北京市朝阳区2013届高三4月第一次综合练习数学理试题

《北京市朝阳区2013届高三4月第一次综合练习数学理试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市朝阳区2013届高三4月第一次综合练习数学理试题（15页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试(理工类)2013.4(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题(共 40分)和非选择题(共 110分)两部分第一部分(选择题共40分)、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项.(1) i为虚数单位，复数的虚部是1 i(2)已知集合M x 2 x 3 , NC. 1iD. 1i22x lg(x 2) 0 ,则 M。N(3)A. ( 2,)已知向量oA3,4 ,oBB.(2,3)6, 3oCC.(2,2m,m 11.若D./O1,3),则实数m的值为A.3(4)在极坐标系中，直线AO

2、B的大小为18. 一71 cos -与曲线2C.D.2cos相交于A, B两点，。为极点，则A . -B . -C.-(5)在下列命题中，“ 一”是“sin 1”的充要条件； 2D. 一6x 1 4-(- -)的展开式中的常数项为 2；2 x设随机变量N (0,1)，若1P( 1) p,则 P( 10) - p.其中所有正确命题的序号是A. (2)B.C.D./一 2 正视图(6)某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三 视图如图所示，则这个几何体的体积为A. 4B. 4.2C. 6.2俯视图D. 8(7)抛物线y22 Px(p 0)的焦点为F ,已知点A, B为抛物线上的两个动点，且满足

3、AFB120.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN垂足为则 lMN I |AB|的最大值为A.B. 12.3C.3D.f(x)*2x 1,x Nxo,nf (Xo)f(Xo 1)IHf (Xon) 63成立，则称(xo,n)为函数f(x)的一个“生成点”.函数f (x)的“生成点”共有A. 1个B .2个C .3个D .4个二、填空题：本大题共(9)在等比数列an第二部分(非选择题共11。分)6小题，每小题5分，共3o分.把答案填在答题卡上.中，2a3 a2a4 o ,贝U a3bn为等差数列，且b3 a3,则数列bn的前5项和等于(1o)在ABC中，a,b,c分别为角A,B ,C所对的边.

4、已知角A为锐角，且b 3asinB,(11)输出的结果S=(12)(13)如图，圆O是ABC的外接圆，过点则 tan A .执行如图所示的程序框图,C作圆。的切线交BA的延长线于点 D .若CD 73,AB AC 2 ,则线段AD的长是.；圆。的函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足.若在区间2,3上方程f(x 2) f(x).当 x o,1时,f (x) 2xax 2a f (x) o 恰有24x y 0(2wxw4)上的一个动点，点C在线段OA的延长线上.当20时，则点C的纵坐标的取值范围四个不相等的实数根，则实数 a的取值范围是(14)在平面直角坐标系 xOy中，已知点A是半圆x2三、

5、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 (15)(本小题满分13分)32x1 一已知函数f(x) sin x sin 一(0)的最小正周期为222(I)求的值及函数f(x)的单调递增区间;(n)当x 0,时，求函数f(x)的取值范围.2(16)(本小题满分13分)盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字1,01,2 .称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验(设每次试验的结果互不影响)(I)在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；(H)在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；(m)在两次试验中，记卡片上的数字

6、分别为,，试求随机变量X=的分布列与数学期望EX .(17)(本小题满分14分)如图，在 四棱锥 P ABCD中，平面 PAC 平面 ABCD且 PA AC ,PA AD 2 .四边形 ABCD 满足 BC AD , AB AD , ABBC1 .点E, F分别为PE侧棱PB,PC上的点，且PEPBPFPC(I)求证：EF 平面PAD1(n)当 一时，求异面直线2(ID)是否存在实数BF与CD所成角的余弦值;,使得平面AFD 平面PCD?若存在,试求出 的值；若不存在，请说明理由.(18)(本小题满分13分)已知函数2f (x) x (a 2)x aln x 2a2 ,其中a 2.(I)求函数

7、f (x)的单调区间;(H)若函数f(x)在0,2上有且只有一个零点,求实数 a的取值范围.(19)(本小题满分14分)已知中心在原点，焦点在X轴上的椭圆C过点(1,Y3),离心率为Y3,点A为其右顶点. 22过点B(1Q)作直线1与椭圆C相交于E, F两点，直线ae , AF与直线x 3分别交于点M ,N .(I)求椭圆C的,方程；(n)求EM FN的取值范围.(20)(本小题满分13分)设(X1,X2，W，X10)是数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 的任意一个全排列，定义10S( )| 2xk 3xk 1 | ,其中 x11 x1.k 1(I)若 (10,9,8,7,6,5,4,

8、3,2,1),求 S()的值；(n)求S()的最大值；(出)求使S()达到最大值的所有排列的个数.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案(理工类)2013.4解：(I) f(x) sin 21 cos x3 .sin21 -cos2sin( x因为f(x)最小正周期为所以2.、选择题：题号(1)(2)(3)(4)(6)(8)答案ADACCDAB二、填空题:题号(9)-(10)(11)(12)(13)(14)-答案2, 10显 4201,2(|导5,53分，第二空2分)(注：两空的填空，第一空三、解答题：(15)(本小题满分13分)所以 f(x) sin(2x -). 6由 2k 2

9、x 2k 26所以函数f(x)的单调递增区间为一，k3(n)因为 x 0, T ,所以 2x 266一,1所以 一 sin(2x ) 1.2610分12分所以函数f(x)在0,上的取值范围是2(16)(本小题满分13分)12,1.13分解：(I)设事件 A:在一次试验中，卡片上的数字为正数，则答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是2(n)设事件 b：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数.由（I）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是匚L【、f 01 / C 0Af 0 0 1 1 0 01 1 4 4LX 1 11 1 3 3q11所以 P（B）1C4（-）（-）C4-（-

10、） .222 216答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为121116（出）由题意可知，的可能取值为1,0,1,2 ,所以随机变量X7分的可能取值为P(X= 2) 一4P(X=0)4 4P(X=2)三4 4P(X= 1)7一；161-；8P(X=1)P(X=4)42414 41-；81-；81162, 1,0,1,2,4.所以随机变量X的分布列为X210124P11711188168816，117111113分所以 E(X)= 210 124 .88168816 4(17)(本小题满分14分)证明：（I）由已知，所以EF/BC .PEPBPFPC因为BC，AD ,所以EF/A

11、D .平面PAD ,而EF 平面PAD , AD所以EF 1平面PAD .(n )因为平面 ABCD 平面PAC ,平面 ABCD。平面 PAC AC ,且 PA AC ,所以PA 平面ABCD.所以 PA AB , PA AD .又因为AB AD ,所以PA, AB, AD两两垂直.如图所示，建立空间直角坐标系,因为 AB BC 1 , PA AD 2所以 A 0,0,0 , B 1,0,0 ,C 1,1,0 ,D 0,2,0 ,P 0,0,2 .1，一时，F为PC中点, 2所以1 1F(2,2,1),所以BF (2,2,1),CD ( 1,1,0).设异面直线BF与CD所成的角为所以cos

12、1 1|cosBF,CD|(2,2,1)(1,1,0)1所以异面直线BF与CD所成角的余弦值为(出)设 F(X0, y0,Z0),则 pF(x0, y0,z见.32),pC (1,1, 2).由已知PFPC,所以（x,y,z。2)(1,1,2),X0所以 y,z02 2 .所以AF,2 2)设平面AFD的一个法向量为n1(xi,yi,zi),因为AD 0,2,0 ,n1所以1n1AF 0,即AD 0.XiV1(2 22y0.)Zi0,，得 n1(22,0,)设平面PCD的一个法向量为n2(X2,y2,z2),因为 PD 0,2, 2 ,CD1,1,0 ,n2所以2n2PD 0,即 2y2CD0

13、.X22Z2 0, y20.令X21,则n2(1,1,1).若平面AFD 平面PCD，则n1n2 0 ,所以(22)2 _14分2分(0,1),所以当 一时，平面AFD 平面PCD 3(18)(本小题满分1 3分)解：函数定义域为xx 0,且 f(x) 2x (a 2) a (2x a)(x 1).xxa当a 0,即一0时，令f(x) 0,得0 x 1,函数f(x)的单调递减区间为 2令f (x) 0,得x 1 ,函数f(x)的单调递增区间为(1,).aa当0 1,即0 a 2时，令f (x) 0,得0 x 或x 1,22 a函数f(x)的单调递增区间为(0,a), (1,).2a . 一 .

14、 .a令f (x) 0,得 x 1 ,函数f (x)的单调递减区间为(一，1).22当a 1,即a 2时，f (x) 0恒成立，函数f(x)的单调递增区间为(0,).7分2(n)当a 0时，由(i)可知，函数f(x)的单调递减区间为(0,1), f(x)在(1,2单调递增.所以f (x)在0,2上的最小值为f (1) a 1,，112 a 12 a由于 f ()2 (-1)-10,eeee e e要彳f (x)在0,2上有且只有一个零点，需满足f(1) 0或f(1) 0,解得a 1或a f(2) 0,ln 2当0 a 2时，由(i)可知，(i)当a 2时，函数f(x)在(0,2上单调递增；一

15、414一 .一且f(e ) T 2 0, f (2) 2 2ln 2 0,所以f(x)在0,2上有且只有一个零 e e与 八、.(ii)当0 a 2时，函数f(x)在(a,1)上单调递减，在(1,2上单调递增；2a 一又因为f(1) a 1 0,所以当x咨,2时，总有f(x) 0.22a 2因为e a 1a 2,2a 22a 2 2a 22a 2所以 f(e a ) e a e a (a 2) (aln e a 2a 2) 0.一aa所以在区间(0,a)内必有零点.又因为f (x)在(0, a)内单调递增，22从而当0 a 2时，f(x)在0,2上有且只有一个零点2，、 一综上所述，0 a 2

16、或a 或a 1时，f(x)在0,2上有且只有一个零 ln2点. 13分(19)(本小题满分14分)22解：(I)设椭圆的方程为与_y21ab 0 , a b2, 22a b c ,C 、3cc依题意彳导- 火，解得a2 4, b2 1.a 2i a 1a2 4b22所以椭圆C的方程为y2 1 . 4分4(n)显然点 A(2,0).(1)当直线l的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方，易得E(1,), F(1,),22M(3,/)小(3,困)，所以221.(2)当直线l的斜率存在时，由题意可设直线l的方程为y k(x 1),显然k 0时，不符合题意., y k(x 1), ,口 2222由二 2

17、八得(4k2 1)x2 8k2x 4k2 4 0.4k2 44k2 1x2 4y2 4 0八8k2仅 E(Xi, y)，F(x2, y2),贝U 不 x22 ),陷4k 1直线AE, AF的方程分别为：y -y(x 2), y (x 2), x1 2x2 2令 x 3 ,则 M (3, 1), N (3, -).x1 2x2 2所以 EM(3 x1,y1(3Xi), Tn(3 x2,y2(3x2). 10 分x12x22所以(3X1 )(3X2 )yi(3 Xi) y2(3 X2)X1 2x2 2(3xi)(3X2)(1丫供 )(X1 2)(X2 2)(3Xi)(3X2)(1k2(X1 1)(

18、X2 1)(X1 2)(X2 2)X1X23(X1X2)91 k2X1X2 (X1 X2) 1X1 x2 2( X1x2 ) 44k2 4(4k2 19)(1k2224k 4 8k224k2 1 4k24k2 4。224k2 18k4k2 1-)4一2 (16k)4k 1(116k2 516k2 4116k2 412分因为k2 0 ,所以16k2 4 4 ,所以1皿二5,即16k2 445(1P综上所述,1 eM fN5的取值范围是1,5)14分(20)(本小题满分13分)解：(I) S()1012Xk 3Xk 1 | 7 6 5 4 3 2 1 0 1 28 57 . k 1(n )数10,

19、9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍分别如下:20,18,16,14,12,10,8,6,4,2,30,27,24,21,18,15,12,9,6,3其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为203 72 131,所以S( ) 131 .对于排列 0 (1,5,6,7, 2,8,3,9, 4,10),此时 S( 0) 131 ,所以S()的最大值为131.(出)由于数1,2,3,4所产生的8个数都是较小的数，而数 7,8,9,10所产生的8个数都是较大的数，所以使S()取最大值的排列中，必须保证数1,2,3,4互不相邻，数7,8,9,10也互不相邻；而数5和 6 既不能排在 7,8,9,10 之一的后面，又不能排在 1,2,3,4 之一的前面.设X11,并参照下面的符号排列1。其中2,3,4任意填入3个口中，有6种不同的填法；7,8,9,10任意填入4个圆圈。中，共 有24种不同的填法；5填入4个之一中，有 4种不同的填法；6填入4个中，且当 与5在同一个时，既可以在5之前又可在5之后，共有5种不同的填法，所以当x1 1时，使 S( ) 达到最大值的所有排列 的个数为 6 24 4 5 2880 ， 由轮换性知， 使 S( ) 达到最大值的所有排列的个数为28800. 13分