《北京市2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试(文史类)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试(文史类)（11页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、北京市2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试2013.1数学测试题（文史类）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共 40分）和非选择题（共 110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1.设集合A x0 x 2,集合B xlog2x 0,则AB等于A.x | x 2B.x | x 0C. x| 0 x 2D.x|1 x 22.已知i是虚数单位,若复数（1ai)(2i）是纯虚数，则实数 a等于A.B.D. 23 . k 1 ”是直线x0与圆y2 1相交”的A.充分
2、不必要条件C.充分必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4 .执行如图所示的程序框图.若输入x 3,则输出k的值是A. 3B. 4C. 5D. 65 .已知x 00,且 2x y1 ,则xy的最大值是1A.一4C. 46 .已知三棱锥的底面是边长为1B.-8D. 81的正三角形，其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为A.、34C.D. 11俯视图7.已知函数f(x)2xa,x1,x0, （ a R ）,若函数f （x）在R上有两个零点，则 a的取0值范围是A.B.,0C.1,0D.1,08 .在棱长为1的正方体ABCDABC1D1中，R, P2分别为线段AB , BDi （不
3、包括端点）上的动点，且线段 P1P2平行于平面 AADD1,则四面体RP2AB的体积的最大值是A.24B.12第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9 .已知数列9a,9是等比数列,数列1/,b2,9是等差数列，则的值为b2210 .在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为a,b,c,且b2a bc ,则 A=11 .若关于x, y的不等式组 xax0,y 10,（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为12 .已知双曲线中心在原点，一个焦点为F1（ J5,O），点P在双曲线上，且线段 PF1的中点坐标为（0, 2
4、）,则此双曲线的方程是 ,离心率是 .13 .在直角三角形 ABC中， ACB 90, AC BC 2 ,点P是斜边AB上的一个三等分点，则cP cB cP cA14 .将连续整数1,2,|,25填入如图所示的5行5列的表格中，使每 行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15.(本小题满分13分)x X 9 x已知函数 f (x) sin cos cos - 1. 222(I)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(n)求函数f(x)在,上的最小值.16.(本小题满分14分)在长方体ABCD-A
5、1B1c1D1 中，AA1=AD= 2, E 是棱 CD 上的一切(I )求证:AD1 平面 ABD；(n)求证:B1EAD1 ；(出)若E是棱CD的中点，在棱 AA1上是否存在点P,使得DP /平面B1AE ?若存在，求出线段 AP的长;频率频率分布直方图组别分组频数频率第1组50, 60)80.16第2组60, 70)a翻第3组70, 80)200.40第4组80, 90)翻0.08第5组90, 1002b合计翻翻若不存在，请说明理由.17 .(本小题满分13分)某中学举行了一次 “环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩 (得分取正整数，
6、满分为100分)作为样本进行统计.请 根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题：频率分布表(I)写出a,b, x, y的值；(n)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取 2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动.(i)求所抽取的 2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；(ii)求所抽取的 2名同学来自同一组的概率.18 .(本小题满分13分)1已知函数 f(x) a(x ) 21nx(a R).x(i)若a 2,求曲线y f (x)在点(l,f(l)处的切线方程;(n)求函数f(x)的单调区间.19 .(本小题满分14分)2
7、2已知直线1 : x my 1(mR)与椭圆C: y- 1 t 0相交于E,F两点，与x轴9 t相交于点B,且当m 0时,EF(I)求椭圆C的方程;(n)设点 A的坐标为(3,0)，直线AE , AF与直线x3分别交于M , N两点.试判断以MN为直径的圆是否经过点B?并请说明理由.20 .(本小题满分13分)将正整数1,2,3,4j,n2 (n 2)任意排成n行n列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数 a,b ( a b)的比值-,称这些比值中的最小值为这个数表的特b征值”.(I)当n 2时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值” ；(n)若a.表示某个n行n列数表中
8、第i行第j列的数(1 i n, 1 j n),且满足aji (j i 1)n i j，请分别写出n 3,4,5时数表的“特征值”，并由此归j i (n i j 1)n, i j,纳此类数表的“特征值”(不必证明)；(出)对于由正整数1,2,3,4j,n2排成的n行n列的任意数表，若某行(或列)中，存在两个数属于集合n2 n 1,n2 n 2,|“，n2,记其“特征值”为，求证：n.北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题答案(文史类)2013.1、选择题：题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(8)答案DAACBCDA二、填空题:题号-(10)(11)(12
9、)(13)(14)答案310332x2以1；石4445 ； 85(注：两空的填空，第一空 3分，第一空2分)三、解答题：(15)(本小题满分13分)1 cosx21 -cosx2xx斛：(I) f (x) sin -cos-221-一 sin x2,2-sin(x -)所以函数f(x)的最小正周期为由2kx 2k24则 2k - x42k则函数f (x)单调减区间是2 k(n)由一,2k 47.45-, k Z.411分则当x54时,口 ,上21f(x)取得最小值工一13分(16)(本小题满分14分)解：(I)在长方体 ABCD-A1B1c1D1中,因为AB 面ADiDA ,所以AB1 AD1
10、 . 2分在矩形 AD1DA中，因为AA1=AD= 2,所以AD1 AD . 4分所以AD1 面ABD . 5分(n)因为 E CD,所以 B1E 面 A1B1CD,由(I)可知，ADi 面 A1B1CD ,所以B1EAD1. 8分(出)当点P是棱AAi的中点时，有DP/平面BAE. 9分理由如下：因为P是棱AAi的中点，M是ABi的中点,在ABi上取中点M ,连接PM,ME .1 . _所以PM / AiBi，且PM 合AB .10分1 又 DE / AB，且 DE - AiBi .2所以 PM / DE ,且 PM DE ,所以四边形PMED是平行四边形，所以 DP / ME . ii分又
11、 DP 面 BAE , ME 面 BAE ,所以DP /平面B1AE . i3分此时，AP -AA i. i4分2(i 7)(本小题满分i 3分)解：(I)由题意可知， a i 6,b 0.04, x 0.032, y 0.004. 4分(n) (i)由题意可知，第4组共有4人，记为A,B,C, D ,第5组共有2人，记为X,Y .从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学有AB, AC, AD, BC, BD,CD, AX, AY , BX, BY, CX ,CY,DX , DY, XY共i 5种情况. 6分设“随机抽取的2名同学中至少有i名同学来自第5组”为事件E, 7分有
12、 AX,AY, BX,BY,CX,CY,DX,DY,XY 共 9 种情况.8 分9所以随机抽取的2名同学中至少有i名同学来自第5组的概率是P(E) 一5答：随机抽取的2名同学中至少有i名同学来自第5组的概率3. 5(ii)设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F，有AB,AC, AD, BC,BD,CD,XY11分所以P(F)15答：随机抽取的2名同学来自同一组的概率是 . 13分15(18)(本小题满分13分)212 ax 2x a八斛：f (x) a(1 p) - 2 , 1 分x x x令 h(x) ax2 2x a .112(I)当 a 2 时，函数 f(x) 2(x -) 2ln
13、x , f(1) 0, f (x) 2(1 =)-.xx x曲线y f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为f (1) 2 . 2分从而曲线y f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y 0 2(x 1), 即 2x y 2 0 . 4 分(n)函数f(x)的定义域为(0,).设h(x) ax2 2x a ,(1)当 a 0 时，h(x) ax2 2x a 0 在(0,)上恒成立，则f(x) 0在(0,)上恒成立，此时f(x)在(0,)上单调递减. 6分(2)当 a 0时， 4 4a2,(i)若 0 a 1,1 .1 a21 .1 a2由 f(x) 0,即 h(x) 0,得 0 x 或 x
14、； 8分aa1、1 a21.1 a2八由 f (x) 0 ,即 h(x) 0 ,得x . 9分aa1 J1 a21 71 a2所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1 w a )和(1 a ,),aa、，、11 a2 11 a2.单调递减区间为(1 ,1 ) . 11分aa(ii)若 a 1 , h(x) 0在(0,)上恒成立，则f (x) 0在(0,)上恒成立，此时f (x)在(0,)上单调递增. 13分(19)(本小题满分14分)解：(I)当m 0时，直线l的方程为x 1 ,设点E在x轴上方，472r 8所以EF -解得t 2.33一 ,，、一 x2所以椭圆C的方程为一92 y_21.22
15、y 1(n)由 92,得(2m2 9)y2x my 14my 16 0 ,显然 m R .设 E(x1, y1)，F(x2, y2),则 y V24m162,丫佻2.2m2 92m2 93分4分5分6分X my1 1, x2 my2 1.又直线AE的方程为y (x 3), x1 33)，解得 M (3,-6y-)， x1 3同理得N(3,-6). x2 3所以 BM (2,-6), bN (2,-6), Xi 3x2 3又因为bM BN6y16y2(2,己) (2U)436y1y2(Xi 3)(x2 3)36 y y2(my1 4)( my2 4)4(my1 4)(my2 4) 36 yy22
16、m 丫佻 4m(y y) 16 16(4m2 36) 16 4m2 16 4(2m2 9)32 m2 16(2 m2 9)13分22264 m 576 64m128m5760914分所以需 笳l所以以MN为直径的圆过点 B. (20)(本小题满分13分)证明：(I)显然，交换任何两行或两列，特征值不变可设1在第一行第一列，考虑与1同行或同列的两个数只有三种可能，2,3或2,4或3,4 .得到数表的不同特征值是a或住23714(n)当n 3时，数表为 5 8 23 6 94此时，数表的“特征值”为3当n4时,数表为；46711153481216此时，数表的“特征值”为54 12116111617222712当n 5时，数表为1318 233891419 24451015 20 25此时，数表的“特征值”为 6分5n 1猜想“特征值”为 7分n(m)设a,b ( a b)为该行(或列)中最大的两个数，则 - 二，b n n 1n 1 n (n 1)122U,n n(n n 1) n(n n 1),从而 13分n因为n所以n2nl
北京市2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试(文史类)
