t1,y1 1,y2或 t 1,y11,y233所以存在点P为(0, 1) 13分20.(本小题满分13分)1.x M 对于集合M ,定义函数fM (x),对于两个集合 M , N ,定义集合1,x M.M N x| fM (x) fN(x)1 .已

16、知 A 1,2,3,4,5,6 , B 1,3,9,27,81 .(I)写出fA(2)与fB(2)的值，并用列举法写出集合 A B(n )用Card (M )表示有限集合 M所含元素的个数，求 Card (X A) Card (XB)的最小值;(III)有多少个集合对(P,Q)满足P,Q |A B,且(P A) (Q B) A B .(I)解：fA(2)1, fB(2) 1 1 分A B 2,4,5,6,9, 27,81 2 分(n) X A x|xj X A,x XP|A , X B x|xj X B,x Xf|B要彳Card (X A) Card (XB)的值最小，1,3一定属于集合X, X不能含有(A B以外的元素，所以当集合 X为2,4,5,6,9, 27,81的子集与集合 1,3的并集时，Card (X A) Card (X B)的值最小，最小值是 7 8分(出)因为 fA b(x)fA(x) fB(x)f(A B) C(X) fA(X)fB(X)fc(X)所以运算具有交换律和结合律所以(P A) (Q B) (P Q) (A B)而(P A) (Q B) A B所以 P Q ，所以 P Q,而 |AB 1,2,3,4,5,6,9, 27,81所以满足条件的集合对 (P,Q)有29 512个 13分注：不同解法请教师参照评标酌情给分.