高等数学第一讲向量及运算

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1、数 量 关 系 第 一 部 分 向 量 代 数第 二 部 分 空 间 解 析 几 何 在 三 维 空 间 中 :空 间 形 式 点 , 线 , 面基 本 方 法 坐 标 法 ; 向 量 法坐 标 , 方 程 （ 组 ）空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 四 、 利 用 坐 标 作 向 量 的 线 性 运 算 一 、 向 量 的 概 念二 、 向 量 的 线 性 运 算 三 、 空 间 直 角 坐 标 系五 、 向 量 的 模 、 方 向 角 、 投 影 向 量 及 其 线 性 运 算 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 x yz 一 、 空

2、间 直 角 坐 标 系由 三 条 互 相 垂 直 的 数 轴 按 右 手 规 则组 成 一 个 空 间 直 角 坐 标 系 . 坐 标 原 点 坐 标 轴 x轴 (横 轴 ) y轴 (纵 轴 )z 轴 (竖 轴 )过 空 间 一 定 点 O , 坐 标 面 卦 限 (八 个 )1. 空 间 直 角 坐 标 系 的 基 本 概 念 O 面xOy 面yOzzOx面 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 在 直 角 坐 标 系 下 x yz 向 径 11 坐 标 轴 上 的 点 P, Q , R ;坐 标 面 上 的 点 A , B , C点 M特 殊 点 的 坐 标 : 有 序 数 组 ),(

3、zyx 11 )0,0,(xP )0,0( yQ),0,0( zR ),0( zyB(称 为 点 M 的 坐 标 )原 点 O(0,0,0) ; rO r )0,( yxA M),0,( zxC 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 坐 标 轴 : 轴x 00zy 00 xz轴y 轴z 00yx坐 标 面 :面yox 0z面zoy 0 x面xoz 0 yx yzO 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 表 示 法 :向 量 的 模 : 向 量 的 大 小 , ,21MM记 作二 、 向 量 的 概 念向 量 : (又 称 矢 量 ). 1M 2M既 有 大 小 , 又 有 方 向 的 量

4、称 为 向 量自 由 向 量 :与 起 点 无 关 的 向 量 .单 位 向 量 : 模 为 1 的 向 量 ,零 向 量 : 模 为 0 的 向 量 ,有 向 线 段 M1 M2 , 或 a , ,a或 .a或记 作 e 或 e .或 a .0 0或，记 作 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 规 定 : 零 向 量 与 任 何 向 量 平 行 ;若 向 量 a 与 b大 小 相 等 , 方 向 相 同 , 则 称 a 与 b 相 等 ,记 作 a b ;若 向 量 a 与 b 方 向 相 同 或 相 反 , 则 称 a 与 b 平 行 , a b ;与 a 的 模 相 同 , 但 方

5、向 相 反 的 向 量 称 为 a 的 负 向 量 ,记 作因 平 行 向 量 可 平 移 到 同 一 直 线 上 , 故 两 向 量 平 行 又 称 两 向 量 共 线 .若 k (3)个 向 量 经 平 移 可 移 到 同 一 平 面 上 , 则 称 此 k 个 向 量 共 面 .记 作 a ; 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 三 、 向 量 的 线 性 运 算1. 向 量 的 加 法三 角 形 法 则 :平 行 四 边 形 法 则 :运 算 规 律 : 交 换 律结 合 律三 角 形 法 则 可 推 广 到 多 个 向 量 相 加 .b b abba cba )( )( cba

6、cba a bcba cb)( cba cba )(aa baba cba 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 s 3a4a 5a2a1a 54321 aaaaas 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2. 向 量 的 减 法三 角 不 等 式 ab )( ab 有时特 别 当 ,ab aa )( aa baba ab ab aba0baba 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 可 见 aa1 ;1 aa 3. 向 量 与 数 的 乘 法 是 一 个 数 ,规 定 : 时 ，0 ,0时 ,0时总 之 :运 算 律 : 结 合 律分 配 律 因 此，同 向与 aa 与 a 的 乘 积

7、 是 一 个 新 向 量 , 记 作 .a;aa ，反 向与 aa ;aa .0a aa )( a a)( aa )( a aba )( ba,0a若 ae则 有 单 位 向 量 .1 aa aeaa 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 定 理 1. 设 a 为 非 零 向 量 , 则 ( 为 唯 一 实 数 )证 : “ ”. , 取 且再 证 数 的 唯 一 性 . 则,0故 . 即a b ab 设 a b ba反 向 时 取 负 号 , , a , b 同 向 时 取 正 号则 b 与 a 同 向 ,设 又 有 b a , 0)( aa a b aa b.ab 故 ,0a而 目 录

8、上 页 下 页 返 回 结 束 “ ” 则,0 时当 例 设 M 为 M BA CD解 : ABCD 对 角 线 的 交 点 ,0 时当 b a,0 时当 ,aAB ,bDA AC MC2 MA2BD MD2 MB2已 知 b a ,b 0a , b 同 向a , b 反 向 a b ., MDMCMBMAba 表 示与试 用 ba ab )(21 baMA )(21 abMB )(21 baMC )(21 abMD 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2. 向 量 的 坐 标 表 示在 空 间 直 角 坐 标 系 下 , 设 点 M ,),( zyxM 则沿 三 个 坐 标 轴 方 向

9、的 分 向 量 , ),( zyx xO yz MN BCA , 轴 上 的 单 位 向 量分 别 表 示以 zyxkji 的 坐 标 为此 式 称 为 向 量 r 的 坐 标 分 解 式 ,任 意 向 量 r 可 用 向 径 OM 表 示 .NMONOM OCOBOA 记 ,ixOA ,jyOB rkzjyix 称 为 向 量,kzOCkzjyixr ik j r ., 的 坐 标称 为 向 量 rzyx 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 四 、 利 用 坐 标 作 向 量 的 线 性 运 算 则),( zzyyxx bababa ),( zyx aaa xx ab yy ab zz

10、ab xxab yyab zzab平 行 向 量 对 应 坐 标 成 比 例 : ，为 实 数设 ),( zyx aaaa ,),( zyx bbbbba a ,0 时当 a ab ab 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 五 、 向 量 的 模 、 方 向 角 、 投 影 1. 向 量 的 模 与 两 点 间 的 距 离 公 式 222 zyx 则 有 222 OROQOP xO yz MNQRP由 勾 股 定 理 得 ),( 111 zyxA 因 A B得 两 点 间 的 距 离 公 式 : ),( 121212 zzyyxx 212212212 )()()( zzyyxx 对 两 点

11、 与 ,),( 222 zyxB ,rOM 作 NMONBABA OAOBBA ),( zyxr设 OMrOMr OROQP 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 . 求 证 以 )3,2,5(,)2,1,7(,)1,3,4( 321 MMM证 : 1M 2M 3M21MM 2)47( 2)31( 2)12( 1432MM 2)75( 2)12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2)13( 63132 MMMM 即 321 MMM 为 等 腰 三 角 形 .的 三 角 形 是 等 腰 三 角 形 . 为 顶 点 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 . 在 z 轴

12、上 求 与 两 点 )7,1,4(A 等 距解 : 设 该 点 为 ,),0,0( zM ,BMAM 因 为 2)4( 21 2)7( z 23 25 2)2( z解 得 ,914z 故 所 求 点 为 及 )2,5,3( B.),0,0( 914M离 的 点 . 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 (1) 如 何 求 在 xOy 面 上 与 A , B 等 距 离 之 点 的 轨 迹 方 程 ?(2) 如 何 求 在 空 间 与 A , B 等 距 离 之 点 的 轨 迹 方 程 ?)7,1,4(A )2,5,3( B例 . 已 知 两 点 ),3,1,7()5,0,4( BA 和解 :

13、 141 )2,1,3( 142,141,143 BABA 求 AB的 单 位 向 量 e .e 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 O y zx2. 方 向 角 与 方 向 余 弦设 有 两 非 零 向 量 任 取 空 间 一 点 O , O AB称 = AOB (0 ) 为 向 量 的 夹 角 . 类 似 可 定 义 向 量 与 轴 , 轴 与 轴 的 夹 角 . 与 三 坐 标 轴 的 夹 角 , , 为 其 方 向 角 .cos 222 zyx x 方 向 角 的 余 弦 称 为 其 方 向 余 弦 . ,aOA作,bOB ,ba ba,0),( zyxr给 定 r称),( ba记

14、 作 ),( ab或rx r 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 O yzx r cos 222 zyx x cos 222 zyx y cos 222 zyx z 1coscoscos 222 方 向 余 弦 的 性 质 : )cos,cos,(cos rx ry rz rrer :的 单 位 向 量向 量 r 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 . 已 知 两 点 )2,2,2(1M 和 ,)0,3,1(2M的 模 、 方 向 余 弦 和 方 向 角 . 解 : ,21 ,23 )20 计 算 向 量)2,1,1( 222 )2(1)1( 2,21cos ,21cos 22cos ,32 ,3 4321MM (21 MM 21MM